Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
1
STX Matematik A 28. maj 2015
Delprøven med hjælpemidler
2stx151-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 17
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMat’s egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 7
a)
Funktionen defineres, og vi løser
:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Koordinatsættet til er således (afrundet)
b)
WordMat beregner den afledede funktion:
Det vil sige, at
Vi definerer nu punktets førstekoordinat:
En ligning for tangenten er da givet ved:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
3
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Det vil sige, at en ligning for tangenten til i punktet er givet ved
c)
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på alle sider af nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
-1/3
1/2
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallerne
og
f er aftagende i intervallet
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
4
Opgave 8
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes vha. WordMat i et passende interval:
Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
En torsk, der vejer 8,5 kg er ca. 12,1 år ifølge modellen.
b)
Der er tale om en logistisk vækstmodel på formen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
5
En sådan funktion vokser hurtigst, når funktionsværdien er lig med halvdelen af funktionens maksimum
.
Tidspunktet for maksimal vækst kan således findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det tidspunkt, hvor væksthastigheden for en torsk er størst, er altså, når torsken er ca. 5,2 år.
Hvis man ikke bemærker, at der er tale om logistisk vækst, kan man også løse opgaven på følgende vis:
Når væksthastigheden
er størst, må der gælde, at
:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi tjekker fortegnet for på begge sider af nulpunktet:
Funktionen går fra at være voksende til at være aftagende, så der er tale om et lokalt maksimum. Da der
ikke er andre ekstrema, må det ydermere være et globalt maksimum.
Det tidspunkt, hvor væksthastigheden for en torsk er størst, er altså, når torsken er ca. 5,2 år.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
6
Opgave 9
a)
Nulhypotese: Der er ingen sammenhæng mellem uddannelsesniveau og holdning til spørgsmålet.
De forventede værdier bestemmes af WordMat i en
-test af nulhypotesen, og tabellen med forventede
værdier ses til højre:
χ²-test
Observerede
Forventede
Ja
Nej
I alt
Ja
Nej
I alt
Erhversudd.
102
132
234
88,76798
145,232
234
Kort videregående udd.
43
63
106
40,21114
65,78886
106
Mellemlang videregående udd.
80
157
237
89,90603
147,094
237
Lang videregående udd.
30
84
114
43,24594
70,75406
114
Grundskoleudd.
72
99
171
64,86891
106,1311
171
I alt
327
535
862
327
535
862
P-værdi:
1,10%
Der er en sammenhæng
Signifikans niveau:
5%
b)
Af testresultatet ser vi, at . Nulhypotesen forkastes på et 5% signifikansniveau.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
7
Opgave 10
a)
Da trekanterne er kongruente, vil vinkel være den samme i alle tre. Den er således lig med (en
tredjedel af en hel omgang på ). Det vil sige, at
Siderne som udgår fra har alle en længde, som er lig med radius af cirklen (50 cm). Arealet af en af de
mindre trekanter kan bestemmes ved:
Arealet af trekant ABC er tre gange så stort som arealet af hver af de små trekanter:
Arealet af trekant ABC er ca.
.
b)
Omkredsen af den ligesidede trekant ABC kan findes som:
WordMat’s trekantsløser anvendes med input: D = 120°, DA = 50, BD = 50
B = 30°
D = 120°
A = 30°
DA = 50
BA = 86,60254
BD = 50
Længden af siden BA findes vha. en cosinusrelation
Det vil sige:
B
D
A
DA
BA
BD
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
8
Vi kan nu konkludere, at omkredsen af trekant ABC er ca.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
9
Opgave 11
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression i WordMat. Først opskrives
data i en tabel:
Antal år efter
2001
0
1
2
3
4
5
Relativ
væksthastighed
(år
-1
)
0,398
0,302
0,259
0,221
0,158
0,124
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9860271
Konstanterne aflæses og defineres:
b)
Funktionen defineres:
Vi løser nu:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Væksthastigheden på
indtræffer således 6,1 år efter 2001. Det vil sige i år 2007.
Halveringstiden for en eksponentiel udvikling af denne type kan bestemmes som:
Dvs. halveringstiden er 3,06 år.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
10
c)
Differentialligningen løses i WordMat vha. begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=520
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=520
Forskriften defineres:
Grafen tegnes i WordMat:
Vi løser nu:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Grafen og løsningen tillader os tilsammen at konkludere, at antallet af fisk i populationen overstiger 2000 i
løbet af år 2007.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
11
Opgave 12
a)
Planen søges opskrevet på formen:
Her er
en normalvektor til planen, mens
er et punkt i planen.
En normalvektor til kan bestemmes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i planen. To
sådanne vektorer defineres:
Nu bestemmes krydsproduktet:
Planens ligning kan nu opskrives vha. ovenstående normalvektor og koordinatsættet for punkt :
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket faktoriseres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Planen kan således beskrives ved ligningen:
Arealet af sejlet er lig med arealet af den trekant, som udspændes af vektorerne
og
.
Dette areal er givet ved:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
12
Enheden er
Det vil sige, at arealet af sejlet er
.
b)
Den spidse vinkel mellem sejlskibets sejl og den side af sejlet, der er udspændt af punkterne og , kan
bestemmes som den spidse vinkel mellem planerne og . Denne vinkel kan bestemmes som vinklen
mellem en normalvektor for hver af planerne. Normalvektorerne af planernes ligninger:
Vinklen kan nu bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dette er den spidse vinkel, da
Vi kan nu konkludere, at vinklen mellem sejlskibets sejl og den side af sejlskibet, der er udspændt af
punkterne og er .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
13
Opgave 13
a)
Faskinens ydre areal er lig med 2 gange arealet af et endestykke plus 2 gange arealet af en vandret langside
plus 2 gange arealet af en lodret langside:
Vi definerer længden:
Vi har således redegjort for, at faskinens ydre areal er givet ved .
b)
Vi sætter og isolerer
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi definerer nu dette udtryk for :
Ved anvendelse af denne definition kan vi bestemme et udtryk for det ydre areal alene udtrykt ved :
Vi definerer nu som funktion af :
Vi søger nu evt. ekstrema ved at løse:
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger nu fortegnet for på begge sider af nulpunktet
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
14
Da funktionen går fra at være aftagende til at være voksende, er der tale om et lokalt minimum. Da der kun
er et ekstremum i definitionsmængden, må dette ydermere være et globalt minimum.
Den værdi af , som gør faskinens ydre areal mindst muligt er således ca.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
15
Opgave 14
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat i et passende interval.
Lampens diameter på det bredeste sted er lig med 2 gange den største funktionsværdi.
Vi ser, at funktionen har et ekstremumspunkt i definitionsmængden, samt at dette er et globalt maksimum.
Vi løser nu:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den største funktionsværdi kan nu findes som:
Vi får så:
Det vil sige, at diameteren på det bredeste sted er 20 cm.
Diameteren ved lampens åbning findes nu ved at beregne:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
16
Diameteren ved lampens åbning er altså 12 cm, når .
b)
Vi definerer afgrænsningen for :
Vi løser nu nedenstående ligning, idet (enheden må antages at være cm
2
):
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan konkludere, at når overfladen er
.
c)
Den generelle ligning for en kugle er givet ved:
Hvor
er centrum for kuglen, mens angiver kuglens radius.
Vi har allerede bestemt kuglens radius som den største værdi af . Dvs. . Centrum må altså ligge 10
enheder (cm) henad førsteaksen, da kugleperiferien rører og er fremkommet ved rotation
omkring førsteaksen. Det vil sige, at centrum har koordinatsættet:
Dette indsættes i den generelle ligning:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Kuglen kan således beskrives ved ligningen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
17
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.3)(1.1.3)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.2.1)(1.2.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Funktionen defineres, og vi løser
Koordinatsættet til P er derved:
b)
Vi bestemmer den afledede funktion:
=
Vi definerer nu punktets førstekoordinat:
2
En ligning for tangenten gennem punktet Q er da givet ved:
c)
at løse ligningen:
Vi foretager en funktionsanalyse:
Vi kan dermed konkludere:
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 8
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Vi løser
62
En torsk, der vejer 8,5 kg er ca. 12,1 år ifølge modellen.
b)
Der er tale om en logistisk vækstmodel på formen:
(2.2.1)(2.2.1)
(2.2.2)(2.2.2)
En sådan funktion vokser hurtigst, når funktionsværdien er lig med halvdelen af funktionens
maksimum ( ). Tidspunktet for maksimal vækst kan således findes ved at løse:
Det tidspunkt, hvor væksthastigheden for en torsk er størst, er altså, når torsken er ca. 5,2 år.
(3.1.2)(3.1.2)
(2.2.1)(2.2.1)
(3.1.1)(3.1.1)
Opgave 9
a)
Nulhypotese: Der er ingen sammenhæng mellem uddannelsesniveau og holdning til
spørgsmålet.
De forventede værdier bestemmes:
Vi indsætter værdierne i en tabel:
Ja
Nej
Erhvervsuddannelse
Videregående uddannelse af
kort varighed
Videregående uddannelse af
mellemlang varighed
Videregående uddannelse af
lang varighed
Grundskoleuddannelse
b)
(2.2.1)(2.2.1)
Vi foretager en -test:
Af testresultatet ser vi, at p=0,0110<0,05. Nulhypotesen forkastes på et 0,05
signifikansniveau.
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.3)(4.1.3)
(2.2.1)(2.2.1)
(4.2.2)(4.2.2)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.2.3)(4.2.3)
Opgave 10
a)
Da trekanterne er kongruente, vil vinkel D være den samme i alle tre. Den er således lig med
120° (en tredjedel af en hel omgang på 360°). Det vil sige, at :ADB=120°.
Siderne som udgår fra D(kaldes af hensyn til Maple) har alle en længde, som er lig med
radius af cirklen (50 cm). Arealet af en af de mindre trekanter kan bestemmes ved:
120
50
Arealet af trekant ABC er tre gange så stort som arealet af hver af de små trekanter:
Arealet af trekant ABC er ca. 3247,6
b)
Vi bestemmer længden af AB:
37
Omkredsen bestemmes:
Vi kan nu konkludere, at omkredsen af trekant ABC er ca. 259,8 .
(2.2.1)(2.2.1)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
Opgave 11
a)
Vi definerer dataet, hvor t er år efter 2001 og f er relativ væksthastighed:
Vi foretager en eksponentiel regression:
Vi får følgende værdier af a og b:
a er 0,797 og b er 0,399.
b)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.2.5)(5.2.5)
(5.2.2)(5.2.2)
(2.2.1)(2.2.1)
(5.3.1)(5.3.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.2.6)(5.2.6)
(5.2.4)(5.2.4)
a og b defineres og funktionen opstilles:
Vi løser nu:
11
Væksthastigheden på 0,1 indtræffer således 6,1 år efter 2001. Det vil sige i år 2007.
Halveringstiden for en eksponentiel udvikling af denne type kan bestemmes som:
Halveringstiden er derved 3,06 år.
c)
Differentialligningen løses i med begyndelsesbetingelsen N(0)=520:
Forskriften defineres:
Grafen tegnes:
(2.2.1)(2.2.1)
(5.3.3)(5.3.3)
Vi løser nu:
Grafen og løsningen tillader os tilsammen at konkludere, at antallet af fisk i populationen
overstiger 2000 i løbet af år 2007.
(6.1.3)(6.1.3)
(6.2.3)(6.2.3)
(6.1.8)(6.1.8)
(6.1.6)(6.1.6)
(6.1.1)(6.1.1)
(2.2.1)(2.2.1)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.1.7)(6.1.7)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.5)(6.1.5)
Opgave 12
a)
Vi definerer punkterne:
A
B
localD
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
`while processing result`
`while processing result`
Ligningen for planet er givet ved:
Vi definerer trekanten:
ABlocalD
Arealet beregnes:
27
Arealet af sejlet er 14444,13
b)
Den spidse vinkel mellem sejlskibets sejl og den side af sejlet, der er udspændt af punkterne ,
og , kan bestemmes som den spidse vinkel mellem planerne og .
Vi definerer plan
Vi beregner vinklen:
46
Vi kan nu konkludere, at vinklen mellem sejlskibets sejl og den side af sejlskibet, der er
(2.2.1)(2.2.1)
udspændt af punkterne A,B og C er 28,25°.
(7.1.2)(7.1.2)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.2.1)(7.2.1)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.2.5)(7.2.5)
(2.2.1)(2.2.1)
(7.2.4)(7.2.4)
Opgave 13
a)
Faskinens ydre areal er lig med 2 gange arealet af et endestykke plus 2 gange arealet af en
vandret langside plus 2 gange arealet af en lodret langside:
Vi definerer længden:
10
Vi har således redegjort for, at faskinens ydre areal er givet ved:
b)
Vi sætter V=100 og isolerer for h:
assign to a name
h
Ved anvendelse af denne definition kan vi bestemme et udtryk for det ydre areal alene
udtrykt ved
Funktionen defineres:
Vi minimerer funktionen:
Den værdi af , som gør faskinens ydre areal mindst muligt er således ca.
(8.1.2)(8.1.2)
(8.1.1)(8.1.1)
(2.2.1)(2.2.1)
(8.1.3)(8.1.3)
Opgave 14
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Lampens diameter på det bredeste sted er lig med 2 gange den største funktionsværdi.
10.0
Den største diameter er derved:
20
Det vil sige, at diameteren på det bredeste sted er 20 cm.
Diameteren ved lampens åbning (x=h=18) findes nu ved at beregne:
= 12
Diameteren ved lampens åbning er altså 12 cm, når
(8.3.2)(8.3.2)
(8.2.1)(8.2.1)
(8.2.2)(8.2.2)
(2.2.1)(2.2.1)
(8.3.4)(8.3.4)
(8.3.3)(8.3.3)
(8.3.1)(8.3.1)
b)
Vi løser nu nedenstående ligning for h, idet O=1005 (enheden må antages at være )
For at Maple kan løse ligningen, sætter vi ligningen lig 1 og løser for alle løsninger:
Vi løser nu følgende ligning, idet vi sætter udtrykket lig 1:
Vi kan konkludere, at =16 når overfladen er 1005 .
c)
Den generelle ligning for en kugle er givet ved:
Hvor ( , ) er centrum for kuglen, mens angiver kuglens radius.
Vi har allerede bestemt kuglens radius som den største værdi af . Dvs. =10. Centrum må altså
ligge 10 enheder (cm) henad førsteaksen, da kugleperiferien rører (0,0,0) og er fremkommet
ved rotation omkring førsteaksen. Det vil sige, at centrum har koordinatsættet:
Dette indsættes i den generelle ligning:
manipulate equation
Kuglen kan således beskrives ved ligningen: