Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
1
STX Matematik A 6. december 2013
Delprøven med hjælpemidler
stx133-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 18
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
2
Løsning med WordMat
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.
Opgave 7
a)
Den angivne sammenhæng
er en eksponentiel sammenhæng.
Tabellen oprettes i MS Excel, hvor antal år efter 2004 bestemmes som det aktuelle årstal minus 2004.
Tabellen kopieres herefter over i MS Word og der foretages en eksponentiel regression over tabellens data.
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel) benyttes.
Årstal
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Antal år efter 2004
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Dræbte næsehorn
10
13
24
13
83
122
333
448
668
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9280704
Af regressionens resultat fremgår, at forskriften for er bestemt til:
Resultatet er afrundet til tre decimaler.
b)
Tallet er fremskrivningsfaktoren, hvor er vækstraten,
hvilket svarer til . Dette betyder således, at antallet af dræbte næsehorn er steget med 79 %
om året i perioden.
c)
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Ved hjælp af den fundne model kan antallet af dræbte næsehorn i 2013 (9 år efter 2004) estimeres
ved at bestemme tallet , hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn).
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
3
Ifølge modellen skulle antallet af dræbte næsehorn i Sydafrika blive
Resultatet er afrundet til et helt antal næsehorn.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
4
Opgave 8
a)
Tegnes en ret linje fra punktet vinkelret (ortogonal) på siden
i punktet , fremkommer trekant , der er retvinklet, hvor:
Banetovet er hypotenusen i og kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning. (jf. formel 21)
Med de aktuelle betegnelser, fås:
Hvilket indsættes og beregnes med WordMat (CAS - Beregn):
Banetovet har således længden:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
b)
Ved hjælp af WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant) bestemmes de manglende sider i trekant .
WordMat's trekantsløser anvendes med input: E = 13° , D = 151° , c = 13,92839
E = 13°
C = 16°
D = 151°
a = 6,462755
b = 7,918953
c = 13,92839
Arealet af trekant kan bestemmes som: (jf. formel 29)
Længderne af sider og (fundet herover) afrundes til to decimaler og indsættes sammen
med vinkel i arealformlen. WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
E
C
D
a
b
c
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
5
Arealet af det trekantede område er således
(resultatet er afrundet til to decimaler).
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
6
Opgave 9
a)
For at bestemme en ligning for planen, der indeholder tagfladen , bestemmes først
med henblik på at bestemme en normalvektor for planen. WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
(jf. formlerne 61,68)
Krydsproduktet kan med fordel skaleres med
så en normalvektor
bliver: (jf. formel 58)
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Planen , der indeholder det kendte punkt
og med normalvektor
har en ligning:
(jf. formel 71)
Med som det kendte punkt og
som normalvektor fremkommer følgende ligning for planen,
der indeholder tagfladen . WordMat (CAS - Omskriv - Reducer) benyttes.
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
En ligning for planen, der indeholder er således:
b)
Vinklen mellem planerne kan bestemmes som vinklen mellem deres normalvektorer.
En normalvektor for planen, der indeholder aflæses af planens ligning til: (jf. formel 71)
Vinklen mellem to vektorer og
bestemmes som: (jf. formel 63)
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
7
Koordinaterne for normalvektorerne
og
indsættes i ovenstående ligning:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Da den fundne vinkel er stump
, kan det konkluderes, at den stumpe vinkel mellem
tagfladerne og er bestemt til: . Resultatet er afrundet til én decimal.
c)
De trekantede tagflader og har samme areal og kan bestemmes som halvdelen af det
parallelogram, der udspændes af vektorerne
og
: (jf. formlerne 61,70)
WordMat (CAS - Beregn) benyttes i det efterfølgende.
Arealet af den trekantede tagflade kan på samme vis bestemmes som:
krydsproduktet
er bestemt tidligere.
De to kvadratiske sideflader samlede areal kan bestemmes som:
Det samlede glasareal af vindfanget kan således bestemmes som (afrundet til to decimaler):
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
8
Det samlede glasareal er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
9
Opgave 10
a)
Det bemærkes først, at der er tale om logistisk vækst, hvor den angivne differentialligning er af typen:
(jf. formel 160)
Differentialligningen løses vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Løs Differentialligning), hvor oplysningen
om, at der sættes 12 guppyer i akvariet fra begyndelsen, benyttes som startbetingelse.
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen P(0)=12
Forskriften for , som en funktion af (målt i uger), er således bestemt til:
hvilket defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet := til senere brug.
Tidspunktet , hvor antallet af guppyer er 80, bestemmes ved at løse ligningen
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er således 80 guppyer i akvariet til tiden (efter begyndelsen):
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
10
b)
Grafen for tegnes vha. WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU plot)
Intervallerne for og vælges således, at følgende graf vises.
Den øvre grænse for antallet af guppyer i akvariet (”bæreevnen”) kan aflæses af forskriften for .
Den fundne forskrift for er en logistisk vækst efter modellen: (jf. formel 160)
hvor bæreevnen er den øvre grænse for populationen (bestanden af guppyer).
Af forskriften for
aflæses (hvilket svarer overens med grafen for ).
Den øvre grænse for antallet af guppyer i akvariet er således .
c)
Den værdi for , hvor væksthastigheden er størst, kan bestemmes ved at
betragte som en funktion af :
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
11
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat. (CAS - Omskriv - Udvid)
hvilket er en andengradsligning, hvor grafen vil være en parabel med parabelgrenene nedad.
Den søgte værdi for , der giver den største væksthastighed, kan bestemmes som førstekoordinaten
til parablens toppunkt.
Fra formlen til bestemmelse af parablens toppunkt benyttes: (jf. formel 55)
Med de aktuelle betegnelser og kendte værdier, fremkommer følgende:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
ved denne værdi for er væksthastigheden således størst.
Tidspunktet , hvor væksthastigheden for antallet af guppyer er størst, kan således bestemmes som det
tidspunkt , hvor
. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Væksthastigheden for antallet af guppyer i akvariet, er størst til tiden:
efter guppyerne er sat ud i akvariet (resultatet er afrundet til én decimal).
OBS: Denne opgave kan også løses ved at bestemme maksimum for P’(t). Altså ved at differentiere P(t)
to gange og lave en funktionsundersøgelse.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
12
Opgave 11
a)
Den angivne model defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
De givne oplysninger vedr. tapens tykkelse og radius af den tomme rulle defineres ligeledes i WordMat.
Længden af tapen på rullen ved 75 viklinger bestemmes som .
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Der er således tape på rullen, når der er 75 viklinger på rullen.
Resultatet er afrundet til to decimaler.
b)
Antallet af viklinger, når der længden af tapen er 50.000 mm, bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da antallet af viklinger ikke kan være negativt, kan det konkluderes, at der er på rullen,
når længden af tapen er 50.000 mm. Resultatet er afrundet til et helt antal viklinger.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
13
Opgave 12
a)
Den angivne model for spændingsfaldet over batteriet defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Intervallet for defineres ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - definer variabel).
Grafen for kan efterfølgende tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU plot).
Tidspunkterne, hvor spændingsfaldet er 12 Volt, kan bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at spændingsfaldet over batteriet er 12 Volt til tiden og efter affyring.
Resultaterne er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
14
b)
Tallet
bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).
Afrundet til to decimaler er det således bestemt, at:
Der er tale om ændringshastigheden i spændingsfaldet over batteriet til tiden efter affyring.
Da tallet
er negativt, betyder det, at spændingsfaldet over batteriet falder med 0,50 Volt
pr. sekund til tiden 15 sekunder efter affyring.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
15
Opgave 13
a)
Nulhypotesen
:
Der er samme aldersfordeling blandt de tilfældigt udvalgte som for alle 20 - 70 årige danskere.
Der skal laves en
Goodness of fit (GOF) test af de to givne fordelinger på et 5 % signifikansniveau.
De givne data indtastes i MS Excel og de forventede værdier (antal) for stikprøven bestemmes
som den procentvise fordeling i en given aldersgruppe anvendt på det samlede antal udvalgte (165).
Tabellen kopieres efterfølgende over i MS Word.
Alder
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
Aldersfordelingen af alle (%)
18,1
20,3
22,6
20,0
19,0
i alt
Fordelingen i stikprøven (antal)
21
39
51
30
24
165
Forventet antal
30
34
37
33
31
165
Eksempel: Det forventede antal i aldersgruppen 20 - 30.
(afrundes til 30)
WordMat (Statistik/sands. - Test - Goodness of fit) benyttes.
Den observerede fordeling blandt de tilfældigt udvalgte (stikprøven), de beregnede forventede værdier
(antal) samt signifikansniveauet indtastes i Excel-skemaet og følgende resultat fremkommer:
Konklusion.
Det fremgår af resultatet, at P-værdien er på 3 %, hvilket er mindre end signifikansniveauet på 5 %.
Nulhypotesen forkastes derfor, og der er dermed signifikant forskel på aldersfordelingen blandt de
tilfældigt udvalgte danskere og aldersfordelingen blandt alle danskere i alderen 20 - 70 år.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
16
Opgave 14
a)
Funktionerne defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Intervallet for defineres ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - definer variabel):
Nulpunkterne for funktionerne bestemmes ved henholdsvis at løse ligningerne
samt
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nulpunktet for , når , er således bestemt til:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nulpunktet for , når , er således bestemt til:
b)
På den viste tegning af busskurets gavl fremgår det, at i det aktuelle interval.
Efter at have bestemt nulpunkterne for funktionerne og kan arealet af busskurets gavl (området
nu bestemmes som integralet: (jf. formlerne 153,154).
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af busskurets gavl er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til et helt tal.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
17
Opgave 15
a)
Funktionen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Da differentialkvotienten til er defineret som hældningskoefficienten for tangenten til grafen for i
(rørings)punktet
, vil en tangent til gennem origo have formen:
Røringspunkterne på grafen for kan bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvilket indsættes i ovenstående ligning for tangenten. WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Tangenterne til gennem punktet har således ligningerne:
Resultaterne er afrundet til tre decimaler.
Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
18
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataet:
Vi foretager en eksponentiel regression:
Af regressionens resultat fremgår, at forskriften for er bestemt til:
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.3.1)(1.3.1)
b)
1.7898
Tallet er fremskrivningsfaktoren, hvor vækstraten er
hvilket svarer til 79 %. Dette betyder således, at antallet af dræbte næsehorn er steget med 79
% om året i perioden.
c)
Ved hjælp af den fundne model kan antallet af dræbte næsehorn i 2013 (9 år efter 2004)
estimeres ved at bestemme tallet
44
Ifølge modellen skulle antallet af dræbte næsehorn i Sydafrika blive 1287 næsehorn.
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.2.3)(2.2.3)
Opgave 8
a)
Vi tegner en ret linje fra punktet C vinkelret (ortogonal) på siden AE:
A
B
F
E
C
D
I punktet F, fremkommer trekant CEF, der er retvinklet, hvor:
Vi bestemmer længden af banetovet CE:
Banetovet CE har således længden:
b)
77
87
(2.2.4)(2.2.4)
Arealet af trekant CDE kan bestemmes som:
Arealet af det trekantede område CDE er således 12,41
(3.2.4)(3.2.4)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.1.5)(3.1.5)
(3.1.4)(3.1.4)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.3.2)(3.3.2)
(3.3.3)(3.3.3)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
Opgave 9
a)
Vi definerer punkterne:
A
B
C
Vi bestemmer en ligning for planen:
ABC
En ligning for planen er således:
b)
Planen indeholdende ACD defineres:
ACD
Vinkel mellem planerne ABC og ACD kan bestemmes:
Ovenstående resultat er givet i radianer. Vi bestemmer vinklen i grader:
82
Den stumpe vinkel er givet ved:
Den spidse vinkel mellem planerne er
c)
Glasarealet kan bestemmes som:
Punkt D og E defineres:
localD
E
(3.3.4)(3.3.4)
(3.3.12)(3.3.12)
(3.3.10)(3.3.10)
(3.3.8)(3.3.8)
(3.3.9)(3.3.9)
(3.3.11)(3.3.11)
(3.3.7)(3.3.7)
(3.3.5)(3.3.5)
(3.3.6)(3.3.6)
Arealet af trekanterne bestemmes:
ABC
ACD
BCE
Arealet af siderne bestemmes:
18
Det samlede areal bestemmes:
82
Det samlede glasareal er således bestemt til:
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.1.5)(4.1.5)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 10
a)
Differentialligningen løses , hvor oplysningen om, at der sættes 12 guppyer i akvariet fra
begyndelsen, benyttes som startbetingelse.
Vi forkorter forkskriften ved at dividere med 2 i tæller og nævner:
Forskriften for P, som en funktion af t (målt i uger), er således bestemt til:
Tidspunktet t, hvor antallet af guppyer er 80, bestemmes ved at løse ligningen P(t)=80:
57
Der er således 80 guppyer i akvariet til tiden (efter begyndelsen):
b)
Grafen for tegnes:
(4.3.1)(4.3.1)
P'.
Den fundne forskrift for P er en logistisk vækst efter modellen:
hvor bæreevnen er den øvre grænse for populationen (bestanden af guppyer).
Af forskriften for aflæses M=150 (hvilket svarer overens med grafen
for P).
Den øvre grænse for antallet af guppyer i akvariet er således 150 guppyer .
c)
Vi maksimerer den afledet funktion af P, som er et udtryk for væksthastigheden:
Væksthastigheden for antallet af guppyer i akvariet, er størst til tiden: =10,9 uger
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.4)(5.1.4)
Opgave 11
a)
Den angivne model defineres:
De givne oplysninger vedr. tapens tykkelse og radius af den tomme rulle defineres:
0.1
25
Længden af tapen på rullen ved 75 viklinger bestemmes som L(75):
32
Der er således 13548,12 mm tape på rullen, når der er 75 viklinger på rullen.
b)
Antallet af viklinger, når der længden af tapen er 50.000 mm, bestemmes ved at løse
ligningen:
Da antallet af viklinger ikke kan være negativt, kan det konkluderes, at der er 221 viklinger på
rullen, når længden af tapen er 50.000 mm
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.1)(6.2.1)
Opgave 12
a)
Den angivne model for spændingsfaldet over batteriet defineres:
Grafen for tegnes:
Tidspunkterne, hvor spændingsfaldet er 12 Volt, kan bestemmes ved at løse ligningen:
Resultatet betyder, at spændingsfaldet over batteriet er 12 Volt til tiden 7,1 sekunder og 17,1
sekunder efter affyring.
b)
Tallet bestemmes:
Der er tale om ændringshastigheden i spændingsfaldet over batteriet til tiden t=15 sek efter
affyring. Da tallet er negativt, betyder det, at spændingsfaldet over batteriet
falder med 0,50 Volt pr. sekund til tiden 15 sekunder efter affyring.
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.2)(7.1.2)
Opgave 13
a)
Nulhypotesen : Der er samme aldersfordeling blandt de tilfældigt udvalgte som for alle 20 -
70 årige danskere.
Vi definerer observationerne:
De forventede værdier beregnes ud fra den procentvise aldersfordeling og det samlede antal
danskere:
Der skal laves en Goodness of fit (GOF) test af de to givne fordelinger på et 5 %
signifikansniveau.
Det fremgår af resultatet, at P-værdien er på 0,031, hvilket er mindre end signifikansniveauet
på 0,05.
Nulhypotesen forkastes derfor, og der er dermed signifikant forskel på aldersfordelingen
blandt de tilfældigt udvalgte danskere og aldersfordelingen blandt alle danskere i alderen 20 -
70 år.
(8.1.3)(8.1.3)
(8.1.1)(8.1.1)
(8.1.4)(8.1.4)
(8.2.1)(8.2.1)
(8.1.2)(8.1.2)
Opgave 14
a)
Funktionerne defineres:
Vi bestemmer funktionernes nulpunkter:
Nulpunktet for , når er og nulpunktet for , når , er
b)
På den viste tegning af busskurets gavl fremgår det, at i det aktuelle interval. Efter at
have bestemt nulpunkterne for funktionerne og kan arealet af busskurets gavl (området )
nu bestemmes som integralet:
Arealet af busskurets gavl er 18667
(9.1.3)(9.1.3)
(9.1.5)(9.1.5)
(9.1.6)(9.1.6)
(9.1.4)(9.1.4)
(9.1.1)(9.1.1)
(9.1.7)(9.1.7)
(9.1.2)(9.1.2)
Opgave 15
a)
Funktionen defineres:
Da differentialkvotienten til er defineret som hældningskoefficienten for tangenten til
grafen for i (rørings)punktet ( , ), vil en tangent til f gennem origo (0,0) have formen:
Røringspunkterne på grafen for f kan bestemmes ved at løse ligningen:
Hvilket indsættes i ovenstående ligning for tangenten:
Tangenterne til f gennem punktet (0,0) har således ligningerne: