Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016
1
STX Matematik A
27. maj 2016
Delprøven uden hjælpemidler
2stx161-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
Udtrykket reduceres:
Opgave 2
Determinanten udregnes:
Determinanten af og
er 71.
Opgave 3
Der er tale om en eksponentiel model, da indtægten vokser med en fast årlig procentdel. Det vil sige en
model på formen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016
2
Hvor:
angiver kommunens årlige indtægt fra parkering i mio. kr.
angiver antal år efter 2010
angiver værdien af (indtægten fra parkering i år 2010). Det vil sige, at
er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om den årlige vækstrate, idet:
Den endelige model bliver altså:
.
Opgave 4
Funktionen integreres, hvorved vi bestemmer en generel forskrift for alle stamfunktioner til .
Det vil sige, at
Integrationskonstanten kan nu bestemmes, idet vi ved, at grafen for går gennem , så
:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016
3
Den stamfunktion til , hvis graf går gennem , er givet ved forskriften
:
Her anvendes følgende regneregler:
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Funktion Stamfunktion
Opgave 5
Hvis og kun hvis er en løsning, gælder der, at
og . Det vil sige, at:
Vi foretager de to substitutioner og undersøger, om vi får det samme på begge sider af lighedstegnet,
hvorved substitutionerne vil være gyldige:
Da der står præcist det samme på begge sider af lighedstegnet, kan vi konkludere, at er en løsning til
differentialligningen.
Reglen om ledvis differentiation, konstant udenfor parentes og differentiation af
og :
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016
4
Opgave 6
Graferne vil være parabler med benene opad, da der er tale om andengradspolynomier, og koefficienterne
og er positive.
Ved hjælp af nulreglen og funktionsforskrifterne ser vi, at begge funktioner har nulpunkter i og
. Midt mellem nulpunkterne findes toppunktet. Det vil sige i .
Vi vælger, at:
og . Forskrifterne bliver så:
Vi udregner derfor blot en række funktionsværdier for i og til højre for toppunktet i . Herefter
anvendes, at
, samt at parablerne er symmetriske omkring den lodrette akse, der
gennemskærer toppunktet:
Graferne skitseres (se næste side).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016
5