Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
1
STX Matematik A 24. maj 2013
Delprøven med hjælpemidler
1stx131-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 19
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
2
Løsning med WordMat
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 7
a)
Først indtastes data i Excel og år efter 1990 bestemmes som årstal - 1990.
Derefter kopieres tabellen over i Word:
År
1990
1995
2000
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
År efter 1990
0
5
10
15
16
17
18
19
20
21
Procentdel
3.1
4,5
6,5
10,4
11,8
14,5
15,2
16,6
18,1
20,0
Den angivne model
er en eksponentiel sammenhæng, og værdierne for og kan
bestemmes med en eksponentiel regression over tabellens data.
Her benyttes WordMat (Statistisk./sands. - Regression - Eksponentiel)
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9915885
Af resultatet fremgår det, at: og (afrundet til tre decimaler)
b)
Tallet er fremskrivningsfaktoren og forbundet med vækstraten på følgende måde:
Hvilket betyder, at andelen af Tysklands el-produktion, der kommer fra vedvarende energi,
vokser med 9,5 % om året (hvilket kan aflæses af værdien for ).
Fordoblingskonstanten/fordoblingstiden for en eksponentiel funktion bestemmes som (formel 99):
Indsættes den fundne værdi for , fås:
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
3
Fordoblingstiden for elektricitetsproduktionen er således ifølge modellen:
år (ca. 7 år 7 måneder)
c)
For at vurdere om målet på 35 % i 2020 (30 år efter 1990) er realistisk, undersøges om
ved at indsætte i forskriften for .
Hertil benyttes WordMat, - først defineres funktionen (CAS - Definitioner - Definer funktion), dernæst
bestemmes værdien også i WordMat (CAS - Beregn):
Da værdien
må målet på 35 % siges at virke realistisk.
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
4
Opgave 8
For at bestemme en ligning for tangenten til grafen for i punktet
bestemmes den afledede
funktion og derefter indsættes relevante værdier i tangentligningen:
(formel 119)
Først defineres forskriften for i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion).
Derefter bestemmes den afledede funktion i WordMat (CAS - Infinites. - Differentier),
hvorefter denne også defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion).
Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nu indsættes ,
og
i tangentligningen (formel 119):
Tangent til grafen for i punktet er således bestemt:
Der er i resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
5
Opgave 9
a)
For en vilkårlig trekant gælder:
derfor kan højden
, med siden som grundlinje, bestemmes som:
Med de kendte værdier indsat, kan
bestemmes med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):
Ligningen løses for h
c
vha. CAS-værktøjet WordMat.
Højden i er således bestemt:
(resultatet er afrundet til to decimaler)
b)
For at kunne bestemme omkredsen af en trekant, er det nødvendigt at kende alle sidelængder.
Længden af siden kan bestemmes vha. formlen
(formel 29)
hvilket med de aktuelle betegnelser giver:
Kendte værdier indsættes og der løses i med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk)
Ligningen løses for BC vha. CAS-værktøjet WordMat.
Længden af siden er bestemt til:
(afrundet til én decimal)
Nu kender vi to sider og en vinkel og dermed kan den sidste side bestemmes med trekantværktøjet i
WordMat (Diverse - Trekant):
WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 32,3°, BC = 8,085966, AB = 10,6
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
6
A = 48,93008°
B = 32,3°
C = 98,76992°
BC = 8,085966
AC = 5,73114
AB = 10,6
Længden af siden er bestemt til:
(afrundet til én decimal)
Med alle siderne kendte kan omkredsen af bestemmes:
Omkredsen af trekant er således bestemt:
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
7
Opgave 10
a)
(jf. formel 71)
For at bestemme ligningen for den plan, der indeholder sidefladen , skal et punkt samt en
normalvektor for planen være kendt. Som en normalvektor for planen kan krydsproduktet mellem
vektorerne
og
benyttes, hvorfor denne skal bestemmes.
Først bestemmes og defineres vektorerne
og
hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn)
og WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel): (jf. formel 61)
Krydsproduktet mellem vektorerne
og
bestemmes med WordMat (CAS - Beregn): (jf. formel 68)
krydsproduktet
forkortes (jf. formel 58) og en normalvektor
sættes lig med krydsproduktet:
En normalvektor for planen, der indeholder fladen er således:
Det kendte punkt
vælges til at være punktet .
Ligningen for planen, der indeholder , kan opstilles som (formel 71):
Kendte værdier indsættes og udtrykket reduceres med WordMat (CAS - Omskriv - Reducér):
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
8
En ligning for planen, der indeholder er således:
b)
Planen, der indeholder fladen har ligningen:
Normalvektoren til denne plan kan aflæses af ligningen (jf. formel 71):
Vinklen mellem to planer kan bestemmes som vinklen mellem deres normalvektorer (jf. formel 64):
De kendte værdier indsættes og vinklen bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn):
Da den fundne vinkel er større end , er det den stumpe vinkel mellem planerne, der er fundet.
Det kan derfor konkluderes, at den stumpe vinkel mellem glasfladerne er:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
9
Opgave 11
a)
Nulhypotesen
er, at posen indeholder lige mange slags slik af hver farve.
For at kunne test en nulhypotese, skal der først bestemmes en forventet farvefordeling under
forudsætning af, at den antagne nulhypotese er korrekt. Da der er fem farver, ligeligt fordelt ifølge
firmaets oplysninger, må man forvente:
stk. af hver farve.
Det skal således testes (undersøges), om slikket følger en angivet farvefordeling, hvilket betyder,
at der skal foretages en
test.
WodMat (Statistik/sands. - Test - Goodness of Fit) benyttes:
KONKLUSION:
P-værdien aflæses til 9 %.
Da accepteres nulhypotesen.
Der er med andre ord ikke signifikant forskel på antallet af stykker slik i de givne farver.
Obs. Der er tale om en skrivefejl i spørgsmålet. Hvis spørgsmålet læses ordret skal poserne indeholde
netop lige mange af hver farve, og dermed kan Hans og Grethes slikpose ikke være fra firmaet.
I spørgsmålet skulle der have stået: ”Firmaet oplyser at slikket fordeler sig med lige mange af hver farve”
eller lignende.
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
10
Opgave 12
a)
Grafen for den angivne funktion:
kan fx tegnes ved hjælp af WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU Plot).
Da det er en trigonometrisk funktion skal vinkelenhed skal indstilles til radianer.
WordMat (Indstillinger - Indst.)
For at bestemme højden over jorden efter 7 minutter, skal bestemmes.
Først defineres funktionen i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
11
Derefter bestemmes værdien med WordMat (CAS - Beregn):
Det er dermed bestemt, at gondolen efter 7 minutter er over jorden.
(resultatet er afrundet til én decimal)
b)
For at bestemme den tid, der går før gondolen er 40 meter over jorden første gang, løses ligningen:
med hensyn til (i minutter efter start). Forskriften for er defineret tidligere, men intervallet for
mangler at blive defineret, hvilket gøres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):
Ligningen
løses med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det kan konkluderes, at gondolen befinder sig 40 meter over jorden første gang (efter start) ved:
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
12
Opgave 13
a)
Væksthastigheden til tiden er lig med
, hvorfor væksthastigheden, når bestanden tæller 500 traner,
kan bestemmes ved at indsætte i den opgivne differentialligning og bestemme
:
indsættes og bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):
Væksthastigheden, når bestanden tæller 500 traner, er således:
b)
Det oplyses, at der var 194 traner i 1975, - dvs. . Bestemmelse af en forskrift
for foretages med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Løs Differentialligning), hvor den uafhængige og
afhængige variabel samt startbetingelsen indtastes.
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=194
Da er den trivielle løsning, kan det konkluderes, at forskriften for er:
Hvor er antal år efter 1975.
c)
Først defineres forskriften for i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
13
Da vi skal bestemme, hvornår væksthastigheden dvs.
antager sit maksimum, skal vi løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer nu på begge sider af dette nulpunkt, - WordMat (CAS - Beregn):
Der er således tale om et maksimum.
Det kan konkluderes, at tranebestandens væksthastighed er størst 4 år efter 1975, - altså i
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
14
Opgave 14
BEMÆRK at koordinatsystemet i opgaven er roteret mod uret, hvorefter x-aksen er lodret.
a) Først defineres forskriften for i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Grafen for den angivne forskrift er en parabel med ”benene nedad”, da: .
Derfor kan maksimum for bestemmes vha. toppunktsformlen (formel 55), idet en parabel med
forskriften
har toppunkt i
, hvor
.
Indsættes de kendte værdier i formlen, fås:
Hvilket betyder, at maksimum for er:
Hvilket medfører, at karaflens største bredde
kan bestemmes som den dobbelte værdi:
b)
Rumfanget af væsken svarer til volumen af omdrejningslegemet i intervallet , hvor
Volumen af et omdrejningslegeme (omkring -aksen) kan bestemmes som (formel 155):
Indsættes 0 for nedre grænse og som den øvre grænse, fremkommer følgende udtryk for væskens
volumen ved væskehøjden . Forskriften for er defineret tidligere i dokumentet.
Integralet bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):
Volumen af væsken, udtrykt ved :
For at kunne besvare det næste spørgsmål, defineres først ovenstående udtryk for væskevolumen
i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
15
Væskehøjden
, når der er
væske i karaflen, kan bestemmes ved at løse nedenstående
ligning med hensyn til . Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at når væskevolumen er
, så er væskehøjden:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
16
Opgave 15
a)
Stigen, jorden og muren danner en retvinklet trekant , hvorfor kan udtrykkes vha.
Pythagoras’ læresætning (formel 21). Hvilket medfører:
Kendte værdier (if. skitsen) indsættes og udtrykket omskrives:
Hvilket skulle vises.
(Der ses bort fra den negative løsning til ligningen, da der er tale om en længde)
Fodpunktet for
(højden i med længden ) på siden i trekant benævnes .
Da trekant og trekant er ensvinklede trekanter (ligedannede), hvorfor der kan opstilles
forhold mellem ensliggende sider i de to trekanter (jf. formel 19).
Indsættes det fundne udtryk for fremkommer følgende udtryk for som en funktion af :
b)
Som defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
hvor (if. opgaveteksten)
For at kunne bestemme den værdi for , der giver den største værdi for , bestemmes først den afledede
funktion . Hertil benyttes WordMat (CAS - Infinites. - Differentier):
Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Som defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
17
For at bestemme eventuelle ekstrema for løses ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da (jf. opgaveteksten) kan fire af de ovenstående løsninger udelukkes, hvorfor det konkluderes,
at har et ekstrema ved (afrundet til to decimaler). Hvorvidt det er et maksimum, kan
undersøges med en fortegnsundersøgelse for den afledede funktion ved at vælge to -værdier, der
ligger på hver side af den fundne -værdi ( og vælges).
Ovenstående er beregnet med WordMat (CAS - Beregn).
Da
i intervallet og
i intervallet konkluderes, at
har maksimum ved
Dette betyder, at når er størst muligt.
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
18
Opgave 16
Forskellen på ovnens temperatur og stegens indre temperatur er:
Hastigheden, hvormed stegens indre temperatur stiger, kan angives ved:
Hastigheden er opgivet værende proportional med forskellen mellem ovnens temperatur
og stegens indre temperatur, hvorfor følgende gælder:
Da proportionalitetskonstanten er oplyst til 0,011 har man endelig den søgte differentialligning:
Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
19
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Vi foretager en eksponentiel regression:
Værdierner for a og b er følgende:
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.5)(1.2.5)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.4)(1.2.4)
b)
9048200
Tallet a er fremskrivningsfaktoren og forbundet med vækstraten r på følgende måde:
00
Hvilket betyder, at andelen af Tysklands el-produktion, der kommer fra vedvarende energi,
vokser med 9,5 % om året.
Fordoblingskonstanten/fordoblingstiden for en eksponentiel funktion bestemmes:
Fordoblingstiden for elektricitetsproduktionen er således ifølge modellen: år (ca. 7
år 7 måneder)
c)
For at vurdere om målet på 35 % i 2020 (30 år efter 1990) er realistisk, undersøges om P(30)
>35 ved at indsætte x=30 i forskriften for P(x).
88
Da værdien må målet på 35 % siges at virke realistisk.
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.4)(2.1.4)
(1.1.2)(1.1.2)
Opgave 8
a)
Forskriften defineres:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(5,f(5)) kan bestemmes vha.
tangentligningen.Vi sætter =5 i ligningen:
5
En ligning for tangenten i punktet P(5,f(5)) er således bestemt til
(3.2.2)(3.2.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.2.1)(3.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(3.1.2)(3.1.2)
Opgave 9
a)
For en vilkårlig trekant gælder:
Da vi kender grundlinjens længde, som er lig længden af AB, og arealet af trekanten, kan
højden bestemmes:
17
Højden fra C er derved 4,32.
b)
For at kunne bestemme omkredsen af en trekant, er det nødvendigt at kende alle sidelængder.
Vi bestemmer længden af BC vha formlen:
Hvor a er længden af siden BC og c er længden af siden AB.
05
Vi kan nu bestemme længden af AC vha. Maples trekantløser:
Længden af AC er lig 5,7. Omkredsen bestemmes som en sum af længderne AC, AB og BC:
Omkredsen af trekant ABC 24,4.
(4.2.3)(4.2.3)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.2.1)(4.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(4.1.5)(4.1.5)
(4.2.2)(4.2.2)
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 10
a)
Vi definerer punkterne:
A
B
localD
Vi bestemmer planen og generer en ligning for planet:
ABD
Ligningen for planen er givet ved:
b)
Planen indeholdende BCD defineres:
BCD
Vinklen mellem glasflader bestemmes:
Vinklen bestemmes i grader:
31
Den spidse vinkel mellem planerne er 79,52
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.2)(5.1.2)
(1.1.2)(1.1.2)
Opgave 11
a)
Nulhypotesen er, at posen indeholder lige mange slags slik af hver farve.
For at kunne test en nulhypotese, skal der først bestemmes en forventet farvefordeling under
forudsætning af, at den antagne nulhypotese er korrekt.
Det skal således testes (undersøges), om slikket følger en angivet farvefordeling, hvilket
betyder, at der skal foretages en GOF test.
(1.1.2)(1.1.2)
P-værdien aflæses til 0,0915. Da P 0,05 accepteres nulhypotesen. Der er med andre ord
ikke signifikant forskel på antallet af stykker slik i de givne farver.
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.1)(6.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Opgave 12
a)
Vi definerer funktionen:
Vi tegner grafen for funktionen:
For at bestemme højden over jorden efter 7 minutter, skal f(7) bestemmes:
85
Det er dermed bestemt, at gondolen efter 7 minutter er 62,8 meter over jorden.
b)
For at bestemme den tid, der går før gondolen er 40 meter over jorden første gang, løses
ligningen: f(t)=40 med hensyn til t (i minutter efter start).
07
(1.1.2)(1.1.2)
Gondolen befinder sig 40 meter over jorden første gang (efter start) ved
(7.2.2)(7.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.3.1)(7.3.1)
(7.2.1)(7.2.1)
Opgave 13
a)
Væksthastigheden til tiden er lig med , hvorfor væksthastigheden, når bestanden tæller
500 traner, kan bestemmes ved at indsætte N=500 i den opgivne differentialligning og
bestemme
dN
:
Væksthastigheden, når bestanden tæller 500 traner, er således: 145 traner om året.
b)
Differentialligningen løses med startbetingelsen N(0)=194:
at 5 digits
Forskriften for N er:
c)
Vi bestemmer, for hvilken værdi af t N'(t) antager sit maksimum:
Tranebestandens væksthastighed er størst 4 år efter 1975, altså i år 1979.
(8.2.3)(8.2.3)
(8.1.3)(8.1.3)
(8.1.2)(8.1.2)
(8.1.1)(8.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(8.2.2)(8.2.2)
(8.2.1)(8.2.1)
Opgave 14
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer maksimum for f ved at maksimere funktionen i intervallet [0,10]:
Maksimum for er 7,5. Bredden af karaflen, hvor den er bredest bestemmes:
Den bredeste bredde er 15 cm.
b)
Rumfanget af væsken svarer til volumen af omdrejningslegemet i intervallet [0;h], hvor
. Volumen af omdrejningslegemet (omkring x-aksen) udtrykt ved bestemmes
som:
Vi definerer funktionen
Vi løser nu ligningen for
37
Når væskevolumen er 500 er højden
(9.2.1)(9.2.1)
(9.2.2)(9.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(9.1.1)(9.1.1)
(9.1.2)(9.1.2)
Opgave 15
a)
Stigen, jorden og muren danner en retvinklet trekant ABC, hvorfor |BC| kan udtrykkes vha.
Kendte værdier (jf. skitsen) indsættes og udtrykket omskrives:
solve for BC
Hvor det positive resultat er det samme som .
Fodpunktet for (højden i C med længden d) på siden AB i trekant ABC benævnes D. Da
trekant BCD og trekant ABCer ensvinklede trekanter (ligedannede), hvorfor der kan opstilles
forhold mellem ensliggende sider i de to trekanter:
Indsættes det fundne udtryk for |BC| fremkommer følgende udtryk for d::
b)
Vi definerer som en funktion af
Funktionen maksimeres:
Når opnår den størst mulige værdi, som er 3,5.
(10.1.4)(10.1.4)
(10.1.1)(10.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(10.1.2)(10.1.2)
(10.1.3)(10.1.3)
Opgave 16
a)
Forskellen på ovnens temperatur og stegens indre temperatur er:
Hastigheden, hvormed stegens indre temperatur stiger, kan angives ved:
Hastigheden er opgivet værende proportional med forskellen mellem ovnens temperatur og
stegens indre temperatur, hvorfor følgende gælder:
Da proportionalitetskonstanten er oplyst til 0,011 har man endelig den søgte
differentialligning: