Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
1
STX Matematik A 7. december 2015
Delprøven med hjælpemidler
stx153-MAT/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 18
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vektorerne defineres:
Hvis to vektorer er ortogonale vil deres skalarprodukt være lig med 0. Skalarproduktet beregnes nu i
WordMat:
Derfor er og
ikke ortogonale.
b)
Ligningen for en linje, som går denne punktet
med normalvektor
, ser ud på følgende
måde:
Når linjen er parallel med , vil være normalvektor for linjen. kan beregnes på følgende made:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
3
Nu indsættes koordinatsættene for hhv. og i linjens generelle ligning:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den endelige ligning kan nu opskrives
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
4
Opgave 8
a)
WordMats trekantsberegner anvendes på trekant ABH:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 40°, H = 90°, AH = 8
A = 40°
B = 50°
H = 90°
BH = 6,94
AH = 8
AB = 10,5
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden BH findes vha. tangens
Længden af siden AB findes vha. cosinus
Længden af siden AB er således 10,44
Nu anvendes trekantsberegneren på trekant BHC
WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, HC = 12, HB = 6,7128
40°
50°
90°
6,71
8
10,4
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
5
H = 90°
B = 60,°
C = 29,°
BC = 13,1
HC = 12
HB = 6,7128
Længden af siden BC findes vha. Pythagoras
Vinkel C findes vha. tangens
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
b)
Vinkel B i trekant ABC er en sum af vinkel B i trekant ABH og vinkel B i trekant BHC:
Vinkel B i trekant ABC er således 110,78.
Arealet af en trekant kan udregnes som:
Hvor er en højde og er den tilsvarende grundlinje.
For trekant ABH bliver det:
For trekant ABC bliver det:
90°
60,8°
29,2°
13,7
12
6,71
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
6
Nu skal vi efterprøve udsagnet
:
Det er hermed vist, at arealet af trekant ABC er 2,5 gange større end arealet af trekant ABH.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
7
Opgave 9
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression. Data opskrives først i en tabel:
Antal år
efter
2000
0
2
4
6
8
10
12
14
Aktiekurs
13,9
27,0
31,9
40,9
66,3
99,9
171,1
271,8
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,754
Vi aflæser nu, at:
b)
Konstanten er fremskrivningsfaktoren, og indeholder information om vækstraten, i det:
Det vil sige, at virksomhedens aktiekurs stiger med om året.
Fordoblingstiden i eksponentielle vækstmodeller er givet ved:
Fordoblingstiden for virksomhedens aktiekurs ved årsafslutningen er ikke præcist til at bestemme, da
modellen kun siger noget om aktiekursen ved årsafslutningen. Efter 3 år vil aktiekursen ikke være helt
fordoblet, og efter 4 år vil aktiekursen være mere end fordoblet.
c)
Funktionen defineres:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
8
For at finde det år, hvor aktiekursen ved årsafslutningen overstiger 500, løses nedenstående ligning:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da modellen kun siger noget om aktiekursen ved årsafslutningen, vil aktiekursen ved årsafslutningen først
overstige 500 i år 2018 (.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
9
Opgave 10
a)
Det indgående udtryk, vil svinge mellem sine ekstreme værdier -1 og 1. Den største og
mindste funktionsværdi (og dermed vanddybde) skal således findes ved disse værdier af sinus.
Den minimale vanddybde er således , mens den maksimale vanddybde er .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
10
Opgave 11
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
Nulpunkterne bestemmes nu ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den første punktmængde, , afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet . Da i hele
intervallet, kan arealet defineres som:
Den anden punktmængde, , afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet . Da i hele
intervallet, tolkes integralet som arealet med omvendt fortegn. Arealet kan så defineres som:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
11
Det samlede areal kan nu bestemmes som:
b)
Rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer ved en 360 graders rotation om førsteaksen af den
punktmængde, som afgrænses af grafen for en funktion og førsteaksen i et interval , er givet ved:
Da punktmængderne og ligger i de tilstødende intervaller og , og der altid vil gælde, at
behøver vi ikke længere opdele punktmængderne i to intervaller :
Det samlede volumen er da givet ved:
Det samlede volumen af de to omdrejningslegemer, som fremkommer, når de to punktmængder drejes
om førsteaksen er således
:
Teksten i ovenstående løsning bør være nok til at opnå fulde points, men det er vigtigt, at man ikke
anvender mindre forklarende tekst, end at man selv kan forstå det. Her følger lidt uddybende forklaring:
Vi anvender, at:
At dette er sandt, bør kunne forstås intuitivt, men ellers kan det findes i en formelsamling. Overvej evt.,
hvordan det bestemte integral tolkes. Det svarer blot til at lægge to tilstødende arealer sammen til et
større areal (i hvert fald hvis i hele ).
I vores konkrete tilfælde får vi:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
12
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Vi lader WordMat om udregningen:
Tallet
betyder, at olieudslippets areal vokser med
til tidspunktet
(det vil sige 100 timer efter udslippets start).
b)
Vi indsætter i formlen:
Vi finder nu tidspunktet ved at løse:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan således konkludere, at olieudslippets maksimale areal er ca.
, samt at dette areal opnås ca.
142 timer efter olieudslippets start.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
13
Opgave 13
a)
Den generelle ligning for en kugle med centrum i
og radius er givet ved:
Den omtalte kugle har centrum i
og .
Da får vi:
Kuglens endelige ligning bliver således:
Vi indsætter nu koordinatsættet for i kuglens ligning og undersøger, om begge sider i ligningen viser det
samme:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, har vi nu gjort rede for, at ligger på kuglen.
b)
Ligningen søges opskrevet på formen:
Hvor
er en normalvektor til planen, mens
er koordinatsæt for et punkt i planen.
En normalvektor til (da der er tale om en tangentplan) er givet ved den vektor, som forbinder centrum med
punktet . Denne vektor beregnes nu:
Denne vektor anvendes nu sammen med (som er et punkt i planen) til at opskrive en ligning for :
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
14
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at tangentplanen til kuglen i punktet kan beskrives ved ligningen:
c)
Hvis vi kan finde uendeligt mange ”skæringspunkter” mellem linjen og planen, betyder det, at linjen ligger i
planen. Vi aflæser og definerer nu koordinatfunktionerne fra linjens parameterfremstilling:
Disse koordinatfunktioner substitueres nu ind i planens ligning ved anvendelse af ovenstående definitioner.
Ligningen løses mht. :
Alle reelle tal er løsning til ligningen.
Det vil sige, at linjen ligger i planen .
Linjens koordinatfunktioner substitueres nu ind i kuglens ligning, som herefter løses:
Ligningen havde ingen løsninger indenfor for variabel .
Det vil sige, at linjen ikke skærer kuglen.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
15
Opgave 14
a)
Vi indsætter nu i ligningen for vasens volumen, hvorefter vi isolerer :
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Højden kan nu defineres som udtryk af sidelængden :
b)
Ovenstående udtryk for substitueres ind i formlen for :
Vi definerer nu som en funktion af :
Evt. ekstrema findes ved at løse:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger nu fortegnet på begge sider af nulpunktet for .
Da funktionen går fra at være aftagende til at være voksende i punktet , vil funktionen i samme
punkt have et lokalt minimum. Da funktionen ikke har flere ekstrema, må der samtidig være tale om et globalt
minimum. Vasens ydre overfladeareal bliver således mindst muligt, når .
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
16
Opgave 15
a)
Vi definerer først og :
Differentialligningen løses med startbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen A(0)=50000
Vi har nu en forskrift, som kan defineres:
Vi løser nu:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Opsparingens størrelse når således op på 100.000 kr. efter ca. år.
b)
Vi omdefinerer og lader være ubekendt:
Differentialligningen løses nu med begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen A(0)=30000
Funktionen defineres:
Vi løser nu ligningen
med hensyn til :
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
17
Ligningen løses for s vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den faste årlige indbetaling skal således være på ca. , for at opsparingens størrelse når op på
efter 8 år.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
18
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.2.1)(1.2.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vektorerne defineres:
Hvis to vektorer er ortogonale vil deres skalarprodukt være lig med 0. Skalarproduktet
beregnes:
Derfor er og ikke ortogonale.
b)
Ligningen for en linje, som går denne punktet med normalvektor , ser ud
på følgende måde:
Når linjen er parallel med , vil være normalvektor for linjen. bestemmes:
Nu indsættes koordinatsættene for hhv. og i linjens generelle ligning:
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.2.3)(2.2.3)
Opgave 8
a)
Maples trekantsberegner anvendes på trekant ABH, som vi af hensyn til Maple kalder XYZ:
Længden af siden AB er således 10,44.
Nu anvendes trekantsberegneren på trekant HBC, som ligeledes kaldes XYZ:
Sidelængden af BC er 13,75.
b)
Vinkel B i trekant ABC er en sum af vinkel B i trekant ABH og vinkel B i trekant HBC:
Vinkel B i trekant ABC er 110,78°.
Arealet af en trekant kan udregnes som:
Hvor er en højde og er den tilsvarende grundlinje.
For trekant ABH bliver det:
For trekant ABC bliver det:
Nu skal vi efterprøve udsagnet
00
Det er hermed vist, at arealet af trekant ABC er 2,5 gange større end arealet af trekant ABH.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.4)(3.1.4)
Opgave 9
a)
Vi definerer punktserien:
Konstanterne og er følgende:
4269302
3333004
(3.2.2)(3.2.2)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.2.4)(3.2.4)
(3.3.2)(3.3.2)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.3.1)(3.3.1)
b)
Konstanten er fremskrivningsfaktoren, og indeholder information om vækstraten, i det:
30
Det vil sige, at virksomhedens aktiekurs stiger med 22,4% om året.
Fordoblingstiden i eksponentielle vækstmodeller er givet ved:
Fordoblingstiden for virksomhedens aktiekurs ved årsafslutningen er ikke præcist til at
bestemme, da modellen kun siger noget om aktiekursen ved årsafslutningen. Efter 3 år vil
aktiekursen ikke være helt fordoblet, og efter 4 år vil aktiekursen være mere end fordoblet.
c)
Funktionen defineres:
For at finde det år, hvor aktiekursen ved årsafslutningen overstiger 500, løses nedenstående
ligning:
25
Da modellen kun siger noget om aktiekursen ved årsafslutningen, vil aktiekursen ved
årsafslutningen først overstige 500 i år 2018 ( =18).
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.3)(4.1.3)
Opgave 10
a)
Vi definerer funktionen:
Funktionen maksimeres:
Den maksimale vanddybde er 9m.
Vi minimerer funktionen:
Den minimale vanddybde er 5m.
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.2)(5.1.2)
Opgave 11
a)
Vi definerer grafen:
Grafen for plottes:
Vi bestemmer grafens nulpunkter:
Den første punktmængde, , afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet [0,1]. Da
7
12
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.6)(5.1.6)
(5.1.5)(5.1.5)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.1.4)(5.1.4)
Den anden punktmængde, , afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet [1,4]. Da
defineres som:
45
4
Det samlede areal kan nu bestemmes som:
Det samlede areal af de to punktmængder er 11,83.
b)
Rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer ved en 360 graders rotation om
førsteaksen af den punktmængde, som afgrænses af grafen for en funktion og førsteaksen i et
interval [a,b], er givet ved:
Da punktmængderne og ligger i de tilstødende intervaller [0,1] og [1,4], og der altid vil
gælde, at
Det samlede volumen bestemmes:
Det samlede volumen af de to omdrejningslegemer, som fremkommer, når de to
punktmængder drejes 360° om førsteaksen er således 168,509
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.1.2)(6.1.2)
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
120.00
Tallet til tidspunktet
=100 (det vil sige 100 timer efter udslippets start).
b)
Vi indsætter =1,5 i formlen:
05
Vi bestemmer tidspunktet ved at løse:
29
Vi kan således konkludere, at olieudslippets maksimale areal er ca. 13554 , samt at dette
areal opnås ca. 142 timer efter olieudslippets start.
(7.1.1)(7.1.1)
(7.3.1)(7.3.1)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.2.1)(7.2.1)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.2.4)(7.2.4)
Opgave 13
a)
Den generelle ligning for en kugle med centrum i og radius er givet ved:
Den omtalte kugle har centrum i (2,3,-4) og =5. Vi får derfor:
Vi indsætter nu koordinatsættet for i kuglens ligning og undersøger, om begge sider i
ligningen viser det samme:
Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, har vi nu gjort rede for, at (6,0,-4)
ligger på kuglen.
b)
Vi bestemmer tangentplanens normalvektor ud fra koordinaterne til og :
Punktet defineres:
P
Planens ligning bestemmes ud fra normalvektoren og punktet , som ligger på planen:
Det vil sige, at tangentplanen til kuglen i punktet kan beskrives ved ligningen:
c)
Vi undersøger skæringen mellem linjen og planen .
Vi definerer linjen:
m
Skæringen bestemmes:
intersection: the line m lies in the plane alpha
(7.3.3)(7.3.3)
(7.3.2)(7.3.2)S
Det vil sige, at linjen ligger i planen .
Vi definerer kuglen:
k
intersection: the given objects do not intersect
Det vil sige, at linjen ikke skærer kuglen.
(8.1.2)(8.1.2)
(8.2.3)(8.2.3)
(8.2.1)(8.2.1)
(8.2.2)(8.2.2)
(8.1.1)(8.1.1)
(7.3.2)(7.3.2)
Opgave 14
a)
Vi indsætter nu =1000 i ligningen for vasens volumen, hvorefter vi isolerer :
assign to a name
h
er givet udtrykket: =
b)
Ovenstående udtryk for substitueres ind i formlen for :
Vi minimerer funktionen:
Vasens ydre overfladeareal bliver mindst muligt, når =7,6277.
(9.1.5)(9.1.5)
(9.2.2)(9.2.2)
(9.2.1)(9.2.1)
(9.1.3)(9.1.3)
(9.1.1)(9.1.1)
(9.2.3)(9.2.3)
(9.1.2)(9.1.2)
(7.3.2)(7.3.2)
(9.1.4)(9.1.4)
Opgave 15
a)
Vi definerer først og :
7000
3
Differentialligningen løses med startbetingelsen (0)=50000:
Vi definerer :
Vi løser ligningen:
43
Opsparingens størrelse når således op på 100.000 kr. efter ca. 5,4 år.
b)
Vi omdefinerer og lader være ubekendt:
2.5
Differentialligningen løses nu med begyndelsesbetingelsen (0)=30000
Funktionen defineres:
Vi løser nu ligningen med hensyn til :
(9.2.5)(9.2.5)
(7.3.2)(7.3.2)
(9.2.4)(9.2.4)
70
Den faste årlige indbetaling skal således være på ca. 3767 kr., for at opsparingens størrelse når
op på 70.000 kr. efter 8 år.