Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: Matematik A
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
1
STX Matematik A
12. august 2010
stx102-MAT/A-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler. Løsning med WordMat .................................................................................... 6
Delprøven med hjælpemidler. Løsning med Maple ........................................................................................ 18
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatA-
Opgaver uden hjælpemidler - Stx Matematik A august 2010
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1 - Parallelle vektorer (9.135)
Vektorerne ~a og
~
b er parallelle, hvis determinanten for dem er lig nul: det
~a,
~
b
= 0 formel
45. Vi bestemmer derfor først det
~a,
~
b
det
~a,
~
b
=
2 4
2t −3 7t −5
formel 43
= 2 · (7t −5) − (2t − 3) · 4
= 14t − 10 − 8t + 12
= 6t + 2
Vi sætter lig nul og løser for t.
6t + 2 = 0 ⇔ t = −
1
3
Vektorerne ~a og
~
b er parallelle, hvis t = −
1
3
Opgave 2 - Toppunkt for parabel (9.136)
Vi definerer funktionen f(x) = x
2
− 6x + 19 hvis graf netop er parablen. For at finde
parablens toppunkt beregner vi først f
0
(x).
f
0
(x) =
x
2
− 6x + 19
0
formel 121 og 122
=
x
2
0
− (6x)
0
+ (19)
0
formel 129 og diff. af konstant = 0
= 2x − 6
2
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatA-
Vi løser nu ligningen f
0
(x) = 0
2x − 6 = 0
m
x =
6
2
= 3
Parablens toppunkt findes altså for x = x. Vi beregner den tilhørende y-værdi.
f(x) = 3
2
− 6 · 3 + 19 = 10
Parablens toppunkt er dermed (x, y) = (3, 10).
En anden måde at løse opgaven på er ved hjælp af „toppunktsformlen“ (formel 55),
men vi anbefaler altid at bruge metoden, hvor der differentieres, da der så skal huskes
en formel mindre.
Koordinatsættet for toppunktet T
p
kan bestemmes vha. formel 55 :
T
p
(x, y) =
−b
2a
,
−d
4a
hvor d = b
2
− 4ac
De forskellige værdier indsættes:
T
p
(x, y) =
−b
2a
,
−d
4a
=
−b
2a
,
−(b
2
− 4ac)
4a
!
=
−(−6)
2 · 1
,
−((−6)
2
− 4 · 1 · 19)
4 · 1
!
=
6
2
,
40
4
= (3, 10)
Parablens toppunkt har koordinaterne: T
p
(x, y) = (3, 10)
3
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatA-
Opgave 3 - Isolering af variabel i udtryk (9.137)
Vi isolerer d
R =
4 · p
π ·d
2
· l
m
R =
4 · p · l
π ·d
2
m
R · π · d
2
= 4 · p · l
m
d
2
=
4 · p · l
R · π
m Husk: To løsninger når du tager kvrod!
d = ±
s
4 · p · l
R · π
Opgave 4 - Beregning af bestemt integrale (9.138)
Z
2
0
(3x
2
− 10x) dx =
formel 144
Z
2
0
3x
2
dx −
Z
2
0
10x dx =
formel 137
"
3x
(2+1)
2 + 1
#
2
0
−
"
10x
(1+1)
1 + 1
#
2
0
=
h
x
3
i
2
0
−
h
5x
2
i
2
0
=
formel 147
2
3
− 0
−
5 · 2
2
− 0
=
−12
Opgave 5 - Er f(x) en løsning til differentialligningen? (9.139)
Ved „at gøre prøve“ kan det undersøges, hvorvidt f(x) er en løsning til differentiallignin-
gen: f(x) indsættes (som y) i diffentialligningen på begge sider:
4
Studiekompasset.dk Matematik B den 12. august 2010 stx102-MatA-
Venstre side
(x · ln(x))
0
=
formel 123
(x)
0
· ln(x) + x · (ln(x))
0
=
formel 125
1 · ln(x) + x ·
1
x
=
ln(x) + 1
Højre side
x · ln(x)
x
+ 1 =
ln(x) + 1
Da venstre og højre side af lighedstegnet er identiske, er ligningen sand når f (x) indsættes,
og dermed er f(x) = x · ln(x) en løsning til differentialligningen.
Opgave 6 - Er en given plan tangentplan til en kugle? (9.140)
Hvis α er tangentplan til K må der netop gælde at den vinkelrette afstand fra kuglens
centrum C til planet er lig kuglens radius. Af kuglens ligning fremgår, at:
• kuglens centrum har koordinaterne: C(1, 3, −2)
• kuglens radius er: r =
√
36 = 6
Afstanden fra kuglens centrum til planet kan nu beregnes formel 72 :
dist(C, α) =
|ax
1
+ by
1
+ cz
1
+ d|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
kendte værdier indsættes
=
|2 · 1 − 1 · 3 + 2 · (−2) − 13|
p
2
2
+ (−1)
2
+ 2
2
=
| − 18|
3
= 6
Da afstanden dist(C, α) er lig med kuglens radius er planen α tangentplan til kuglen K
Normalt skriver vi ikke de formler op vi bruger i selve besvarelsen, men i dette tilfælde
kan afstandsformlen fra P til plan måske være lidt svær at huske. Skulle man derfor
lave en fejl, kan censor se hvad man præcist har gjort.
5
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
6
Delprøven med hjælpemidler. Løsning med
WordMat
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi bestemmer vinkel A og vinkel B med WordMats trekantsløser:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: a = 7,1, b = 8,5, c = 5,9
A = 55,61121°
B = 81,09421°
C = 43,29458°
a = 7,1
b = 8,5
c = 5,9
Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer


󰇧
󰇨


󰇧



 
󰇨



󰇧
󰇨


󰇧



 
󰇨

Vinkel A er bestemt til 55,61° og vinkel B er bestemt til 81,09° (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
b
c
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
7
b)
Vinkelhalveringslinjen
halverer vinklen A, punktet hvor vinkelhalveringslinjen rammer siden a kaldes for
D. Vi bestemmer længden af vinkelhalveringslinjen med WordMats trekantsløser:
Dvs. vinkel  i trekant ADC bliver:


WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 27,805°, C = 43,29458°, b = 8,5
A = 27,805°
D = 108,9004°
C = 43,29458°
a = 4,190904
b = 8,5
va = 6,161057
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant



Længden af siderne a og va findes vha. en sinusrelation:


󰇛
󰇜

󰇛
󰇜


󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

Længden af vinkelhalveringslinjen er bestemt til 6,16 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 8
a)
Forskriften for f kan beskrives med en eksponentiel funktion, da vi kender to punkter, kan vi bestemme
tallene a og b ved at løse to ligninger med to ubekendte:

A
D
C
b
va
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
8

Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
 
Vi opskriver forskriften for f(x):
󰇛
󰇜
 
Forskriften for f(x) er bestemt til ovenstående udtryk (der er afrundet til hhv. helt tal og 1 decimal).
b)
Vi bestemmer fordoblingskonstanten ved:

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛

󰇜

Fordoblingskonstanten er bestemt til 3,8 (afrundet til 1 decimal).
Opgave 9
a)
Vi bestemmer vinklen mellem linjerne, som vinklen mellem linjernes retningsvektorer. Linjernes
retningsvektorer kan aflæses fra de to parameterfremstillinger i opgaveformuleringen.
Vi definerer linjernes retningsvektorer:
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Vi bestemmer vinklen mellem linjen l og m:

󰇛
󰇜
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
9
Da v < 90° er vinklen spids. Den spidse vinkel mellem linjen l og m er bestemt til 82,53° (afrundet til 2
decimaler).
b)
Hvis linjerne skærer hinanden, så må der være parameterværdier for hhv. linjerne l og m, der resulterer i det
samme punkt. Parameterværdierne for s og t bestemmer vi, ved at sætte koordinatligningerne for x og y lig
hinanden og herefter løse systemet som to ligninger med to ubekendte:
󰇛

󰇜
Ligningssystemet løses for t,s vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
 
Vi bestemmer punktet P ved at indsætte parameterværdien s = -1 i parameterfremstillingen for linjen m:

󰇧
󰇨
󰇛

󰇜

Som en sikkerhed indsætter vi parameterværdien t = -2 i parameterfremstillingen for linjen l (dette er ikke
nødvendigt til eksamen for at opnå fuldt point for opgave):
󰇧
󰇨
󰇛

󰇜


I begge tilfælde er resultatet det samme punkt. Vi kan konkludere, at linjerne l og m skærer hinanden i
punktet P(6, -1, 2).
c)
Planens ligning er givet ved:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Planens ligning består af en normalvektor
󰇍
󰇧
󰇨
til planen og et punkt i planen
󰇛
󰇜
.
Vi kender punktet P(6, -1, 2) fra opgave b). En normalvektor til planen bestemmes som krydsproduktet
mellem linjernes retningsvektorer:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
10

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍


Vi opskriver en ligning til planen, som udspændes af linjerne l og m:
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜󰇛
󰇜
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

En ligning til planen, der udspændes af linjerne l og m, er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 10
a)
Først bestemmer vi en forskrift for den udvundne vindenergi på verdensplan:
Der er tale om en eksponentiel sammenhæng, da udviklingen sker med en fast %-del om året:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
f(x) beskriver den udvundne vindenergi på verdensplan til året x.
x betegner antal år efter år 2000, hvor x > 0.
b betegner funktionens begyndelsesværdi i x = 0, dvs. at der i år 2000 blev udvundet 10,4 GW vindenergi på
verdensplan.
a er fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r kan vi bestemme fremskrivningsfaktoren a:





Vi opskriver og definerer modellen, der beskriver den udvundne vindenergi på verdensplan efter år 2000,
hvor x > 0:
󰇛
󰇜

Vi bestemmer den udvundne vindenergi på verdensplan i år 2007 ved at bestemme f() = f(7):
󰇛
󰇜

Ifølge modellen er den udvundne vindenergi i år 2007 bestemt til 48,49 GW (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
11
b)
Vi bestemmer den årlige vækstrate ved at løse for r i f(7) = 94,1:

󰇛
󰇜

Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

Den gennemsnitlige årlige vækstrate i perioden er bestemt til 36,98 % (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen og førstekoordinaten for punktet P:
󰇛
󰇜

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P:
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

En ligning for grafen til f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer monotoniforholdende:
Vi bestemmer først nulpunkter til den afledte funktion f’(x):
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
 

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne:
󰆒
󰇛

󰇜

󰆒
󰇛

󰇜
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
12
󰆒
󰇛
󰇜

󰆒
󰇛
󰇜

Vi opskriver monotoniforholdene:
f er aftagende i intervallerne ]-∞;
] og [0;
]
f er voksende i intervallerne [-
; 0] og [
; ∞[
Opgave 12
a)
Vi aflæser kvartilsættene fra boksplottet og laver et skema over statistiske deskriptorer:
Skema over statistiske deskriptorer:
Deskriptorer:
Skole 1.
Skole 2.
Mindste vægt:
ca. 64 kg.
60 kg.
Største vægt:
76 kg.
ca. 79 kg.
Spredning:
12 kg.
19 kg.
1. kvartil:
68 kg
ca. 65 kg.
Median:
71 kg.
68 kg.
3. kvartil:
74 kg.
70 kg.
Vi kan aflæse, at skole 2 har den største- og den mindste vægtforekomst hos drenge. På trods af dette indser
vi, når vi kigger nærmere på kvartilsættene, at vægten hos drenge generelt er større på skole 1.
Af 1. kvartil kan vi aflæse, at 75 % af drengene på skole 1 vejer mere end 68 kg, hvor det kun er 50 % af
drengene på skole 2, eftersom medianen hos skole 2 netop er 68 kg.
Af medianen kan vi aflæse at 50 % af drengene på skole 1 vejer mere end 71 kg, hvor det kun er 25 % af
drengene på skole 2, der vejer mere end 70 kg, som netop er 3. kvartil for skole 2.
Vi kan konkludere, at selvom spredningen på skole 2 er størst, så vejer drengene generelt mere på skole 1.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
13
Opgave 13
a)
Vi bestemmer skæringspunkterne mellem linjen og cirklen ved at løse ligningssystemet herunder som to
ligninger med ubekendte for x og y:



Ligningssystemet løses for x,y vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
󰇛
 
󰇜

󰇛
 
󰇜
Koordinatsættene til skæringspunkterne mellem linjen og cirklen er bestemt til S1(-4, -1) og S2(4, 3).
b)
En ligning til tangenten består af et punkt og en normalvektor. Vi kender punktet Q, som er skæringspunktet
med den mindste førstekoordinat dvs. vi har at Q(-4, 1). En normalvektor til ligningen bestemmer vi som
vektoren fra punktet Q til cirklens centrum. Koordinatsættet til cirklens centrum kan vi aflæse fra cirklens
ligning, forudsat at vi omskriver cirklens ligning med kvadratkomplettering.
Vi omskriver cirklens ligning med kvadratkomplettering:



 
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Koordinatsættet til cirklens centrum aflæses til C(-1, 3).
Vi bestemmer en normalvektor tangentens ligning 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
:
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
14
󰇡

󰇢 󰇡


󰇢
󰇡
󰇢
Vi opskriver en ligning for tangenten:
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

En ligning for tangenten til cirklen, der går igennem punktet Q, er bestemt til ovenstående udtryk.
Opgave 14
a)
Vi definerer funktionerne og definitionsmængden for k:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Punktmængden M afgrænses af graferne for f og g. Vi bestemmer grænserne for arealet af punktmængden,
som skæringen mellem f og g:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi undersøger om f(x) > g(x) eller omvendt mellem grænserne:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Vi kan konkludere, at f(x) < g(x) i området mellem grænserne, da f(k) < g(k) i intervallet.
Arealet af punktmængden M er oplyst til 36. Vi bestemmer konstanten k ved, at løse ligningen herunder for
konstanten k, hvor k > 0:

󰇛
󰇜
󰇛
󰇜


Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
15
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Konstanten k, så arealet af punkmængden M er lig 36, er bestemt til 3.
Opgave 15
a)
Drivhuset har form som en prisme, dvs. rumfanget af drivhuset kan beskrives ved arealet af trekanten på
ydersiden af drivhuset ganget med dybden af drivhuset:

Rumfanget af drivhuset er oplyst til 40, med denne oplysning bestemmer vi h udtrykt ved b:


Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

Drivhusets glasoverflade består af to retvinklede trekanter samt et rektangel. Trekanterne er retvinklede, dvs.
vi kan beregne hypotenusen med Pythagoras’ læresætning. Drivhusets overfladeareal kan da beskrives ved:



Substituerer vi h udtrykt ved b ind i udtrykket herover, får vi drivhusets overfladeareal som funktion af b:
󰇛
󰇜


Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
󰇛
󰇜
 
Drivhusets overfaldearealet som funktion af b er bestemt til ovenstående udtryk.

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
16
Opgave 16
a)
Vi definerer definitionsmængden for t. WordMat har problemer med at løse for t, derfor benyttes x i stedet:

Vi bestemmer g(x) ved at løse differentialligning g’(x) med WordMat. Vi benytter startbetingelsen g(0) = 0:
󰆒
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen g(0)=0
󰇛
󰇜
 
󰇛
󰇜
󰇛

󰇜
Vi opskriver og definerer forskriften for g(x), der beskriver mængden af absorberet glukose målt i mg til
døgnet t efter indtagelse:
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜

Vi bestemmer mængden af absorberet glukose fire timer efter indtagelse ved at bestemme g(4):
󰇛
󰇜

Vi kan konkludere, at efter 4 timer er der ifølge modellen absorberet 74994 mg glukose (afrundet til helt tal).

Opgave 17
a)
Vi definerer definitionsmængden for x:

Vi bestemmer M(x) ved at løse differentialligningen med WordMat. Vi benytter startbetingelsen M(400) =
13,1:
󰆒

󰇛

󰇜
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen M(400)=13,1



Vi definerer M(x) til senere brug:
󰇛
󰇜



En forskrift for M som funktion af x er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
17
b)
Fortjenesten er givet ved differensen mellem salgspris og udgift til i dette tilfælde til gødning. Salgsprisen for
1 ton af afgrøden er 700 kr., og 1 kg kunstgødning koster 1,97 kr. Vi opstiller en forskrift, hvor f(x) betegner
fortjenesten målt i kr., og x betegner mængden af tilført kunstgødning målt i kg:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Vi reducerer og definerer f(x):
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
󰇛
󰇜

󰇛


󰇜


Vi skitserer grafen for fortjenesten f(x):
Vi bestemmer den værdi af x, der giver den største fortjeneste ved at optimere f(x):
Først bestemmer vi nulpunkter til den afledte funktion:
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
󰆒
󰇛

󰇜

󰆒
󰇛

󰇜

Vi kan konkludere at x = 694,8025 er et maksimum.
Der opnås størst fortjeneste ved en mængde af tilført kunstgødning på 695 kg (afrundet til helt tal).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 12. August 2010
18
Delprøven med hjælpemidler. Løsning med
Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.1)(1.1.1)
Opgave 7
a)
Vi bestemmer vinkel og ved:
Vinkel er bestemt til 55,61° og vinkel er bestemt til 81,09° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vinkelhalveringslinjen halverer vinkel A .
Vi bestemmer længden af vinkelhalveringslinjen til vinklen A ved. Punktet, hvor linjen rammer
siden A, kaldes for D.
Vinkel svarer til punktet D:
Vinkelhalveringslinjen svarer til siden c, og er bestemt til 6,16 (afrundet til 2 decimaler).
(2.1.2)(2.1.2)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 8
a)
Vi bestemmer forskriften for f ved at løse ligninger med to ubekendte:
Vi opskriver forskriften:
Forskriften for f(x) er bestemt til ovenståedne udtryk, der er desuden belvet afrudnet til hhv. 1 og
2 decimaler.
b)
Vi bestemmer fordoblingskonstanten:
Fordoblingskonstanten er bestemt til 3,8 (afrundet til 1 decimal).
(3.1.2)(3.1.2)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 9
a)
Vi bestemmer vinklen mellem linjerne, som vinklen mellem linjernes retningsvektor:
Vi definerer retningsvektorene:
Vi bestemmer vinklen:
13
Den spidse vinkel mellen linjen l og m er bestemt til 82,53° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Hvis linjerne skærer hinanden, så må der findes fællesparameterværdier for linjerne:
Vi sætter de stedvise koordinatligninger lig hinanden og løser to ligninger med to ubekendte:
Vi bestemmer punktet P, ved at indsætte værdien for s i parameterfremstillingen for linjen m:
Koordinatsættet til punktet P er bestemt til (6, -1, 2).
(3.3.1)(3.3.1)
(3.3.2)(3.3.2)
c)
Planens ligning består af en normalvektor til planen og et punkt. Normalvektoren til planet
bestemmes som
krydsproduktet mellem retningsvektoren til linjerne m og l. Punktet P vælges som punktet i
planens ligning:
Planens ligning bliver da:
En ligning til planen som udspændes af linjerne l og m er bestemt til ovenstående udtryk.
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.2)(4.1.2)
Opgave 10
a)
Vi bestemmer først en forskrift, der beskriver den udvundne vindenergi:
Der er tale om en eksponentielsammenhæng, da udviklingen sker med en fast %-del størrelse om
året.
f(x) beskriver den udvundne energi til året x.
x betegner året efter år 2000.
b betegner funktionen begyndelsesværdi i x = 0, dvs. der i år 2000 blev udvundet 10,4 GW
vindenergi.
a er fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r kan vi bestemme fremskrivningsfaktoren a:
Vi opsrkiver og definerer modellen:
Vi bestemmer f():
98
Ifølge modellen er den udvundne vindenergi i år 2007 bestemt til 48,49 GW (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vi bestemmer den årlige vækstrate ved, at løse f() for r:
425
Den årlige væksrate i perioden er bestemt til 36,98 % (afrundet til 2 decimaler).
(5.1.3)(5.1.3)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.2.5)(5.2.5)
(5.2.4)(5.2.4)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.2.2)(5.2.2)
Opgave 11
a)
Vi definrerer funktoinen ofgførstekoordinaten for punktet:
2
Vi bestemmer en ligning fot tangenten til grafen for f i punktet P:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer monotoniforholdende:
Vi bestemmer først nulpunker til den afledte funktion af f:
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
2
20
Vi opskriver monotoniforholdene:
] og [0; ]
f er voksende i intervallerne [ ; 0] og [
Opgave 12
a)
Vi aflæser kvartilsættene fra boksplottet og opskriver skematisk statistiske deskriptorer:
Vi opskriver statistiske deskriptorer:
Deskriptorer: Skole 1. Skole 2.
Mindste vægt: ca. 64 kg. 60 kg.
Største vægt: 76 kg. 80 kg.
Spredning: 12 kg. 20 kg.
1. kvartil: 68 kg ca. 65 kg.
Median: 71 kg. 71 kg.
3. kvartil: 74 kg. 70 kg.
Vi kan aflæse, at skole 2 har den største- og mindste vægtforekomst hos drenge. På trods af det
indser
vi, når vi kigger nærmerer på kvartilsættene, at vægtforekomsten hos drenge genrelt er større på
skole 1.
Af 1.kvartil kan vi aflæse, at 75% af drengene på skole 1 vejer 68 kg, hvor det kun er 50 % af
drengene
på skole 2, eftersom medianen for skole 2 netop er 50.
Af medianen kan vi aflæse at 50 % af drengene på skole 1 vejer mere end 71 kg, hvor kun 25 % af
drengene
på skole 2 vejer merer end 70 %, som netop er 3. kvartil for skole 2,
Vi kan konkludere, at på trods af at spredningen er større på skole 2, så vejer drengene generelt
merer på
skole 1.
(7.2.1)(7.2.1)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.2.4)(7.2.4)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.1.1)(7.1.1)
Opgave 13
a)
Vi bestemmer skæringen mellem linje og cirkel vedat løse to ligninger med to ubekendte:
Koordinatsættet til skæringen mellem linjen og cirklen er bestemt til S(-4, -1) og S2(4, 3).
b)
Tangentens ligning består af et punkt og en normalvektor. Vi kender punktet Q, og
normalvektoren til
ligningen bestemmes som vektoren fra punktet Q til cirklens centrum. Vi aflæser cirklens centrum
efter,
at vi har omskrevet cirklens ligning. Dette kan gøres med (Højreklik og vælg "Manipulate
equation"):
manipulate equation
Vi kan aflæse cirklens centrum til (-1, 3);
Vi bestemmer en normalvektor til tangenten som vektor :
Vi opsrkiver en ligning for tangenten:
En ligning til tangenten igennem punktet Q er bestemt til ovenstående udtryk.
(8.1.1)(8.1.1)
(8.1.4)(8.1.4)
(8.1.3)(8.1.3)
(8.1.6)(8.1.6)
(8.1.5)(8.1.5)
(8.1.2)(8.1.2)
Opgave 14
a)
Vi definerer funktionerne:
Vi bestemmer grænserne for arealet, som skæringen mellem f og g:
Vi undersøger om, f(x) > g(x) eller omvendt mellem grænserne:
0
Vi kan konkludere, at g(x) > f(x) eller omvendt mellem grænserne:
Arealet af punktmængden M er oplyst til 36. Vi bestemmer konstanten k ved:
Konstanten k, så arealet af M er lig 36, er bestemt til 3.
(9.1.1)(9.1.1)
(9.1.2)(9.1.2)
Opgave 15
a)
Rumfanget af drivhuset kan beskrives ved, dvs. arealet af én trekant ganget med dybden af
drivhuset:
Rumfanget af drivhuset er oplyst til lig 40. Vi bestemmer og definerer h udtrykt ved b:
Glasoverfladen består af to retvinklede trekanter samt et rektangel. Hypotenusen af terkanterne
beregnes
ved Pythagoras, da disse er retvinklede. Generelt kan vi beskrive overfladearealet ved som
funktion af b;:
Overfladearealet som funktion af b, er bestemt til ovenstående udtryk.
(10.1.2)(10.1.2)
(10.1.4)(10.1.4)
(10.1.6)(10.1.6)
(10.1.1)(10.1.1)
(10.1.5)(10.1.5)
(10.1.3)(10.1.3)
Opgave 16
a)
Vi løser differentialligningen med simpel integration:
Vi definerer g(t):
Vi ved at g(0) = 0. Vi bestemmer konstanten k:
75000
Vi opskriver og definerer g(t) nu med kendt k:
Vi bestemmer g(4):
39
Vi kan konkludere at efter 4 timer, er der ifølge modellen absorberet 74994,0 mg glukose
(afrundet til 1 decimal).
(11.2.1)(11.2.1)
(11.1.1)(11.1.1)
(11.1.2)(11.1.2)
Opgave 17
a)
Vi løser differentialligningen med startbetingelsen M(400) = 13,1:
Vi definerer løsningen til senerer brug:
En forskrift for M som funktion af x er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Fortjenesten er givet ved differensen mellem indkomst og udgift i dette tilfælde til gødning:
Vi skitserer grafen for fortjenesten f(x):
(11.2.2)(11.2.2)
(11.2.3)(11.2.3)
(11.2.4)(11.2.4)
Vi bestemmer den værdi af x, der giver den største fortjeneste ved at optimerer f(x):
Først bestemmer vi nulpunkter til den afledte funktion:
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
57
(11.2.5)(11.2.5)
(11.2.6)(11.2.6)
Vi kan konkluderer at nulpunktet er et maksimum.
Der opnås størst fortjeneste ved en mængde af kunstgødning på 695 kg (afrundet til helt tal).