Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: Matematik A
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
1
STX Matematik A
11. december 2009
STX093-MAA
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 8
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik A - STX
Opgave 1
Vi ved at en vektor på formen
1
a
!
altid vil være retningsvektor til en linje med en hældning på a.
Vi kan altså konkludere at linjen l har en hældning på a = 5. Formlen for en ret linje er
(formel 49):
y = a(x − x
0
) + y
0
hvor a er hældningen og (x
0
, y
0
) er et punkt på linjen.
Vi indsætter vores kendte størrelser og får:
y = 5(x − 3) + 8
= 5x − 15 + 8
y = 5x − 7
Linjen l, hvorom der gælder l k ~a og at P (3, 8) ligger på linjen, har altså ligningen
y = 5x − 7
2
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik A - STX
Opgave 2
Vi indsætter f (x) = y i
dy
dx
og vi ser:
dy
dx
=
2 ·
e
x
· x
2
x
+ e
x
· x
2
= 2 · e
x
· x + e
x
· x
2
dy
dx
= e
x
2x + x
2
Vi finder f
0
(x).
f
0
(x) =
x
2
e
x
0
formel 123
= x
2
· (e
x
)
0
+
x
2
0
+ e
x
formel 126 og 129
= x
2
· e
x
+ 2x · e
x
f
0
(x) = e
x
(2x + x
2
)
Vi ser at f
0
(x) =
dy
dx
og er dermed kan vi verficeret at f (x) er en løsning til differentialli-
ningen
dy
dx
Denne opgave er en typeopgave der ofte ses i eksamenssæt. Samme fremgangsmåde
er næsten altid gangbar; man indsætter f(x) = y i differentialligningen og udreg-
ner denne. Efterfølgende differentieres f(x). Er f
0
(x) =
dy
dx
, er f (x) en løsning til
differentialligningen.
3
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik A - STX
Opgave 3
Vi bestemmer F (x) der er en stamfunktion til funktionen f (x).
F (x) =
Z
4x
3
− 8x
dx
formel 145
=
Z
4x
3
dx −
Z
(8x)dx
137
F (x) = x
4
− 4x
2
+ k
Vi bestemmer nu den stamfunktionen der går igennem punktet P (1, 5), ved at indsætte
punktet og isolere k.
5 = 1
4
− 4 · 1
2
+ k
m
5 = 1 − 4 + k
m
k = 8
Stamfunktionen til f (x) der går igennem punktet P (1, 5) er da
F (x) = x
4
− 4x
2
+ 8
Nedenfor ses en graf med F (x) indteget.
4
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik A - STX
Det er ikke nødvendigt at tegne en sådan graf til selve eksamen. Denne er blot med-
taget for overskueligehedens skyld.
5
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik A - STX
Opgave 4
Når en linjes ligning står på formen
y = ax + b
ved vi at a redegører for den lineære udvikling, mens b redegører for skæring med y-aksen.
Dermed angiver a = −3
L
min
tilgangen af vand i liter på minut. Da denne størrelse er
negativ kan vi konkludere at volumen af vandet falder.
b = 85 angiver volumenet af vandet til tiden t = 0 - altså starttiden. Vi kan da konkludere
at der var 85 liter vand i beholderen til at starte med.
6
Studiekompasset.dk Eksamensopgave 2009 Matematik A - STX
Opgave 5
Vi tegner en mulig graf for funktionen f. For denne skal gælde at f (0) = 5 og f (10) = −1,
og at f
0
(3) = f
0
(7) = 0. Dette vil sige at grafen for f går igennem punkterne P
1
(0, 5) og
P
2
(10, −1) og har vandrette tangenter i punkterne x = 3 og x = 7
7
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
8
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Vi tegner sumkurven og bestemmer kvartilsættet med WordMats skabelon for grupperede observationer.
Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Sumkurve:
Kvartilsæt:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
20
Nedre
38,9
Median
53,3
Øvre
58,8
Største
70
0%
25%
50%
75%
100%
60 70 80
Alder
Sumkurve
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
9
Opgave 7
a)
Vi definerer vektorerne.
󰇡
󰇢
󰇡
󰇢
Vi bestemmer projektionen af vektor på vektor
󰇍
.
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍




󰇡


󰇢
Projektionen af vektor på
󰇍
er bestemt til
󰇍
󰇡


󰇢.
b)
Vi bestemmer arealet af parallelogrammet, der udspændes af vektor og vektor
󰇍
. Arealet bestemmes som
den numeriske værdi af determinanten for vektorerne.


󰇍


Arealet af parallelogrammet, som udspændes af vektor og vektor
󰇍
er bestemt til 18.
Opgave 8
a)
Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med
eksponentiel regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager eksponentiel regression.
År
2006
2007
2008
År efter år 2006
0
1
2
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
10
IP-trafik
50808
78924
128964
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9990167

Tallet a er bestemt til 1,593 (afrundet til 3 decimaler), og tallet P
0
er bestemt til 50381 (afrundet til helt tal).
b)
Funktionen er en eksponentiel funktion, da udviklingen sker med en fast % om året.
󰇛
󰇜
f(x) betegner mængden af privat IP-trafik (målt i pentabytes) til året x, hvor x > 0.
x betegner antal år efter år 2006, hvor x > 0.
b betegner funktionens begyndelsesværdi i x = 0, dvs. at mængden af privat IP-trafik i år 2006 var 31692
pentabytes.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r bestemmer vi fremskrivningsfaktoren.





Vi opstiller og definerer funktionen.
󰇛
󰇜

Funktionen der beskriver udviklingen i den årlige private IP-trafik i årene efter år 2006, når vækstraten er 49
% pr. år, er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer fordoblingstiden.

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛

󰇜

Fordoblingstiden er bestemt til 1,74 år (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
11
Opgave 9
a)
Vi definerer modellen.
󰇛
󰇜

󰇛


󰇜
Vi bestemmer fiskens vægt, når den er 3 år gammel ved at bestemme w(3).
󰇛
󰇜

Ifølge modellen er fiskens vægt 2,02 kg (afrundet til 2 decimaler), når den er 3 år gammel.
b)
Vi bestemmer fiskens alder, når fiskens vægt er 13 kg, ved at løse w(t) = 13 for t.
󰇛
󰇜

Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ifølge modellen er fiskens alder 11,15 år, når fisken vejer 13 kg.

Opgave 10
a)
Vi bestemmer længden af siden |BC| med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 58°, B = 80°, AB = 10
A = 58°
B = 80°
C = 42°
BC = 12,67388
AC = 14,71772
AB = 10
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant.

A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
12
  

Længden af siderne BC og AC findes vha. sinusrelationer.


󰇛
󰇜

󰇛
󰇜


󰇛

󰇜

󰇛

󰇜

Længden af siden |BC| er bestemt til 12,7 m (afrundet til 1 decimal).
b)
Vi bestemmer længden af siden |BD| med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 58°, AB = 10, AD = 3.
A = 58°
D = 105,1691°
C = 16,83085°
BD = 8,786629
AB = 10
AD = 3
Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation



   
󰇛
󰇜

  
󰇛

󰇜

Længden af siden |BD| er bestemt til 8,8 m (afrundet til 1 decimal).

Opgave 11
a)
Planens ligning er givet ved.
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Planens ligning består af en normalvektor
󰇍
󰇧
󰇨
og et punkt i planen
󰇛
󰇜
.
Vi bestemmer en normalvektor til planen som krydsproduktet mellem vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
.
Vi definerer punkterne.
A
D
B
BD
AB
AD
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
13
Vi bestemmer vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
.

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍


󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

Vi bestemmer en normalvektor til planen .
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍




Vi vælger punktet C som punktet i ligningen.
Vi opskriver en ligning til planen .

󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

En ligning til planen , der indeholder trekant ABC, er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer vinklen mellem planen og linjen l, ved først at bestemme vinklen mellem en normalvektor
til planen og retningsvektoren til linjen.
Vi aflæser definerer en normalvektor til planen samt en retningsvektor til linjen.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
14
󰇍



Vi bestemmer vinklen mellem normalvektor og retningsvektor.

󰇛
󰇜
󰇍
󰇍

Ligningen løses for \Phi vha. CAS-værktøjet WordMat.




Vi bestemmer vinklen mellem linje og plan.



Vinklen mellem linjen l og planen er bestemt til 35,7° (afrundet til 1 decimal).
c)
Hvis planen skal være tangentplan til kuglen, så skal afstanden mellem plan og centrum af kuglen være lig
radius af kuglen.
Vi bestemmer derfor radius af kuglen som afstanden mellem centrum af kuglen dvs. O(0, 0, 0) og planen .
Vi indsætter punktet O og ligningen til planen i formlen herunder.

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜



Vi vælger punktet O som punkt i kuglens ligning, og opskriver en ligning for kuglen.
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
15


En ligning for kuglen med centrum i O(0, 0, 0) og planen som tangentplan er bestemt til ovenstående
udtryk.
Opgave 12
a)
Vi definerer en forskrift for f og definitionsmængden for x.
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜


Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.
Vi definerer førstekoordinaten til punktet P.
Vi bestemmer tangentens ligning.
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

En ligning til tangenten i punktet P til grafen for er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Formuleringen af denne opgave betyder det samme som at monotoniforhold for grafen.
Vi bestemmer først nulpunkter til den afledte funktion f’.
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
󰆒
󰇛
󰇜

󰆒
󰇛
󰇜

Vi opskriver monotoniforhold (afrundet til 2 decimaler).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
16
f er aftagende i intervallet ]0; 1,57]
f er voksende i intervallet [1,57; ∞[
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Opgave 13
a)
Vi definerer forskriften for f og g.
𝑓
(
𝑥
)
≔
1
64
𝑥
2
𝑔
(
𝑥
)
≔
√
𝑥
Vi bestemmer grænser for punktmængden, som skæringen mellem f og g i første kvadrant.
𝑓
(
𝑥
)
=𝑔
(
𝑥
)
⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑥=0 ∨ 𝑥=16
Vi tegner graferne for at undersøge om f(x) < g (x) mellem grænserne.
Vi kan konkludere at f(x) < g(x) mellem grænserne.
Vi bestemmer arealet af punktmængden M.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
17
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜



Arealet af punktmængden M er bestemt til 64/3.
Opgave 14
a)
Vi bestemmer først en forskrift til B(t) ved at løse differentialligningen med WordMat. Vi benytter
startbetingelsen B(0) = 50.
󰆒
󰇛
󰇜
 

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen B(0)=50
󰇛
󰇜

 

󰇛
󰇜

Vi definerer forskriften for B(t).
󰇛
󰇜

 

󰇛
󰇜
󰇛

󰇜

Vi bestemmer antallet af bakterier efter 15 døgn ved at bestemme B(15).
󰇛

󰇜

Ifølge modellen er antallet af bakterier efter 15 døgn (t = 15) 1457 (afrundet til hel bakterie).

Opgave 15
a)
Inden du begynder opgaven, bør du huske at indstille enheden til radianer.
Vi definerer A(v).
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜
Vi skal optimere forskriften for arealet af blomsterbedet som funktion af vinklen.
Vi bestemmer først nulpunkter for den afledte funktion A’.
󰆒
󰇛
󰇜
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
18
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
󰆒
󰇛
󰇜

󰆒
󰇛
󰇜

Vi kan konkludere at nulpunktet v = 2 er et maksimum.
Vinklen v, så arealet af blomsterbedet bliver størst muligt, er bestemt til 2 radianer.

Opgave 16
a)
Vi definerer f(x).
󰇛
󰇜
Højden h af rektanglet kan beskrives som funktionsværdien f(x), og bredden b af rektanglet kan beskrives
som 2x, da der gælder at f(x) = f(-x) for 4. gradsligninger, hvor x er den positive værdi på højre side af y-aksen
dvs. x > 0.
Vi bestemmer bredden b af rektanglet udtrykt ved h, ved at isolere x i f(x) = h, og derefter multiplicere med
2.
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
󰇛

󰇜

 
󰇛

󰇜

Vi opskriver bredden b af rektanglet udtrykt ved h, hvor 0 < h < 5.
󰇛

󰇜

Bredden af rektanglet udtrykt ved b er bestemt til ovenstående udtryk.
Arealet af et rektangel er givet ved bredden b multipliceret med højden h, dvs. arealet af rektanglet udtrykt
ved h er givet ved.

󰇛

󰇜

Arealet af rektanglet udtrykt ved h er bestemt ti l ovenstående udtryk.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 11. December 2009
19
Opgave 17
a)
Vi indfører og navngiver passende variable.
Størrelse
Symbol
Volumenet
V
Tiden
t
Tilstrømningen af vand
a
Proportionalitetskonstanten
c
Differentialligningen, der beskriver ændringen i vandmængden i badekarret, kan beskrives med
differentialligningen herunder.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=𝑎−𝑐·𝑉
Med værdierne fra opgaveteksten kan vi opskrive differentialligningen, der beskriver ændringen i
vandmængden i badekarret som funktion af tiden.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=0,4−0,001·𝑉
(
𝑡
)
Differentialligningen, der beskriver ændringen i vandmængden i badekarret som funktion af tiden, er
bestemt udtrykket herover.