Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
1
STX Matematik A 22. maj 2015
Delprøven uden hjælpemidler
1stx151-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
Da der lukkes et konstant antal pengeinstitutter hvert år, er der tale om en lineær sammenhæng. Den kan
opskrives på formen:
I den konkrete situation er y antal pengeinstitutter, mens x er antal år efter 2001
Hældningen kan beregnes som funktionstilvæksten, når x vokser med 1. Da der lukkes 8 institutter
(negativ funktionstilvækst) om året, er hældningen
angiver funktionsværdien, når . I år 2001 ( ) var der 190 pengeinstitutter, hvorfor
Den endelige model bliver da:
Opgave 2
Grafen for en lineær funktion er en ret linje. C er den eneste rette linje, og repræsenterer dermed grafen
for .
Grafen for en eksponentialfunktion er enten aftagende eller voksende. En voksende eksponentialfunktion
vokser først langsomt, hvorefter væksthastigheden stiger kraftigt for x→∞. En sådan graf ses ikke afbildet.
Eksponentialfunktionen må således være aftagende. En aftagende eksponentialfunktion aftager først
hurtigt, hvorefter den negative væksthastighed falder kraftigt for x→∞. Eksponentialfunktionen
repræsenteres således af B.
Den sidste graf, C, repræsenterer således potensfunktionen .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
2
Opgave 3
Ligningen opskrives
indsættes i ligningen
Da er et sandt udsagn, er en løsning til ligningen.
Opgave 4
Funktionen opskrives:
Ligningen for tangenten til grafen i et vilkårligt punkt
) kan bestemmes vha. følgende formel:
I opgaven angives punktet
Funktionsværdien findes nu ved indsættelse af :
Nu mangler vi at finde
Først differentieres
:
Den endelige ligning for tangenten til grafen for i punktet kan nu findes:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
3
Ledvis differentiation, differentiation af konstant, konstant udenfor parentes og differentiation af
Opgave 5
Funktionen opskrives:
Nu søges et udtryk for alle stamfunktioner, , hørende til :
Der integreres nu mht. x, i det :
Det konstateres nu, at
er den stamfunktion til , hvor .
Funktionerne
og er ikke stamfunktioner til , da de ikke kan opskrives på formen for
I denne opgave anvendes, at
, hvis , samt at
Opgave 6
Først bestemmes monotoniforholdene for
. Vi får at vide, at punkterne
og ligger på
grafen for , samt at er en lineær funktion. Hermed er grafen for
en ret linje, som på
tegningen repræsenteres af B.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
4
I punktet
er
, og tangenten til grafen er således vandret i punktet. Det ses på figuren,
at
, når
, samt at
, når
, og der er således tale om et minimumspunkt.
Da B er en ret linje, er der kun en løsning til
, og der er derfor ikke flere ekstrema. Om
monotoniforholdene for , ved vi således, at:
Punktet
er et globalt minimumspunkt
Funktionen er aftagende i intervallet
Funktionen er voksende i intervallet
Nu søges førstekoordinaten til det punkt R, hvor tangenthældningerne til graferne for og er lig med
hinanden. Her gælder, at
. Med andre ord finder vi førstekoordinaten til
skæringspunktet mellem
Da er en lineær funktion, kan vi skrive følgende
Her angiver hældningen, mens angiver . Først udregnes ved hjælp af de to punkter
og
samt følgende formel:
Da i punktet , kan vi aflæse direkte, at
Vi har nu, at:
Nu sættes
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 22. maj 2015
5
Førstekoordinaten til punktet R er således .
Det udnyttes i denne opgave, at hældningen af tangenten til en graf ved en given førstekoordinat er lig med
værdien af den afledte funktion ved samme førstekoordinat. Altså er:
lig med hældningen af
tangenten til grafen for i punktet