Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - den 29. maj 2013
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Toppunktet for parablen f(x) = 2x
2
− 8x + 15 kan bestemmes med toppunktformlen:
(jf. formel 55)
T
−b
2a
,
−d
4a
, hvor d = b
2
− 4ac
I dette tilfælde er:
a = 2, b = −8, c = 15
Indsættes de aktuelle værdier i formlen, fås:
T
−b
2a
,
−d
4a
= T
−(−8)
2 · 2
,
−((−8)
2
− 4 · 2 · 15)
4 · 2
!
= T
8
4
,
56
8
= T (2, 7)
Koordinatsættet til parablens toppunkt er således bestemt til: T (2, 7)
OBS: Hvis du ikke kan huske toppunktsformlen, kan du altid bestemme maksimum
for funktionen på „sædvanlig vis“ ved at differentiere, sætte lig 0 osv.
Opgave 2
Da der er tale om en eksponentielt voksende model kan tallene fortolkes på følgende måde:
Tallet 25000 er begyndelsesværdien, hvilket betyder, at der var 25000 rådyr i år 2000.
Tallet 1,03 er fremskrivningsfaktoren a, der er knyttet til vækstraten r = a − 1
Deraf følger: r = 1, 03 − 1 = 0, 03 = 3 %
hvilket betyder, at antallet af rådyr i Danmark er vokset med 3 % om året siden år 2000.
(jf. formel 94)
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-
Opgave 3
For at kunne bestemme omkredsen af trekant ABC skal |AC| bestemmes først.
Der gælder for ligedannede (ensvinklede) trekanter, at forholdet mellem ensbeliggende
sider vil være konstant med skalafaktoren k (jf. formel 19)
Dette udnyttes til bestemmelse af |AC|. Følgende ligning kan opstilles og løses for |AC|:
|AC|
|AB|
=
|DF |
|DE|
m
|AC| =
|AB| · |DF |
|DE|
m kendte værdier indsættes
|AC| =
6 · 18
9
m
|AC| = 12
Omkredsen af trekant ABC kan nu bestemmes som:
O
ABC
= |AB| + |BC|+ |AC| = 6 + 8 + 12 = 26
Omkredsen af ABC er således bestemt til: O
ABC
= 26
Opgave 4
Først bestemmes ved integration formen for samtlige stamfunktioner til f (x) = 6x
2
+ 3
F (x) =
Z
6x
2
+ 3
dx
m (jf. formel 137 og 144)
F (x) =
6
2 + 1
· x
2+1
+ 3x + k
m
F (x) = 2x
3
+ 3x + k
hvor k er integrationskonstanten.
For at bestemme forskriften for den stamfunktion hvis graf, der går gennem punktet
P (2, 10),
indsættes punktets koordinater i ovenstående forskrift og værdien for k bestemmes ved at
løse ligningen:
10 = 2 · 2
3
+ 3 · 2 + k
m
10 = 16 + 6 + k
m
k = −12
Hvilket betyder, at stamfunktionen til f gennem P har forskriften: F (x) = 2x
3
+ 3x − 12
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-
Opgave 5
De tre funktioner f, g og h er alle eksponentielle og da grundtallet for g er det eneste af
grundtallene, som er større end 1, er g den eneste funktion, der er voksende, hvilket passer
på grafen A, der er graf for en voksende funktion.
(jf. teksten under illustrationerne øverst på siderne 20 og 21 i formelsamlingen)
• Grafen A er således graf for funktionen g(x) = 2
x
Forskriften for h har samme grundtal som f , men indeholder tillige en positiv konstant,
derfor vil y-værdien for h
0s
skæringspunkt med y-aksen være større end for f, deraf kan
det konkluderes, at:
• Grafen B er således graf for funktionen h(x) = 0, 5
x
+ 2
Deraf følger ved udelukkelse:
• Grafen C er således graf for funktionen f (x) = 0, 5
x
Opgave 6
Arealet af den skraverede figur kan bestemmes som arealet af rektanglet, hvorfra arealerne
af de to trekanter subtraheres:
A
fig
= A
2
− 2 · T
4
Indsættes de angivne værdier, fremkommer følgende udtryk for figurens areal:
A
fig
= x · y − 2 ·
1
2
· 6 · 8
= xy − 48 (1)
Figurens omkreds er opgivet til 200.
Opstilles et udtryk for figurens omkreds, hvori den ene variabel isoleres, kan dette udtryk
for den ene variabel indsættes i udtrykket for figurens areal (1), hvorved der fremkommer
en funktion i én variabel, der kan optimeres.
Deraf kan de optimale værdier for x og y bestemmes.
For at kunne opstille et udtryk for omkredsen, skal længden af de skrå sider bestemmes,
hertil anvendes Pythagoras’ læresætning (jf. formel 21)
l
skrå
=
p
6
2
+ 8
2
=
√
100 = 10
Længden af hver af de lodrette sider på figuren kan udtrykkes som:
l
lodret
= x − 6
Længden af den vandrette øverste side kan udtrykkes som:
l
øverst
= y − 2 · 8 = y − 16
Længden af den nederste vandrette side er:
l
nederst
= y
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-
Omkredsen af figuren er således:
O = l
nederst
+ l
øverst
+ 2 · l
lodret
+ 2 · l
skrå
m værdier indsættes
200 = y + (y − 16) + 2 · (x − 6) + 2 · 10
m
200 = y + y − 16 + 2x − 12 + 20
m
200 = 2y + 2x − 8
m y isoleres
y = 104 − x (2)
Det fundne udtryk for y (2) indsættes i udtrykket for figurens areal (1), hvorved følgende
arealfunktion, som en funktion af x, fremkommer:
A
fig
(x) = x · (104 − x) − 48
m
A
fig
(x) = −x
2
+ 104x − 48
Grafen for denne arealfunktion er en parabel, der vender parabelgrenene nedad,
da koefficienten til andengradsleddet er negativt. Derfor kan den værdi for x, der resulterer
i det største areal, bestemmes som x-koordinaten til parablens toppunkt med formlen:
x =
−b
2a
(jf. formel 55)
I dette tilfælde er:
a = −1, b = 104
Indsættes de aktuelle værdier i formlen, fås:
x =
−104
2 · (−1)
=
−104
−2
= 52
Indsættes denne x-værdi i udtrykket for y (2), kan den optimale værdi for y bestemmes:
y = 104 − x = 104 − 52 = 52
Figuren har således det største areal, når: x = 52 og y = 52
4