Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014
1
STX Matematik A 5. december 2014
Delprøven uden hjælpemidler
stx143-Mat/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i
en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Opgave 1
Den generelle løsningsformel for andengradsligninger er:
Koefficienterne aflæses af polynomiet: og
Opgave 2
Da der er tale om udvikling hvor arealet aftager med en fast procentdel årligt, er der tale om en
eksponentiel model:
Hvor er arealet af havis angivet i
, mens er antal år efter 2008. er fremskrivningsfaktoren og
er arealet af havisen i år 2008.
Om fremskrivningsfaktoren gælder, at:
Hvor er vækstraten.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014
2
Den endelige forskrift bliver da:
Opgave 3
Punktet, der angiver sædets position i yderpositionen projiceres ind på det lodrette gyngestativ (se
tegning). Linjestykket fra denne projektion og op til toppen af gyngestativet benævnes . Resten af det
høje gyngestativ benævnes og angiver gyngens højde over jorden. Vi har altså, at
Ved hjælp af pythagoras får vi, at:
Så får vi:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014
3
Gyngens sæde er således 3,3 meter over Jorden, når personen befinder sig I yderpositionen.
Opgave 4
Da er
, så:
Vi får nu at vide, at ligger på grafen for , så
Den endelige forskrift kan nu opskrives:
Ledvis integration og konstant uden for integrationstegn:
Opgave 5
Ligningen for tangenten i et punkt
er givet ved formlen:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014
4
Tangenthældningen
findes ved at indsætte koordinaterne af punktet i differentialligningen, i
det
:
Nu indsættes tangenthældningen samt koordinatsættet i den generelle tangentligning:
Ligningen for tangenten til grafen for i er således
Opgave 6
Først differentieres for at finde
Da er et andengradspolynomium med , kan vi konstatere, at grafen er en parabel med benene
nedad, hvorfor toppunktet er et globalt maksimum. -koordinaten i toppunktet findes ved hjælp af
toppunktsformlen:
Den værdi af , hvor er maksimal er således .
: Ledvis differentiation, konstant uden for parentes og differentiation af potensfunktion
Hvis man ikke bemærker, at
er et andengradspolynomium, hvis graf dermed er en parabel, kan
sidste del af opgaven løses på følgende vis:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014
5
Ved at løse
findes
-koordinaten i det punkt, hvor
er maksimal.
Vi tjekker nu fortegnet for
på begge sider af
.
Der er kun et ekstremumspunkt, så det vil sige, at
er voksende i intervallet
og aftagende
i intervallet
. Altså er der tale om et globalt maksimum.
Den værdi af
, hvor
er maksimal er således
.