Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
1
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med
Windows-computere)
Opgave 7
a)
Kvartilsættene bestemmes ved at aflæse. Aflæsningerne er forsøgt gjort med en præcision på en tiendedel
procentpoint.
Kvartilsæt for 2007:
Kvartilsæt for 2011:
Det ses at boksplottet for 2011 på alle måder er rykket til højre i forhold til 2007. Værdierne for minimum,
nedre kvartil, medianen, øvre kvartil og maksimum er alle sammen steget. Personbeskatningen (relativt i
forhold til indkomst) i kommunerne er altså generelt steget i perioden 2007 til 2011.
Opgave 8
a)
Da punkterne og er forskellige med forskellige førstekoordinater bestemmes hældningen af linien ved
jf. formel 47
Ved at anvende at linjen går igennem punktet A(1,1) kan en ligning for linjen kan nu bestemmes jf. formel
49
Ligningen omskrives til den ønskede form
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
2
En ligning for er altså givet ved
b)
For at bestemmes afstanden mellem linjen og toppunktet bestemmes først parablens toppunkt.
Først bestemmes diskriminanten jf. formel 55
Nu bestemmes toppunktet
Endelig bestemmes afstanden mellem og jf. formel 52
Afstanden mellem parablens toppunkt og linjen er altså
.
c)
Koordinatsættet til projektionen af parablens toppunkt T på linjen l, kan bestemmes som skæringen mellem
linjen l og en linje m, der går gennem toppunktet T og står vinkelret på linjen l.
Hvis vi kender en normalvektor for linjen m, kan vi opskrive en ligning for linjen m jf. formel 50. Som
normalvektor for linjen m kan vi anvende tværvektoren til normalvektoren for linjen l. En normalvektor for
linjen l aflæses af ligningen fundet i delspørgsmål a) til:
En ligning for linjen m er således:
Vi bestemmer nu skæringspunktet mellem de to linjer ved at anvende kommandoen solve på TI-nspire.
(Der løses to ligninger med to ubekendte)
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
3
Koordinatsættet til projektionen af parablens toppunkt på er således
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
4
Opgave 9
a)
Vinklen bestemmes ved hjælp af WordMat.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 12,8 , AC = 28,0 , AB = 22,4
A = 26,5701°
B = 101,9158°
C = 51,51414°
BC = 12,8
AC = 28
AB = 22,4
Således fås
Arealet bliver da jf. formel 29
Arealet af trekant er altså 140,3 afrundet til en decimal.
b)
På figuren herunder ses en skitse af situationen. (for højde og median se side 39 i formelsamling)
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
5
Da E er medianen fra B ned på siden AC, ved vi pr. definition af medianen at
.
Vi kan dermed bestemme længden |DE| som
Vi bestemmer nu sidelængden |DC| ved at betragte den retvinklede trekant BCD.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 90° , C = 51,51414° , a = 12,8
D = 90°
B = 38,48586°
C = 51,51414°
a = 12,8
b = 7,965715
c = 10,01935
Dvs. at
Vi kan nu bestemme |DE|
|DE| er dermed 6,03 afrundet til to decimaler.
D
B
C
a
b
c
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
6
Opgave 10
a)
Tabellens data indskrives i Excel og overføres til Word.
Masse (kg)
0,025
0,314
3,5
11,4
Hastighed (mL/h)
72,85
529,40
2751,00
7079,40
Da der er tale om en sammenhæng af typen
hvor og er konstanter, er der tale om en
potensfunktion. Vi foretager nu en regression med funktionen potensregression i WordMat (Statistik/sands
- Regression - Potens)
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9991141
Konstanterne a og b kan aflæses
og
b)
For at kunne regne på modellen defineres først funktionen i WordMat (CAS - Definitioner - Funktion)
Hastigheden ifølge modellen hvorved blodplasmaet renses for medicin hos et dyr på 70 kg bestemmes ved
at bruge funktionen Beregn (CAS - Beregn) i WordMat for v(70).
Hos et dyr på 70 kg renses blodplasmaset ifølge modellen altså for medicin med en hastighed på ca.
26707,4 mL/h. Dvs. knap 27 liter pr. time.
Massen af et forsøgsdyr der renser sit blodplasma med en hastighed på 5000 mL/h bestemmes ved at løse
ligningen v(m) = 5000 for m, via funktionen Løs ligninger (CAS).
Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.
Et forsøgsdyr der renser sit blodplasma for medicin med en hastighed på 5000 mL/h har altså en masse på
ca. 7,3 kg.
c)
Da der er tale om en potensfunktion ganges f med tallet
når x ganges med
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
7
Tallene indsættes
Når massen af forsøgsdyret stiger med 20 % stiger altså hastigheden hvorved dyret renser sit blodplasma
for medicin med ca. 14 %.
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
8
Opgave 11
a)
For at bestemme en ligning for bestemmes først en normalvektor. Vektorerne
og
bestemmes (jf
formel 61)og deres vektorprodukt udregnes med funktionen crossP i TI-nspire.
En normalvektor til planen er altså jf. formel 68
En ligning for planen bestemmes jf. formel 71
En ligning for planen er altså
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
9
b)
Af den givne ligning for planen aflæses normalvektoren
Cosinus til en vinkel mellem planerne bestemmes jf. formel 64 ved hjælp af
Der fås
Den spidse vinkel mellem de to planer er således
Den stumpe vinkel er
c)
Sidefladen kan inddeles i de to trekanter og . Således fås arealet af sidefladen som (jf
formel 70, hvor der deles med 2, da trekanter)
Udtrykket beregnes.
Arealet af sidefladen er altså
.
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
10
Opgave 12
a)
Differentialligningen med den tilhørende startbetingelse løses med funktionen deSolve på TI-Nspire.
Forskriften for er altså
b)
For at kunne regne med funktionen defineres denne først.
Endelig bestemmes det tidspunkt til hvilket der er 60 kg salt i karret.
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
11
Efter knap 40 minutter og 20 sekunder vil der altså være 60 kg salt i karret.
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
12
Opgave 13
a)
Funktionen defineres i TI-Nspire
Grafen skitseres.
Husk at sætte lommeregneren til at regne i Radianer, da der her er tale om en trigonometrisk funktion
Endelig bestemmes arealet af jf. formel 153.
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
13
Arealet af punktmængden er altså ca.
b)
Den første afledede bestemmes via TI-Nspire og denne benyttes til at bestemme det ønskede integral.
Lampens overfladeareal er altså ca.
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
14
Opgave 14
a)
Volumen af beholderen er givet ved summen af kassens volumen og halvkuglens volumen
Vi har at:
Beholderens volumen udtrykt ved og er altså
b)
Volumen defineres i TI-Nspire og højden udtrykket ved radius ved at løse ligningen
for h
Med en volumen på 5 er højden udtrykt ved radius altså
Vi bestemmer først et udtryk for beholderens overflade på tilsvarende måde som vi gjorde ved arealet
Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-
15
Her trækkes arealet af cirklen fra låget
Dvs.
Derefter beregnes overfladen af halvkuglen
Beholderens overflade
Vi reducerer nu udtrykket ved WordMat (CAS - Omskriv)
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykkket for h indsættes
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
c)
Funktionen defineres i TI-Nspire og den værdi for hvor er mindst bestemmes med funktionen
fMin.
Overfladearealet af beholderen er altså, under antagelse af at , mindst for