Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcist kan se hvilken formel,
der bruges til at løse opgaven.
Opgave 11
a)
For at lave regression på dataet defineres det på TI-spire CAS. Da angiver tidspunktet i år efter 2003,
trækkes 2003 fra samtlige årstal.
Dataet defineres og der udføres eksponentiel regression.
Værdierne og aflæses til
og
Bemærk: TI-spire CAS bruger symbolerne og modsat af hvad opgave teksten gør. Lignende ses ofte
når TI-spire CAS bruges til at løse opgaver på gymnasiet. Man bør derfor være særlig opmærksom på
hvordan symbolerne indgår i udtrykkene.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
b)
Fordoblingstiden bestemmes ved, jf. formel 99
Fordoblingstiden er altså ca. år.
c)
Det år hvor Kinas samlede vindmøllekapacitet oversteg USAs bestemmes ved at løse uligheden
Uligheden løses.
Kinas samlede vindmøllekapacitet oversteg altså USAs samlede vindmøllekapacitet i løbet af år 2009.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Opgave 12
a)
Differentialligningen
med startbetingelsen
løses.
En forskrift for er givet ved
b)
Ved at betragte funktionen ses det umiddelbart at den er streng voksende med grænseværdien
for . Den øvre grænse for kulstof-13-indholdet i Pintadoens muskelvæv er altså ca. 32,66 ‰.
Grafen for er skitseret herunder.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Opgave 13
a)
For at lave det ønskede skema åbnes filen bilag 1 i Microsoft Excel. Feltet dreng under sjældent beregnes
ved hjælp af formlen
=SUMPRODUKT((A2:A450=”dreng”)*(B2:B450=”sjældent”))
De fem andre manglende felter beregnes tilsvarende.
Formlerne kan ses herunder.
Skemaet bliver
sjældent
en_to_pr_måned
ugentligt
Total
dreng
72
124
9
205
pige
57
158
29
244
Total
129
282
38
449
b)
Da der testes for uafhængig mellem køn og hyppigheden af biografbesøg, bestemmes de forventede
værdier ved hjælp af funktionen chi22way. På TI-spire CAS defineres dataet i en matrix og beregningerne
foretages. Endelig udskrives de forventede værdier.
En matrix laves i TI-spire CAS ved under menuen at vælge 7: Matricer og vektorer
1: Opret
1:
Matrix…
Da samtlige forventede værdier er større end 5 udskrives resultatet af
-testen.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Således fås at
. Med en frihedsgrad på 2, giver dette en p-værdi på ca. .
Da p-værdien er mindre end 5 % må
forkastes. Der er altså fundet en sammenhæng mellem køn og
hyppigheden af biografbesøg, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Opgave 14
a)
Da det gives at scenegulvet ligger i en plan, kontrolleres dette ikke. For at bestemmes en ligning for planen
bestemmes først en normalvektor til planen.
Normalvektoren er
En ligning for planen bestemmes ved at hjælp af, jf. formel 71
En ligning bestemmes.
En ligning for planen er således givet ved
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
b)
For at bestemmes koordinater til punktet bestemmes først den værdi af for hvilken skærer . Dette
gøres ved i ligningen for planen herover at indsætte parameterfremstillingen for og derefter løse ligningen
for .
Nu kan koordinaterne bestemmes ved at indsætte
i parameterfremstillingen for .
Punktet er således givet ved
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Opgave 15
a)
Æskens volumen er givet ved produktet af bundens areal og sidernes højde. Bundens areal fås ved, jf.
formel 29
Således bliver volumen
Volumen af æsken er altså
Den halve overflade er summen af arealet af bunden og arealerne af de tre sider.
Overfladen af æsken er altså
b)
For at bestemmes overfladearealet udtrykt ved bestemmes først udtrykt ved . Dette kan gøres da det
givet af rumganget skal være .
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Æskens overfladeareal kan altså udtrykkes ved som
Den værdi af
der gør æskens overfladeareal mindst bestemmes ved funktionsanalyse.
Nulpunkterne for den første afledede bestemmes, og fortegnet for den afledede bestemmes i hvert af de
intervallet nulpunkterne inddeler
i.
Det ses således at aftager indtil ca. og vokser derefter. Den værdi af for hvilken er altså ca.
Bemærk: Da der er tale om en beholder hvis dimensioner angives i måleenheder (her centimeter),
angives resultaterne med tilnærmerede decimal i stedet for blot eksakte værdier. Til nærmede værdier
fås ved at trykke på ctrl inden der trykkes på enter.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Opgave 16
a)
I Excel kan laves to nye søjler. En hvor der kun forekommer sengetider for drenge og en kun for piger. Ved
hjælp af formlen
=HVIS(A2="dreng";B2;"")
kommer en værdi kun med hvis den er for en dreng. Denne formel trækkes hele vejen ned til enden på data
sættet. En tilsvarende søjle lavet for pige. Forekommer drengenes værdier i søjlen C og pigernes i D, kan de
ønskede tal nu bestemmes ved
drenge
piger
min
=MIN(C2:C450)
=MIN(D2:D450)
1.kvartil
=FRAKTIL(C2:C450;0,25)
=FRAKTIL(D2:D450;0,25)
median
=MEDIAN(C2:C450)
=MEDIAN(D2:D450)
3.kvartil
=FRAKTIL(C2:C450;0,75)
=FRAKTIL(D2:D450;0,75)
max
=MAKS(C2:C450)
=MAKS(D2:D450)
Det giver værdierne
drenge
piger
min
20
20
1.kvartil
22,5
22
median
23
22,5
3.kvartil
23,5
23
max
25
25
Kvartilsættene er altså
Drenge:
Piger:
Ved hjælp af disse tal kan de to boksplot nu tegnes.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
b)
Lad
og
hhv. betegne middelværdien for drengenes (1) og pigernes (2) sengetider.
Vi ønsker at teste:
For at bestemme om nulhypotesen kan forkastes på et 5 % signifikansniveau estimerer først
middelværdierne og varianserne under denne model (ens varians).
Der er 205 drenge og 244 piger. Middelværdien for drengene hhv. pigerne fås til
hhv.
Varianserne estimeres til
hhv.
Middelværdierne og varianserne bestemmes lettest ved hjælp af Excel. Lav en kolonne kun med
drengenes værdier og en kun med pigernes. Dette gøres lettest ved at bruge HVIS kommandoen.
Middelværdierne hhv. varianserne bestemmes med kommandoerne MIDDEL hhv. VARIANSS.
Da der er 205 drenge og 244 piger bliver den samlede varians da
Teststørrelsen kan da bestemmes
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MATn/A-
Frihedsgraden bliver
. Nu kan T-fordelingen bestemmes ved hjælp af
=T.FORDELING(4,64456;447;SAND)
i Excel. Der fås
Endelig bestemmes sandsynligheden
Nulhypotesen må altså forkastes på et 5 % signifikansniveau.