stx112-MAT/A-
1
Vejledende besvarelse
STX Matematik A – 11. august 2011
Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stxf A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken
formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende.
Det ”pæne” gangetegn fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med
WordMat, men ser ikke så pænt ud.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
Tips til TI-nSpire findes i slutningen af dokumentet.
Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat.
Opgave 7
a)
Da der er tale om en potensfunktion, foretages der en potensregression over tabellens data for at
bestemme a og b.
Laksens
længde
(cm)
50
60
70
80
90
100
105
Laksens
vægt (kg)
1,29
2,19
3,47
5,11
7,45
10,36
12,05
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9996973
stx112-MAT/A-
2
Ud fra regressionen kan vi aflæse:
afrundet til fire decimaler og afrundet til syv decimaler.
b)
Vi definerer modellen:
Vægten af en laks, der er 87 cm lang bestemmes som
Ifølge modellen er vægten af en laks der er 87 cm lang 6,74 kg afrundet til to decimaler.
For at bestemme længden af en laks, der vejer 2,56 kg løses ligningen
Ligningen løses for L vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs. længden af en laks på 2,56 kg ifølge modellen er 63,1 cm afrundet til en decimal.
c)
Da der er tale om en potensfunktion gælder der (jf. formel 108) at øges laksens længde med 25 % så øges
laksens vægt med
Når længden forøges med 25 %, vil laksens vægt således ifølge modellen forøges med 96 % afrundet til hele
procenter.
stx112-MAT/A-
3
Opgave 8
a)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 12 , AC = 16 , AB = 8
A = 46,56746°
B = 104,4775°
C = 28,95502°
BC = 12
AC = 16
AB = 8
Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Af ovenstående ses det, at vinkel A er afrundet til en decimal.
b)
Da vi har beregnet vinkel A i opgave a) og trekant ABH er retvinklet kan vi beregne de resterende sider:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,56746° , H = 90° , AB = 8
A = 46,56746°
B = 43,43254°
H = 90°
BH = 5,809475
AH = 5,5
AB = 8
46,6°
43,4°
90°
5,81
5,5
8
46,6°
104°
29°
12
16
8
stx112-MAT/A-
4
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden BH findes vha. sinus
Længden af siden AH findes vha. cosinus
Trekantens areal kan nu beregnes som (en halv gange grundlinje gange højde):
Arealet af trekant er dermed 15,98 afrundet til to decimaler.
c)
Da G er placeret på linjestykket AC, er BH også højden i trekant ABG. Arealet af trekant ABG kan dermed
bestemmes som:
Vi løser nu ligningen
for AG:
Ligningen løses for AG vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at arealet at trekant ABG er lig 20 skal
afrundet til to decimaler.
stx112-MAT/A-
5
Opgave 9
a)
For at tegne de to boksplot bestemmes først kvartilsættene for hvert af datasættene.
For oksekødspølserne bliver medianen gennemsnittet af værdi nummer 5 og 6 da der er 10 værdier i alt
(lige antal). Dvs. medianen er
Nedre kvartil er da medianen af værdierne til venstre fra
midten, dvs. 132, og tilsvarende er øvre kvartil medianen af værdierne til højre fra midten, dvs. 158.
Mindsteværdien er 111 og størsteværdien 190
For kyllingepølserne er medianen
, og nedre kvartil hhv. øvre kvartil 102 hhv. 144.
Mindsteværdien er 86 og størsteværdien 152
Boksplottene tegnes via WordMat:
Ud fra boksplottene ses det at oksekødspølserne generelt er mere kalorierige end kyllingepølserne.
Medianen for oksekødspølserne ligger på niveau med maksimumsværdien for kyllingepølserne, hvilket
betyder at ca. 50 % af oksekødspølserne har et kalorieindhold, der er større end det nogen af
kyllingepølserne har.
Boksen for kyllingepølserne er noget længere end for oksekødspølser, hvilket betyder, at spredningen
mellem kalorieindholdet er større for kyllingepølserne end det er for oksekødspølserne.
0 200
Oksekødspølser
Kyllingepølser
stx112-MAT/A-
6
Opgave 10
a)
Vi kan opstille informationerne fra opgaven i en tabel:
t, tid efter første detektion
10
30
N(t), Antallet af computere der er
inficeret t sekunder efter første
detektion
110
160
Da der er tale om en eksponentiel sammenhæng, kan vi bestemme en forskrift for
ved at udføre en
eksponentiel regression på tabellens data:
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
En forskrift for
er dermed fundet til:
Egentlig lægger opgaven ikke op til en regression, som når vi skal estimere en model, da vi kun kender to
punkter. Men det er bare hurtigere at løse opgaven på denne måde, end at bruge formel 97.
b)
Antallet af computere der var inficeret efter 5 sekunder kan beregnes som
Efter 5 sekunder var der altså 100 inficerede computere, afrundet til hele computere.
c)
Fordoblingstiden for en eksponentiel model er (jf. formel 99)
Dvs. hver gang der går 37 sekunder afrundet til hele sekunder, så er antallet af inficerede computere
fordoblet.
stx112-MAT/A-
7
Opgave 11
a)
Funktionerne defineres:
Graferne tegnes via WordMat / Vis Graf /GnuPlot
stx112-MAT/A-
8
For at indstille grafvinduet, skal man prøve forskellige værdier af xmin, xmax, ymin og ymax, og klikke
opdater.
Førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem de to grafer fås ved at løse ligningen
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Førstekoordinaterne til skæringspunkterne er altså hhv. og .
b)
Ud fra graferne kan vi se at
i intervallet . Dermed kan arealet af M bestemmes ved
formlen (formel 154)
Arealet af M er således
Tip: Hvis resultatet kan angives eksakt, skal det angives eksakt.
stx112-MAT/A-
9
c)
Da
for alle er
for alle . Da
for alle er en voksende
funktion.
Sagt på en anden måde: Hvis g’ er positiv for alle reelle tal, så er g en voksende.
stx112-MAT/A-
10
Opgave 12
a)
Vektorer noteres her uden pile.
For at bestemme en ligning for kuglen (jf. formel 75) bestemmes først kuglens radius r ved at beregne
afstanden fra punktet C til punktet P.
Dette gøres ved at bestemme længden af vektor .
Vi har dermed at kuglens radius .
Kuglens centrum er opgivet på forhånd, så kuglens ligning kan nu opskrives
b)
For at bestemme koordinatsættet til røringspunktet mellem kuglen og planen finder vi først en
parameterfremstilling for linjen , der går gennem punkterne og .
Da er et tangentpunkt til kuglen er en retningsvektor for linjen
en normalvektor for planen
En normalvektor kan findes ved at aflæse koefficienterne til x, y og z i ligningen for jf. formel 71.
Vi tager udgangspunkt i P og en parameterfremstilling for linjen l er dermed:
Vi kan nu bestemme koordinatsættet til Q ved at indsætte udtrykkene for x, y og z fra
parameterfremstillingen i planens ligning og løser for t.
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
stx112-MAT/A-
11
For
skærer findes altså punktet Q. Dette indsættes nu i linjens parameterfremstilling.
Således er koordinatsættet til røringspunktet Q mellem kuglen og , .
stx112-MAT/A-
12
Opgave 13
a)
Væksthastigheden til tidspunktet t=10 fås ved at indsætte t=10 og N=266
Efter netop 10 dage er væksthastigheden 60,75 mio. kræftceller pr. døgn afrundet til to decimaler.
b)
Differentialligningen opstilles med notationen
og løses
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(10)=266
En forskrift for N(t) er dermed givet ved ovenstående udtryk.
stx112-MAT/A-
13
Opgave 14
a)
Symønstrets omkreds er givet ved længderne af de tre sider og halvcirklen (formel side 32 / halvdelen af
cirklens samlede omkreds), dvs.
Et udtryk, der beskriver symønsterets omkreds udtrykt ved x og y er dermed
Husk at adskille x og y med ; når funktioner med flere variable defineres. Ellers virker det ikke i
WordMat.
b)
Arealet af symønstret er givet ved arealet af hele rektanglet fratrukket arealet af halvcirklen
Da vi ved at kan vi kan isolere y i formlen for omkredsen.
Vi løser følgende ligning for y
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter nu i ligningen for arealet
Symønstrets areal som funktion af , når omkredsen er 100 cm er altså i cm
2
givet ved
c)
For at bestemme så
er størst, bestemmes nulpunkter for
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
stx112-MAT/A-
14
Vi udregner nu fortegnet af
på begge sider af nulpunktet
ved hjælp af WordMat.
Da
er positiv til venstre og negativ til højre for nulpunktet, er der tale om et maksimum for
.
Dvs. hvis omkredsen er 100 cm, så er symønsterets areal er størst for
cm
stx112-MAT/A-
15
TI-nspire Specielle beregninger
Opgave 7
stx112-MAT/A-
16
Opgave 8
Opgave 11
stx112-MAT/A-
17
Opgave 13
Bemærk: TI-nSpire finder her en ”pænere” løsning end WordMat. Udtrykkene giver dog samme funktion,
og er dermed begge korrekte.
Opgave 14
stx112-MAT/A-
18