Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
1
STX Matematik A
24. maj 2016
Delprøven uden hjælpemidler
1stx161-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
Da trekanterne er ensvinklede, er forholdet mellem ensliggende sider det samme for alle sider. Dvs.:
Trekant er retvinklet, så vi kan anvende Pythagoras læresætning:
Vi konkluderer, at:
og
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
2
Opgave 2
Ligningssystemet opskrives og løses vha. lige store koefficienters metode:
Første ligning ganges med 3, hvorefter den adderes til anden ligning:
Vi indsætter i første ligning og isolerer :
Vi konkluderer, at: og .
Opgave 3
er blot en anden notation for . En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
Hvor:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
3
Så:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet er altså givet ved: .
Opgave 4
Der er tale om en eksponentiel model. Det vil sige en model på formen:
Hvor:
angiver det årlige antal indsamlede malariamyg
angiver antal år efter 2004
angiver værdien af (antal indsamlede myg i år 2004). Det vil sige, at
er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om den årlige vækstrate, idet:
Den endelige model bliver altså:
.
Opgave 5
Hvis og kun hvis er en stamfunktion til , gælder der, at:
De to funktioner opskrives, hvorefter differentieres vha. produktreglen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
4
Det vil sige, at
. Forskriften for er forskellig fra forskriften for g. er altså ikke
en stamfunktion til .
Produktreglen, reglen om ledvis differentiation, konstant udenfor parentes, differentiation af konstant,
og :
Opgave 6
Fortegnene for anvendes til at udlede funktionens monotoniforhold (vi antager, at er defineret for alle
reelle tal) og ekstremumspunkter.
er voksende i intervallerne og
er aftagende i intervallet
har et lokalt maksimum i
har et lokalt minimum i
Ved hjælp af de opgivne funktionsværdier ved vi desuden, at grafen skal gå gennem følgende punkter:
Funktionen er differentiabel, så den skal være kontinuert, og grafen skal være glat og uden knæk.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016
5
Vi skitserer grafen for en mulig funktion: