Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: Matematik A
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
1
STX Matematik A
15. august 2012
stx122-MAT/A-NY
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx122-MAT/A-NY
Opgaver uden hjælpemidler - 15. august 2012
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Antal år efter 2004 benævnes t, og det årlige elforbrug i året t benævnes E(t). Da elfor-
bruges i perioden er steget lineært bliver forskriften for det årlige elforbrug (i p erioden
) i gigawatttimer (GWh).
E(t) = 765 + 82t
Opgave 2
For at bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P (2, f(2)) skal f (2)
og f
0
(2) bestemmes.
f(2) bestemmes.
f(2) = 3 · 2
2
− 4 ·2 + 8 = 12
Nu bestemmes f
0
.
f
0
(x) =
3x
2
− 4x + 8
0
(formel 120, 121, 122)
= 3
x
2
0
− 4 (x)
0
+ (8)
0
(formel 129)
= 6x − 4
Endelig bestemmes f
0
(2).
f
0
(2) = 6 · 2 − 4 = 8
Tangenten fås da ved (formel 119)
y = f
0
(x
0
)(x −x
0
) + f (x
0
) = f
0
(2)(x −2) + f(2) = 8 ·(x −2) + 12 = 8x −16 + 12 = 8x −4
Tangenten for funktionen f i punktet P (2, f (2)) kan altså beskrives ved ligningen
y = 8x −4
Opgave 3
Længden af AB fås ved hjælp af Pythagoras’ læresætning (formel 21).
|AB|
2
= |AE|
2
+ |BE|
2
= 12
2
+ 5
2
= 144 + 25 = 169
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx122-MAT/A-NY
Da |AB| > 0 fås da
|AB| =
q
|AB|
2
=
√
169 = 13
Længden af siden AB er altså 13 cm.
Trekanterne AEB og ADC er ensvinklede så forholdet mellem ensliggende sider er
konstant (formel 19). Først bestemmes forholdet.
k =
|AD|
|AE|
=
18
12
=
3
2
Nu bestemmes længden |DC|.
|DC| = k · |EB| =
3
2
· 5 =
15
2
Da trekanten AF C er symmetrisk omkring AD fås endelig
|F C| = 2 · |DC| = 2 ·
15
2
= 15
Den øverste kant på den store beholder er altså 15 cm.
Opgave 4
For at bestemme cirklens radius og centrum omskrives ligningen for cirklen til den kano-
niske form (formel 53)
(x − x
0
)
2
+ (y −y
0
)
2
= r
2
Ligningen omskrives.
x
2
+ 2x + y
2
− 4y = 4
m
(x + 1)
2
+ (y − 2)
2
= 4 + 1 + 4
m
(x − (−1))
2
+ (y − (2))
2
= 3
2
Cirklens radius er altså 3 og koordinatsættet for dens centrum er (−1, 2).
Opgave 5
Integralet bestemmes. Lad f (x) =
1
x
og g(x) = 2x
2
+ 3. Da bliver g
0
(x) = 4x (formel 120,
121, 129). Da fås
f(g(x)) · g
0
(x) =
1
2x
2
+ 3
· 4x =
4x
2x
2
+ 3
Nu kan integralet bestemmes ved hjælp af substitution (formel 146) hvor t = g(x).
Z
4x
2x
2
+ 3
dx =
Z
f(g(x))·g
0
(x) dx =
Z
f(t) dt = ln |t|+k = ln |2x
2
+3|+k = ln(2x
2
+3)+k
Integralet er altså
ln(2x
2
+ 3) + k
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx122-MAT/A-NY
Opgave 6
Én graf der opfylder betingelserne er skit se re t herunder.
4
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
5
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi tegner sumkurven for fordelingen af elevernes fravær med WordMats skabelon for grupperede
observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
b)
Vi bestemmer kvartilsættet og andelen af elever, der har over 12% fravær, med WordMats skabelon for
grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
0
Nedre
5,792
Median
8,511
Øvre
12,64
Største
25
0%
25%
50%
75%
100%
25 30
Observationer
Sumkurve
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
6
Observation Fraktil
12
72%
Middeltal
9,368
Spredning
5,102
Vi kan aflæse at 72 % af eleverne har 12 % fravær eller mindre, dvs. at 28 % af eleverne har 12 % fravær eller
mere.
Opgave 8
a)
Vi bestemmer vinkel ∠A i trekant ABC med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: BC = 17, AC = 10, AB = 12,5
A = 97,52738°
B = 35,67354°
C = 46,79908°
BC = 17
AC = 10
AB = 12,5
Vinkel A findes vha. cosinusrelationer


󰇧



 
󰇨


󰇧



 
󰇨

Vinkel A er bestemt til 97,53° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer siden |DC| med WordMats trekantsløser.
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
7
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 18,5°, E = 64°, DE = 3,5
D = 97,5°
C = 18,5°
E = 64°
CE = 10,93604
DE = 3,5
DC = 9,914066
Længden af siden DC findes vha. sinusrelationerne
𝐷𝐶=𝐷𝐸·
sin
(
𝐸
)
sin
(
𝐶
)
=3,5·
sin
(
64°
)
sin
(
18,5°
)
=9,914066
Længden af siden |DC| er bestemt til 10 (afrundet til helt decimal).
Opgave 9
a)
Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med eksponentiel
regression.
Vi opstiller tabel med date og foretager eksponentiel regression.
Årstal
2008
2009
2010
2011
År efter år 2008
0
1
2
3
Årlig global mobil
datatrafik
(exabyte)
0,48
1,08
2,84
7,16
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9987392
𝑦=0,4619422·2,477941
𝑥
D
C
E
CE
DE
DC
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
8
Tallet a er bestemt til 2,48 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 0,462 (afrundet til 3 decimaler).
b)
Vi definerer modellen for den årlige globale mobile datatrafik, hvor x > 0.
󰇛
󰇜

Vi bestemmer den årlige globale mobile datatrafik i år 2014 ved at bestemme m() = m(6).
󰇛
󰇜

Ifølge modellen er den årlige globale datatrafik i år 2014 bestemt til 107 exabyte (afrundet til helt tal).
Vi kender fremskrivningsfaktoren a = 2,477941. Med fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstrate r.


Vækstraten for den årlige globale datatrafik er bestemt til 147,8 % om året efter år 2008 (afrundet til 1
decimal).
c)
Vi bestemmer fordoblingstiden ved:

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛

󰇜

Fordoblingstiden er bestemt til 0,76 år (afrundet til 2 decimaler), det betyder at den årlige globale mobil
trafik fordobles for hvert 0,76 år.
Opgave 10
a)
Vi bestemmer vinklen mellem endefladen OAB og frontfladen ved at bestemme vinklen mellem en
normalvektor for begge planer.
En normalvektor til frontfladen kan aflæses og defineres til:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
9
󰇍



En normalvektor til endefladen OAB bestemmer vi som krydsproduktet mellem vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
.
Vi definerer punkterne.




Vi bestemmer vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
.

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍




󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

Vi bestemmer en normalvektor til endefladen OAB.
󰇍


󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍






Vi definerer normalvektoren til endefladen OAB.
󰇍



Vi bestemmer vinklen mellem de to normalvektorer.

󰇛
󰇜
󰇍

󰇍

󰇍

󰇍

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
10
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

Den spidse vinkel mellem endefladen OAB og frontfladen er bestemt til 63,49° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer arealet af frontfladen ved at skære fladen over i diagonalen A til E, og derefter bestemme
arealet af de to trekanter vha. halvdelen af den numeriske værdi af krydsproduktet.
Arealet af frontfladen er givet ved:




󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰈏



󰇭

󰇮󰈏
󰈏󰇭




󰇮󰇭






󰇮󰈏

Arealet af frontfladen OADE er bestemt til 51942,9 cm
2
(afrundet til 1 decimal).
c)
Vi bestemmer koordinatsættet til punktet, hvor lysstrålen rammer frontfladen, ved at bestemme skæringen
mellem linjen og planen, der indeholder frontfladen.
Vi indsætter koordinatligningerne fra parameterfremstillingen i ligningen for planen, der indeholder
frontfladen OADE, og løser for parameterfremstillingen t.

󰇛

󰇜


󰇛

󰇜
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer koordinatsættet ved at indsætte parameterværdien i parameterfremstillingen.
󰇧
󰇨







Koordinatsættet til det punkt, hvor den centrale del af lysstrålen rammer frontfladen, er bestemt til S(48,
180, 75).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
11
Opgave 11
a)
Vi indlægger figuren i et passende koordinatsystem.
Ligningen for en parabel er givet ved:

Vi kan aflæse på koordinatsystemet til parablens toppunkt er 0. Vi udnytter at førstekoordinaten til parablens
toppunkt er givet ved:

Dvs.:

Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan aflæse på koordinatsystemet at grafen skærer y - aksen i 120 dvs. c = 120.
Vi kan aflæse på koordinatsystemet at parablen skærer x-aksen i S(160, 0), vi indsætter punktet i ligningen
for parablen og bestemmer a.


Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi opskriver en ligning for parablen.


Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
12
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for a og definitionsmængden for t.
󰇛
󰇜

󰇛

󰇜


󰇛

󰇜


Vi tegner grafen for føredukkens deceleration.
Vi bestemmer føredukkens største deceleration ved at optimerer a(t).
Vi bestemmer først nulpunkter til afledte funktion a’(t).
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
  
Vi bestemmer funktionsværdien i hvert af punkterne.
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

Vi kan konkludere at t = 92,91408 er punktet med den største deceleration. Vi undersøger om punktet rent
faktisk er et maksimum ved at undersøge fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
13
󰆒
󰇛

󰇜

󰆒
󰇛

󰇜

Vi kan konkludere at punktet er et maksimum.
Føredukkens største deceleration er bestemt til 98,26 m/s
2
.
b)
Vi bestemmer SI, når T = 140 ms.

󰇛
󰇜




SI, når T = 140 ms, er bestemt til 982848 (afrundet til helt tal).

Opgave 13
a)
OBS: Husk at indstille CAS-værktøjet til radianer.
Vi definerer forskriften for f og definitionsmængden for x.
󰇛
󰇜

󰇛
 
󰇜

Vi tegner grafen i intervallet [0; 40].
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
14
b)
Vi bestemmer bicepsvolumens muskel ved:

󰇛
󰇜



Volumen af bicepsmusklen er bestemt til 754,0 (afrundet til 1 decimal).
c)
Vi bestemmer det maksimale areal af bicepsmusklens tværsnit, som arealet af cirklen med radius svarende
til af funktionsværdien i maksimum for f(x) i intervallet [0; 40].
Vi bestemmer funktionsværdien for maksimum i f(x).
Vi bestemmer nulpunkter til den afledte funktion f’.
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi undersøger om nulpunktet er et maksimum, ved at undersøge fortegnet for differentialkvotienten på
begge sider af nulpunktet.
󰆒
󰇛

󰇜

󰆒
󰇛

󰇜

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
15
Vi kan konkludere at nulpunktet er et maksimum.
Vi bestemmer anden koordinaten til maksimum.
󰇛

󰇜
Vi bestemmer arealet af en cirkel med radius 4.

Det maksimale tværsnitareal for bicepsmusklen er bestemt til 50,27.
Opgave 14
a)
Vi bestemmer væksthastigheden ved at bestemme m’(85), hvor k = 3300.
󰆒
󰇛

󰇜






Personen taber altså 0,039 kg pr. døgn (afrundet til 3 decimaler).
b)
Vi bestemmer personens vægt udtrykt ved t og k ved at løse differentialligningen med WordMat. Vi benytter
startbetingelsen m(0) = 87.

󰆒
󰇛
󰇜



󰇛
󰇜
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen m(0)=87
󰇛
󰇜
󰇡

󰇢




Et udtryk for personens vægt udtrykt ved t og k er bestemt til ovenstående udtryk.
c)
Vi bestemmer k, så personen vejer 80 kg efter 100 døgn, ved at løse for k i m(100) = 80.

󰇡


󰇢





Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2012
16
𝑘=3002,387
Tallet k, så personen vejer 80 kg efter 100 døgn, er bestemt til 3002,4 kcal/døgn.