Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
1
STX Matematik A 27. maj 2014
Delprøven med hjælpemidler
2stx141-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple .......................................................................................................................................... 19
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
2
Løsning med WordMat
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Vektorerne og
defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
,
Den givne værdi for defineres ligeledes i WordMat:
For at bestemme vinklen mellem vektorerne, når benyttes følgende formel: jf. formel 38
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Vinklen mellem vektorerne og
er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Vektorerne og
defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
,
Den ønskede værdi for kan bestemmes ved at løse ligningen: jf. formel 43
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
3
Determinanten for vektorerne og
er lig med nul, når:
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
4
Opgave 8
a)
Tabellen oprettes i dette dokument og der foretages en potensregression over tabellens data.
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Potens) benyttes hertil.
Højde
(mm)
359
395
432
478
524
572
620
716
Belast.evne
(10
3
mm
3
)
3800
4300
4820
5500
6180
6920
7660
9200
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,999985
Af regressionens resultat fremgår det, at værdierne for og er:
Der afrundes til de viste seks decimaler.
b)
Forskriften for sammenhængen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Belastningsevnen, ved en højde på 668 mm, kan bestemmes som tallet
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Stålprofilens belastningsevne, når højden , er bestemt til:
c)
Den procentvise forøgelse af belastningsevnen, når højden øges med 15 %, kan bestemmes som:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Belastningsevnen øges således med , når højden på stålprofilen øges med .
Resultatet er afrundet til et helt (procent)tal.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
5
Opgave 9
a)
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Grafen for kan tegnes i WordMat (Graftegning - Vis Graf - GnuPlot).
Førstekoordinaten til grafens skæringspunkt med førsteaksen kan bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Førstekoordinaten til grafens skæringspunkt med førsteaksen er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
6
b)
Arealet af punktmængden kan bestemmes vha. integralet: jf. formel 153
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af punktmængden er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
Denne tegning over punktmængden er ikke påkrævet if. opgaveteksten.
Den medtages her udelukkende for overblikkets skyld.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
7
Opgave 10
a)
Nulhypotesen
: Der er ikke forskel på, hvilke opholdssteder de to ålearter foretrækker.
De forventede værdier kan bestemmes vha. WordMat (Statistik/sands. - Test -
test).
De forventede værdier fremgår af nedenstående skema, der er en del af det Excel ark,
der fremkommer, når man foretager en
-test vha. WordMat.
(Tabellen er kopieret over i dette dokument fra MS Excel)
GRÆS
SAND
Mellemting
Forventede
I alt
G. moringa
142,7698
97,52998
249,7002
490
G. vicinus
100,2302
68,47002
175,2998
344
I alt
243
166
425
834
b)
For at undersøge nulhypotesen foretages en
test vha. WordMat (Statistik/sands. - Test -
test),
hvor de givne oplysninger indtastes i Excel regnearket, der fremkommer.
Signifikansniveauet sættes til 5 %.
Resultat af testen:
χ²-test
GRÆS
SAND
Mellemting
GRÆS
SAND
Mellemting
Observationer
I alt
Forventede
I alt
G. moringa
127
99
264
490
142,7698
97,52998
249,7002
490
G. vicinus
116
67
161
344
100,2302
68,47002
175,2998
344
I alt
243
166
425
834
243
166
425
834
P-værdi:
4,37%
Der er en sammenhæng
Signifikans niveau:
5%
Frihedsgrader:
2
Q-værdi:
6,2
1,7418678
0,022157
0,8189145
2,481
0,0315608
1,166477
Kritisk Q-værdi:
5,7
Med en -værdi på 4,37 % forkastes nulhypotesen
. Der er således en forskel på, hvilke
opholdssteder de to ålearter foretrækker.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
8
Opgave 11
a)
I trekant kan , når , bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , CB = 4 , CA = 1
C = 90°
A = 75,96376°
B = 14,03624°
AB = 4,123106
CB = 4
CA = 1
Længden af diagonalen i firkant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Vinkel i trekant kan ligeledes bestemmes med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMat's trekantsløser anvendes med input: DB = 2 , AB = 4,1 , AD = 3
A = 27,55275°
D = 108,5118°
B = 43,93545°
DB = 2
AB = 4,1
AD = 3
Vinkel i firkant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Relevante sider og vinkler defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
, , , ,
Arealet af trekant , når kan bestemmes som:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af trekant kan bestemmes som: jf. formel 29
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
C
A
B
AB
CB
CA
A
D
B
DB
AB
AD
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
9
Det samlede areal af de to trekanter, når , kan bestemmes som:
Ovenstående resultater indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Det samlede areal af de to trekanter, når , er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
c)
Først defineres forskriften for sandkassens areal i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Intervallet for defineres ligeledes i WordMat vha. kommandoen
Eventuelle ekstrema for funktionen bestemmes ved at løse ligningen:
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvorvidt det fundne resultat er et maksimum, altså den værdi for , der i det givne interval giver det største
areal for sandkassen, undersøges vha. en fortegnsundersøgelse for før og efter det fundne ekstrema.
Der vælges to værdier for , som derefter indsættes i . WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Da
før det fundne ekstrema og
efter, betyder det, at den fundne værdi for , er den
optimale værdi, der i det givne interval, giver det største areal af sandkassen.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
10
Det kan derfor konkluderes, at hvis vil sandkassen få det største areal i det givne interval for .
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
11
Opgave 12
Punkter i et koordinatsystem kan (med fordel if. vektorregning) beskrives vha. stedvektorer,
altså som vektorer fra koordinatsystemets origo (nulpunkt) til et givent punkt
).
Derfor defineres de givne punkter på denne måde i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
,
,
,
a)
En ligning for planen gennem punktet
med normalvektor
kan bestemmes som:
jf. formel 71
Vektorer mellem to punkter, beskrevet ved normalvektorer, kan bestemmes som differensen mellem de
pågældende punkters stedvektorer, hvilket betyder, at følgende vektorer kan bestemmes og defineres i
WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Som en normalvektor for planen , der indeholder tagfladen , kan man anvende krydsproduktet:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes. jf. formel 68
En vektor kan skaleres med skalafaktor jf. formel 58
Vælges
kan følgende normalvektor for planen fastsættes:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Denne normalvektor for planen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
12
Vælges punktet som det kendte punkt i planen, kan koordinaterne for punktet og den fundne
normalvektor
indsættes i planens ligning: jf. formel 71
Koordinaterne for punktet og normalvektoren
indsættes, hvilket giver følgende ligning for planen :
WordMat (CAS - Omskriv - Reducer) benyttes.
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det kontrolleres, at punktet er beliggende i planen ved at indsætte punktets koordinater
i den fundne ligning og beregne, om punktet opfylder ligningen.
WordMat (CAS - Omskriv - Reducer) benyttes.
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Punktets koordinater opfylder den fundne ligning, derfor er en ligning for planen , der indeholder
punkterne bestemt til:
b)
Af den givne ligning for planen aflæses normalvektoren
til: jf. formel 71
Hvilket defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Vinklen mellem planerne kan bestemmes som vinklen mellem deres normalvektorer. jf. formel 64
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Hvilket defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
13
Da den fundne vinkel er spids
, kan den stumpe vinkel mellem planerne og bestemmes
som supplementsvinklen til den fundne vinkel . WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Den stumpe vinkel mellem planerne og (indeholdende henholdsvis tagfladerne og )
er således bestemt til (resultatet er afrundet til én decimal):
c)
Et parallelogram er en firkant, hvor modstående sider er parallelle, hvilket i det aktuelle tilfælde betyder, at
hvis
og
, så er firkant et parallelogram.
To vektorer er parallelle, hvis deres krydsprodukt er lig med nulvektoren.
Vektorerne
og
er allerede defineret i WordMat. Vektorerne
og
kan, som tidligere,
bestemmes vha. stedvektorer og defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Det undersøges om følgende krydsprodukter er lig med nulvektoren:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Da krydsprodukterne
og
begge er lig med nulvektoren, er dette ensbetydende
med, at
og
, - derfor kan det konkluderes, at firkant er et parallelogram.
Arealet af tagfladen kan bestemmes som arealet af det parallelogram, der udspændes af
vektorerne
og
, hvilket kan bestemmes som den numeriske værdi af krydsproduktet mellem
vektorerne. jf. formel 70
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
14
Arealet af tagfladen er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til et helt tal.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
15
Opgave 13
a)
Forskriften for den angivne funktion defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
kan bestemmes vha. tangentligningen:
jf. formel 119
indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
En ligning for tangenten i punktet
er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
b)
Harmoniske svingninger er givet ved formen:
hvor er amplituden (udsvingets størrelse), er vinkelfrekvensen (i radianer pr. sekund),
er fasekonstanten, som har betydning for den vandrette forskydning fra andenaksen
og er den lodrette forskydning fra førsteaksen.
kilde: Matematik 112 (Nyt Teknisk Forlag 2006)
Hvis værdien for , vil den største funktionsværdi
være lig med amplituden og den mindste
funktionsværdi
være lig med .
Idet er grafen for forskudt med 1 enhed fra førsteaksen skal denne adderes (med fortegn) til disse
værdier, hvilket betyder, at:
Den største funktionsværdi for kan bestemmes som:
Den mindste funktionsværdi for kan således bestemmes som:
Perioden for kan bestemmes som:
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
16
Indsættes (aflæses af forskriften for ), fremkommer perioden for :
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Perioden for er således bestemt til:
Denne tegning er ikke påkrævet if. opgaveteksten, men er medtaget for overblikkets skyld.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
17
Opgave 14
a)
Med den givne værdi , der samtidig defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=,
den (i opgaveteksten) angivne differentialligning samt begyndelsesoplysningen om, at temperaturen i
beholderen er til tiden , kan en forskrift for temperaturen , som en funktion af tiden
bestemmes vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Løs differentialligning).
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen y(0)=20
Temperaturen som en funktion af tiden kan således bestemmes som:
Funktionsudtrykket defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet := til senere brug.
Temperaturen i beholderen, når der er gået 16 min. kan bestemmes som tallet .
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Det kan således konkluderes, at temperaturen i beholderen efter 16 min, er lig med
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Den faktiske værdi af konstanten , når
kan bestemmes ved at løse differentialligningen, der
gives i opgaveteksten, når
. Derefter indsættes oplysningen
og ligningen løses i .
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Løs differentialligning) benyttes.
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen y(0)=20
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
18
Oplysningen
indsættes og ligningen løses mht. konstanten .
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det er således bestemt, at den faktiske værdi for er:
Resultatet er afrundet til fire decimaler.
Skriftlig matematik STX A 2stx141-MAT/A-
19
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.2)(1.1.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer vektorerne for t=2:
Vinklen mellem vektorerne bestemmes:
64
Vinklen mellem vektorerne er
b)
Vi sætter determinanten for vektorparret lig 30 og løser ligningen for t:
4
er lig 4.
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 8
a)
Vi definerer dataserien:
Værdierner for a og b er følgende:
b)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.2.3)(2.2.3)
(2.2.1)(2.2.1)
Vi definerer værdierne for a og b:
9885991
7749824
Funktionen defineres:
Funktionsværdien bestemmes for h=668:
66
Stålprofilens belastningsevne er
c)
Den procentvise forøgelse af belastningsevnen, når højden øges med 15 %, kan bestemmes
som:
42
Belastningsevnen øges således med 20 %, når højden på stålprofilen øges med 15 %.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.2)(3.1.2)
Opgave 9
a)
Funktionen defineres:
Førstekoordinaten til grafens skæringspunkt med førsteaksen kan bestemmes ved at løse
ligningen:
Førstekoordinaten til grafens skæringspunkt med førsteaksen er
b)
Arealet af punktmængden M kan bestemmes vha. integralet:
(3.2.1)(3.2.1)
Arealet af punktmængden er 18,25.
(3.2.1)(3.2.1)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.2)(4.1.2)
Opgave 10
a)
Nulhypotesen : Der er ikke forskel på, hvilke opholdssteder de to ålearter foretrækker.
Observationerne defineres og de forventede værdier bestemmes:
Der laves en tabel over de forventede værdier:
Græs
Sand
Mellemting
G. moringa
G. vicinus
c)
For at undersøge nulhypotesen foretages en :
(3.2.1)(3.2.1)
Med en P-værdi på 0,0437 forkastes nulhypotesen .
Med et signifikansniveau på 0,05 kan det således ikke udelukkes, at der forskel på, hvilke
opholdssteder, de to ålearter foretrækker.
(5.2.4)(5.2.4)
(3.2.1)(3.2.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.3.2)(5.3.2)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.3.1)(5.3.1)
(5.1.2)(5.1.2)
Opgave 11
a)
Vi ser på trekant ABC og benytter Maple's trekantløser til at bestemme |AB|:
Længden |AB| er 4,1 lang.
Vinkel som her kaldes Y, i trekant ABD bestemmes:
Vinkel er 109,47
b)
Relevante størrelser defineres:
3
2
06
1
4
Arealet af trekant ABC, når x=4 kan bestemmes som:
2
Arealet af trekant ABD kan bestemmes som:
25
Det samlede areal af de to trekanter, når x=4, kan bestemmes som:
Det samlede areal af de to trekanter, når x=4, er således 4,83
c)
Funktionen defineres:
Funktionen maksimeres:
Det størst mulige areal af sandkassen fås for x=3,9.
(3.2.1)(3.2.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(3.2.1)(3.2.1)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.5)(6.1.5)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.3)(6.1.3)
(6.2.3)(6.2.3)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.2.4)(6.2.4)
Opgave 12
a)
Vi definerer punkterne A, B og C og bestemmer ligningen ud fra punkerne:
A
B
C
Vi bestemmer planet og generer en ligning for planet:
`while processing result`
`while processing result`
En ligning for planet er givet ved:
b)
Vi definerer planen
Vi bestemmer vinklen mellem planerne:
Vinklen vises i grader:
40
bestemmes som supplementsvinklen til den fundne vinkel v.
og CDEF) er
c)
Et parallelogram er en firkant, hvor modstående sider er parallelle, hvilket i det aktuelle
tilfælde betyder, at hvis og , så er firkant ABCD et parallelogram.
To vektorer er parallelle, hvis deres krydsprodukt er lig med nulvektoren.
(6.3.1)(6.3.1)
(6.3.4)(6.3.4)
(3.2.1)(3.2.1)
(6.3.7)(6.3.7)
(6.3.5)(6.3.5)
(6.3.3)(6.3.3)
(6.3.6)(6.3.6)
(6.3.2)(6.3.2)
Vi definerer punkterne:
Vektorerne opstilles:
Det undersøges om følgende krydsprodukter er lig med nulvektoren:
Da krydsprodukterne og begge er lig med nulvektoren, er dette
ensbetydende med, at og , - derfor kan det konkluderes, at firkant ABCD er et
(3.2.1)(3.2.1)
(6.3.9)(6.3.9)
(6.3.8)(6.3.8)
parallelogram.
Arealet af tagfladen ABCD kan bestemmes som arealet af det parallelogram, der udspændes af
vektorerne og :
88
Arealet af tagfladen ABCD er 399
(3.2.1)(3.2.1)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.2.4)(7.2.4)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.2.1)(7.2.1)
Opgave 13
a
Forskriften defineres:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(3,f(3)) kan bestemmes vha.
tangentligningen.Vi sætter =3 i ligningen:
3
En ligning for tangenten i punktet P(3,f(3)) er således bestemt til
b)
Vi bestemmer maksimum- og minimumsværdi ved at maksimere og minimere funktionen:
Den største værdi af er 4 og den mindste værdi er -2.
Perioden T for kan bestemmes som:
aflæses til ud fra funktionsforskriften.
Perioden for er således bestemt til:
(8.1.3)(8.1.3)
(8.1.5)(8.1.5)
(3.2.1)(3.2.1)
(8.2.1)(8.2.1)
(8.1.2)(8.1.2)
(8.1.4)(8.1.4)
(8.2.2)(8.2.2)
(8.1.1)(8.1.1)
(8.2.3)(8.2.3)
Opgave 14
a)
Vi definerer værdien for a og løser differentialigningen med startbetingelsen
0.07
Temperaturen y som en funktion af tiden t kan således bestemmes som:
Temperaturen i beholderen, når der er gået 16 min. kan bestemmes som tallet y(16).
18
Det kan således konkluderes, at temperaturen i beholderen efter 16 min, er lig med 51,9
b)
Vi løser differentialligningen y'(t), hvor a ikke er defineret:
Oplysningen y(16)=50 indsættes og ligningen løses mht. konstanten a.
3173
Det er således bestemt, at den faktiske værdi for a er 0,0642.