Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
1
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med
Windows-computere)
Tip: Download eksamensopgaven ”Matematik A 25. maj 2012” fra UVM her.
Opgave 7
a)
Det bemærkes først tallene allerede er sorteret i stigende orden. Der er 15 tal. Da antallet af tal er ulige er
medianen det midterste i den sorterede orden. Medianen er altså det 8. tal, dvs. 34.
Første kvartil er medianen af de syv første tal, dvs. 31, og tredje kvartil er medianen de største syv tal, dvs.
53.
Kvartilsættet er altså
.
Da mindsteværdien hhv. størsteværdien er hhv. fås følgende boksplot, som tegnes med programmet
WordMat: (Statistik - Boksplot)
Boksplot
Cigaretpriser
Mindste
16
Nedre
31
Median
34
Øvre
53
Største
66
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
2
Boksplot. Er du ikke tryg ved WordMat kan du tegne boksplottet i hånden og vedlægge som bilag. Til
eksamen skal man altid anvende den hurtigste korrekte måde at løse opgaverne på.
0 50 60 70
Cigaretpriser
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
3
Opgave 8
a)
Funktionen defineres på TI-spire CAS og ligningen løses.
Løsningsmængden til ligningen er altså
b)
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
bestemmes.
Tangenten til grafen for i punktet
er altså givet ved ligningen
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
4
Opgave 9
a)
Der er tale om en eksponentiel model. Tallene og bestemmes derfor ved hjælp af eksponentiel
regression. Da angiver antal år efter år 2004, trækkes 2004 fra samtlige årstal.
År efter 2004
0
1
2
5
6
Antal brugere (mio.)
1
5,5
12
350
600
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9885491
Således fås altså når vi afrunder til to decimaler:
og
Tip: Tabellen laves lettest først i Excel og kopieres derefter over i Word.
b)
Fordoblingstiden er givet ved jf. formel 99
Fordoblingstiden bestemmes.
= ln(2)·0,9469577≈0,6563811
Fordoblingstiden er altså ca. år, altså ca. 8 måneder.
c)
For at bestemmes antallet af Facebook-brugere i 2008 ifølge modellen, evalueres modellen fundet i
spørgsmål a) i t = 4 da 2008 er 4 år efter 2004.
Ifølge modellen skulle der altså i 2008 være godt 95 millioner brugere af Facebook.
Tallet a er 1 plus vækstraten for funktionen.
Tallet fortæller altså at der hvert år er en forøgelse af antallet af brugere af Facebook på ca. .
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
5
Opgave 10
a)
Vinkelen i trekant bestemmes ved hjælp af WordMat.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: a = 5 , b = 7 , c = 11
A = 19,68505°
B = 28,13753°
D = 132,1774°
a = 5
b = 7
c = 11
Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
I trekant er altså
Sådan er input lavet i WordMat:
A
B
D
a
b
c
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
6
b)
Vinkelen i trekant er den samme som i trekant . Altså fås i trekant
Per definition er
Længden
bestemmes ved hjælp af WordMat.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 19,68505° , B = 56,27506° , AB = 11
A = 19,68505°
B = 56,27506°
C = 104,0399°
BC = 3,819444
AC = 9,430556
AB = 11
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
7
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne BC og AC findes vha. sinusrelationerne
Længden
er altså
Sådan er input lavet:
Opgave 11
a)
Cirklens centrum aflæses af ligningen til jf. formel 53
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
8
Afstanden fra et punkt
til en linie med ligningen er givet ved jf. formel 52
Afstanden mellem cirklens centrum og linien er altså .
b)
For at bestemme koordinatsættene til skæringspunkterne mellem linjen m og cirklen, bestemmes først en
parameterfremstilling for linjen m. Da linjen m står vinkelret på linjen l, er en normalvektor for linjen m
retningsvektor for linjen l. En normalvektor for linjen m kan aflæses ud af linje l’s ligning (formel 50)
Da linjen m går gennem cirklens centrum er punktet C er et punkt på linjen m. En parameterfremstilling for
linjen m er dermed (formel 51)
Vi kan nu løse to ligninger med to ubekendte for at bestemme skæringspunkterne. Dette gøres med solve-
kommandoen på TI-nspire.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
9
Koordinatsættene til skæringspunkterne mellem linien og cirklen er altså
og
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
10
Opgave 12
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcist kan se hvilken formel,
der bruges til at løse opgaven.
a)
Arealet af er givet ved det bestemte integral af mellem funktionens to nulpunkter jf. formel 153.
Funktionen defineres, nulpunkterne findes og det bestemte integral bestemmes.
Arealet af punktmængden er altså
.
b)
Arealet er rektanglet er produktet af længden og bredden. Da f er symmetrisk er bredden af rektanglet
. Arealet af rektanglet er dermed . Arealet af det skraverede område på figur 2 findes
således ved at trække arealet af rektanglet fra arealet af M
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
11
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
12
Opgave 13
a)
For at bestemme planen der indeholder punkterne og bestemmes først vektorproduktet af
og
, da det står vinkelret på planen , og dermed er en normalvektor for planen. Først bestemmes
vektorerne jf. formel 61
Nu kan en ligning for planen bestemmes jf. formel 71 ved at indsætte den fundne normalvektor og
punktet B
b)
Vinklen mellem to planer, kan beregnes som vinkelen mellem de to planers normalvektorer. En
normalvektor for planen aflæses af planens ligning til
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
13
Vinkelen bestemmes, jf. formel 64
To planer i rummet der skærer hinanden, gør det i to vinkler: en spids og en stump. Den spidse vinkel findes
ved at trække resultatet fra .
Den spidse vinkel mellem planerne og er altså ca. og den stumpe vinkel er ca.
Tip: Kontrollér altid ved trigonometriopgaver at regnemaskinen (eller software) regner i grader. En
hurtig måde at teste om regnemaskine er indstillet til grader eller radianer, er at beregne og
se om det giver 0. Gør det ikke det er lommeregneren ikke rigtigt indstillet. I TI-nSpire kan man også
tjekke ved at holde musen over ”tandhjulet” i øverste højre hjørne. Står der ”Vinkel – RAD” skal du
skifte ved at klikke, vælge ”Indstillinger” og derefter ”Grader” under vinkel. Står der ”Vinkel – GRD” er
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
14
den indstillet rigtigt.
c)
To vektorer er parallelle hvis den ene er en linearkombination af den anden
. Vi ser derfor om
derfor er en løsning til denne ligning. Først beregnes vektorerne
og
Da intet reelt tal er en løsning til
, er vektorerne ikke parallelle.
Da firkanten ikke er et parallelogram, kan dens areal ikke bestemmes uden nærmere informationer.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
15
Opgave 14
a)
Væksthastigheden når barnet er 100 cm højt findes ved at indsætte i differentialligningen
Når barnet er 100 cm højt, vil det netop til dette tidspunkt ifølge modellen vokse med 0,74 cm om
måneden.
b)
Differentialligningen løses med startbetingelsen
og forskrift for h bestemmes vha. funktionen
deSolve i TI-nspire:
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
16
Vi løser nu ligningen h(t)=100.
Ifølge modellen er barnet 100 cm højt efter ca. 31 måneder.
Skriftlig matematik STX A 1stx121-MAT/A-
17
Opgave 15
a)
Funktionen defineres, maksimum for bestemmes og endelig bestemmes også bygningens maksimale
bredde.
Maksimum for er altså , og da bygningen er symmetrisk er bygningens maksimale bredde er således
meter.
b)
Bygningens volumen fås ved hjælp af omdrejningslegemet for . Volumen af denne punktmængde er givet
ved jf. formel 155
Bygningens volumen er altså ca.
.