Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - 24. maj 2013
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Udtrykket reduceres: (formel 7)
(p + q)
2
+ 2p(p − q) = p
2
+ q
2
+ 2pq + 2p
2
− 2pq
= p
2
+ 2p
2
+ q
2
+ 2pq −2pq
= 3p
2
+ q
2
Opgave 2
Hældningskoefficienten a for den lineære funktion gennem punkterne A(3, 4) og B(5, 10)
kan bestemmes som:(formel 47)
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
Punkternes koordinater indsættes:
a =
10 − 4
5 − 3
=
6
2
= 3
Hældningskoefficienten er således: a = 3
Konstanten b kan, når a samt et punkt er kendt, bestemmes som: (formel 48)
y
1
= ax
1
+ b ⇔ b = y
1
− ax
1
Den fundne værdi for a samt ét af de kendte punkter indsættes:
b = 4 − 3 · 3 = −5
Konstanten er således: b = −5
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
Opgave 3
At konstanten c er oplyst værende negativ, betyder at parablen skærer y-aksen i den
negative halvdel af aksen, hvilket de alle gør.
At koefficienten a er negativ, betyder at parabelen for p skal vende "benene nedad",
hvilket udelukker parabel A
At diskriminanten er negativ, betyder at parablen ikke har skæringspunkter med x-aksen,
hvilket udelukker parabel B
At hældningskoefficienten for parablens tangent i skæringspunktet med y-aksen er positiv
udelukker parabel C, da dennes tangent i skæringspunktet vil have en negativ hældnings-
koefficient.
Ved hjælp af udelukkelsesmetoden er konklusionen, at det er grafen D, som er graf for
funktionen p.
Opgave 4
Det fremgår af figuren, at grafen skærer førsteaksen i x = 0 og i x = 3, hvilket betyder,
at arealet af punktmængden M kan bestemmes som integralet:(formel 153)
M =
Z
3
0
f(x) dx
=
Z
3
0
−x
3
+ 9x
dx
(formel 148 og 137)
=
"
−x
4
4
+
9x
2
2
#
3
0
(formel 147)
=
−3
4
4
+
9 · 3
2
2
!
−
−0
4
4
+
9 · 0
2
2
!
=
−81
4
+
81
2
− 0
=
81
4
Arealet af punktmængden M er således bestemt til:
Areal
M
=
81
4
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
Opgave 5
Funktion f er voksende, hvis dens afledede funktion f
0
(x) ≥ 0 for alle x i definitionsmæng-
den Dm(f). Definitionsmængden for f er alle reelle tal, Dm(f) = R.
f
0
(x) bestemmes:
f
0
(x) = (e
x
+ 7x)
0
= (e
x
)
0
+ (7x)
0
= e
x
+ 7 (formel 121, 126)
Der gælder at e
x
> 0 for alle x ∈ R og idet 7 > 0, er f
0
(x) > 0 for alle x-værdier i Dm(f).
Dermed kan det konkluderes, at f (x) = e
x
+ 7x er en voksende funktion.
Opgave 6
En ligning for en cirkel med centrum C(x
0
, y
0
) og radius r er givet ved: (x−a)
2
+(y−b)
2
=
r
2
(formel 53).
Indsættes cirklens centrum C(0, 0) og radius r =
√
2 i ovenstående, fås følgende ligning
for cirklen:
(x − 0)
2
+ (y − 0)
2
=
√
2
2
⇔ x
2
+ y
2
= 2
For at bestemme eventuelle skæringspunkter mellem cirklen og linjen, indsættes linjens
udtryk for hhv. x og y i cirklens ligning, og ligningen løses for t.
Herefter indsættes de fundne værdier for t i linjens parameterfremstilling, hvorved koor-
dinatsættene til skæringspunkterne bestemmes.
x
2
+ y
2
= 2
linjens koordinater indsættes
(3 + t)
2
+ (−3 − t)
2
= 2
m
9 + t
2
+ 6t + 9 + t
2
+ 6t = 2
m
2t
2
+ 12t + 16 = 0
m
t
2
+ 6t + 8 = 0
m ved faktorisering
(t + 2)(t + 4) = 0
m "nulreglen"anvendes
t + 2 = 0 ∨ t + 4 = 0
m
t = −2 ∨ t = −4
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx131-MAT/A-
De fundne værdier for t indsættes i linjens parameterfremstilling for at finde
koordinaterne for skæringspunkterne mellem cirklen og linjen:
For t = −2:
x
y
!
=
3
−3
!
− 2 ·
1
−1
!
=
1
−1
!
For t = −4:
x
y
!
=
3
−3
!
− 4 ·
1
−1
!
=
−1
1
!
Hvilket betyder, at skæringspunkterne mellem cirklen og linjen er: S
1
(1, −1) og S
2
(−1, 1)
Alternativ kan andengradsligningen t
2
+ 6t + 8 = 0
på forrige side i stedet løse med formlen:
x =
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
(formel 79)
Hvilket ved indsættelse af de forskellige værdier giver:
t =
−6 ±
√
6
2
− 4 · 1 · 8
2 · 1
=
−6 ±
√
4
2
⇔ x = −4 ∨ x = −2
4