Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - den 6. december 2013
Alle formelnumre i de nedenstående løsningsforslag henviser til
Matematisk formelsamling stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcis kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Forskriften for en lineær funktion er: f(x) = ax + b, hvor a og b er konstanter. (jf. formel
48).
Givet to punkter kan hældningskoefficienten a for den lineære funktion
f bestemmes som: (jf. formel 47)
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
koordinaterne indsættes
a =
17 − 1
5 − (−3)
m
a = 2
b bestemmes ved indsættelse af den fundne værdi for a samt ét af de kendte
punkters koordinater i forskriften. Punktet (−3, 1) vælges.
f(x) = ax + b
kendte værdier indsættes
1 = 2 · (−3) + b
m
1 = −6 + b
m
b = 7
Forskriften for f er dermed:
f(x) = 2x + 7
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
Opgave 2
Arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne ~a og
~
b kan bestemmes
som den numeriske værdi af determinanten for vektorparret (jf. formel 46).
A =
det(~a,
~
b)
koordinater indsættes
A =
5 1
2 −4
m (jf. formel 43)
A = |5 · (−4) − 2 · 1|
m
A = |−22|
⇓
A = 22
Arealet af det udspændte parallelogram er således bestemt til: A = 22
Opgave 3
Koefficienten a er positiv, idet parabelgrenene (parabelbenene) vender opad.
Koefficienten b er positiv, da en tangent til parablen i parablens skæringspunkt med y-
aksen, har en positiv hældningskoefficient.
Konstanten c er positiv, idet en parabel skærer y-aksen i punktet (0, c),
I denne opgave ligger skæringspunktet på y-aksens positive halvdel, derfor er c positiv.
Diskriminanten d = b
2
− 4ac er negativ, idet parablen ingen skærings-
punkter har med x-aksen (rødder).
Opgave 4
Først bestemmes det ubestemte integrale:
F (x) =
Z
4 − 3x
2
dx
(jf. formel 145)
=
Z
4 dx −
Z
3x
2
dx
(jf. formel 137)
= 4x −
3
2 + 1
· x
2+1
+ k
= 4x − x
3
+ k
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
hvor k er integrationskonstanten.
Derefter indsættes koordinaterne for P (2, 5) og værdien for k bestemmes:
F (x) = 4x − x
3
+ k
koordinaterne indsættes
5 = 4 · 2 − 2
3
+ k
m
5 = 8 − 8 + k
m
k = 5
Stamfunktionen til f, hvis graf går gennem P (2, 5), er således bestemt:
F (x) = 4x − x
3
+ 5
Opgave 5
For at bestemme monotoniforholdene for f , bestemmes først den afledede funktion f
0
.
Dernæst løses ligningen f
0
(x) = 0
Sidst undersøges fortegnsvarationen for f
0
for at bestemme monotoniforholdene for f .
Bestemmelse af f
0
f
0
(x) =
x
3
+ 3x
2
− 9x + 16
0
(jf. formel 121,122)
= (x
3
)
0
+ (3x
2
)
0
− (9x)
0
+ (16)
0
(jf. formel 129)
= 3 · x
3−1
+ 2 · 3 · x
2−1
− 9 + 0
= 3x
2
+ 6x − 9
Eventuelle ekstrema bestemmes ved at løse ligningen f
0
(x) = 0
3x
2
+ 6x − 9 = 0
Løsningsformlen for andengradsligninger benyttes (jf. formel 79).
Først bestemmes diskriminanten d = b
2
− 4ac = 6
2
− 4 · 3 · (−9) = 144
x =
−6 ±
√
144
2 · 3
m
x =
−6 ± 12
6
m
x = −1 ± 2
m
x = −3 ∨ x = 1
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
Monotoniforholdene for f kan nu bestemmes ved at undersøge fortegnvariationen for f
0
.
Der udvælges x-værdier før, mellem og efter disse nulpunkter for f
0
. De udvalgte værdier
indsættes i udtrykket for f
0
.
f
0
(−4) = 3 · (−4)
2
+ 6 · (−4) − 9 = 15
f
0
(0) = 3 · 0
2
+ 6 · 0 − 9 = −9
f
0
(2) = 3 · 2
2
+ 6 · 2 − 9 = 15
Monotonilinje
x −3 1
f
0
(x) + 0 − 0 +
f(x) % max & min %
Monotoniforhold for f
• f er voksende i intervallet ] −∞; −3[ og ]1; ∞[ da f
0
> 0
• f er aftagende i intervallet ] −3; 1[ da f
0
< 0
4
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx133-MAT/A-
Opgave 6
Arealet af trekant ABC kan beregnes som:
T
ABC
=
1
2
· |AC|· |BC|
Af de givne oplysninger fremgår det, at koordinaterne for punktet C(x, y), altså afstanden
fra C til henholdsvis y-aksen og x-aksen, svarer til længden af kateterne i trekant ABC.
|AC| = x og |BC| = y indsættes i ovenstående:
T
ABC
=
1
2
· x · y
Punktet C ligger på linjen l med ligningen y = 4 − x, hvilket indsættes:
T
ABC
=
1
2
· x · (4 − x)
Udtrykkes T
ABC
som en funktion af x fremkommer:
T (x) =
1
2
· x · (4 − x)
hvilket skulle vises...
Reduceres funktionsudtrykket, fremkommer et andengradspolynomium:
T (x) =
1
2
· x · (4 − x)
m
T (x) = 2 · x −
1
2
· x
2
m
T (x) = −
1
2
x
2
+ 2x
Da koefficienten til andengradsleddet er negativ, vil grafen for T , der er en parabel, vende
parabelgrenene nedad ("sur parabel"). x-koordinanten for toppunktet er derfor den værdi
for x, der giver det største areal af ABC.
Toppunktformlen for en parabel:
T
p
(x, y) =
−b
2a
;
−d
4a
(jf. formel 55)
x-koordinanten for toppunktet bestemmes ved indsættelse af a = −
1
2
og b = 2
x
p
=
−2
2 ·
−
1
2
= 2
Arealet af trekant ABC (når 0 < x < 4) er således størst, når: x = 2
OBS: Kan du ikke huske toppunktsformlen for en parabel, kan du altid lave en
undersøgelse af funktionens monotoniforhold.
5