Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: Matematik A
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
1
STX Matematik A
9. december 2011
stx113-MAT/A-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx113-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - 9. december 2011
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Ved hjælp af kvadratet på en differens (formel 8) reduceres udtrykket.
(a − b)
2
+ 2a(a + b) − b
2
= a
2
+ b
2
− 2ab + 2a
2
+ 2ab − b
2
= 3a
2
.
Opgave 2
Der gælder at (formel 39)
~a ⊥
~
b ⇔~a ·
~
b = 0 .
Vi skal derfor bestemme t således at ~a ·
~
b = 0. Først bestemmes ~a ·
~
b.
~a ·
~
b =
2
t
!
·
−3
4
!
= −6 + 4t .
Nu løses ligningen ~a ·
~
b = 0 for t.
~a ·
~
b = 0 ⇔ −6 + 4t = 0 ⇔ 4t = 6 ⇔ t =
3
2
.
Når t =
3
2
er vektorerne ~a og
~
b dermed ortogonale.
Opgave 3
Skrives en kugles ligning på formen
(x − x
0
)
2
+ (y −y
0
)
2
+ (z −z
0
)
2
= r
2
så er (formel 75) centrum givet ved (x
0
, y
0
, z
0
) og radius r.
Den givne ligning for kuglen omskrives derfor til denne form ved hjælp af kvadratkom-
plettering.
x
2
− 2x + y
2
+ 6y + z
2
+ 2z + 2 = 0
m
(x − 1)
2
− 1
2
+ (y + 3)
2
− 3
2
+ (z + 1)
2
− 1
2
= −2
m
(x − 1)
2
+ (y −(−3))
2
+ (z −(−1))
2
= 3
2
Kuglens radius er altså 3 og koordinatsættet til dens centrum er (1, −3, −1).
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx113-MAT/A-
Bemærk omskrivningen (også kaldet kvadratkomplettering) foretages ved hjælp af
kvadratsætningerne: (a − b)
2
= a
2
+ b
2
− 2ab og (a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab.
Lad os fx kigge på det første led: x
2
− 2x = (x − 1)
2
+ 1
2
⇔ (x − 1)
2
= x
2
− 2x − 1
2
Opgave 4
Ved at indsætte de givne informationer i funktionen får vi to ligninger med to ubekendte.
f(3) = 1 ⇔ b · a
3
= 1 ⇔ b = a
−3
f(6) = 8 ⇔ 8 = b · a
6
.
Indsættes den øverste ligning i den nederste ligning fås
8 = b · a
6
= a
−3
· a
6
= a
3
⇔ a = 2 .
Dette resultat bruges nu til at bestemme b.
f(3) = 1 ⇔ b · 2
3
= 1 ⇔ b =
1
8
.
Der gælder altså at
a = 2 og b =
1
8
.
Alternativt kunne man have beregnet a ved hjælp af formel 103 (formel for udregning
af fremskivningsfaktoren), og derefter have løst for b ved indsættelse af et af punkterne,
men det kræver at man kan huske formlen. Det tager ikke meget længere tid at løse
to ligninger med to uligheder, så derfor anbefaler vi det.
Opgave 5
Parablens skæringspunkter med førsteaksen er de punkter på parablen hvor y = 0. Lig-
ningen y = 0 løses for x: Først bestemmes diskriminanten d (formel 79)
d = b
2
− 4ac = (−2)
2
− 4 · 1 · (−8) = 4 − (−32) = 36 > 0 .
Parablen har altså to skæringspunkter med førsteaksen. Førstekoordinaterne til skærings-
punkterne bestemmes (formel 79)
x =
−b ±
√
d
2a
=
−(−2) ±
√
36
2 · 1
=
2 ± 6
2
= 1 ± 3 .
Koordinatsættene til parablens skæringspunkter med førsteaksen er dermed
(x, y) = (−2, 0) og (x, y) = (4, 0) .
Opgave 6
Da indhegningen har form som en kasse er indhegningens rumfang V = h · x · x = h · x
2
.
Da vi ved at rumfanget er 9 m
3
, kan højden bestemmes udtrykt ved sidelængden. Da der
er tale om sidelængder, gælder der at x > 0 og h > 0.
h · x
2
= 9 ⇔ h =
9
x
2
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx113-MAT/A-
Det samlede areal af de tre sider er givet ved
A = hx + hx + x · x = 2hx + x
2
Ved at indsætte udtrykket for h kan det det samlede areal af de tre sider udtrykkes ved
x.
A(x) = 2 ·
9
x
2
x + x
2
=
18
x
+ x
2
Arealet af de to retangulære sider og det kvadratiske tag er altså givet ved
A(x) =
18
x
+ x
2
.
Hvor arealet er givet i kvadratmeter og x er sidelængden i kvadratet.
4
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
5
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi bestemmer længden af siden |BC| med WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 30°, AC = 10, AB = 7:
A = 30°
B = 108,3688°
C = 41,63121°
BC = 5,268438
AC = 10
AB = 7
Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation



   
󰇛
󰇜

  
󰇛

󰇜

Siden |BC| er bestemt til 5,27 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi tegner en skitse af trekanten. Der dannes en ligebenet trekant BCD, hvor |BC| = |BD|:
A
B
C
AC
AB
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
6
Vi bestemmer arealet af trekant ABD med en sinusrelation:




󰇛
󰇜
Vi bestemmer vinkel B i trekant ABD med en sinusrelation:




󰇛
󰇜




󰇛

󰇜

Ligningen løses for D_spids vha. CAS-værktøjet WordMat.



Vær opmærksom på, at vinkel D i trekant ABD er stump, når vi løser for D, finder vi den spidse vinkel. Den
stumpe vinkel er givet ved:




Vi bestemmer nu vinkel B i trekant ABD, med vinkelsummen for en trekant:






Vi bestemmer arealet af trekant ABD:




󰇛
󰇜
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
7

󰇛

󰇜

Arealet af trekant ABD er bestemt til 3,72.
Opgave 8
a)
Modellen kan beskrives vha. en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Vinkel (grader)
20
40
60
80
Kraftpåvirkning (N)
0,035
0,063
0,085
0,10
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9946637


Tallet a er bestemt til 0,77 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 0,0036 (afrundet til 4
decimaler).
b)
Vi bestemmer kraftpåvirkningen i korsbåndet (målt i N), når knæet bøjes med en vinkel på 45°, ved at
bestemme f(45):
Vi definerer modellen f(x), hvor :
󰇛
󰇜


Vi bestemmer f(45):
󰇛

󰇜

Ifølge modellen påvirkes korsbåndet med en kraft på 0,067 N (afrundet til 3 decimaler), når knæet bøjes 45°.
c)
Vi definerer tallet 0,7669296 som a og væksten for vinklen som r
x
:


Vi bestemmer, hvor meget kraftpåvirkningen i korsbåndet øges med, når vinklen øges med 30 %, ved at løse
for r
y
i nedenstående udtryk.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
8
󰇛
󰇜
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ifølge modellen så øges kraftpåvirkningen i korsbåndet med 22,23 %, når vinklen øges med 30 % (afrundet
til 2 decimaler).
Opgave 9
a)
Planens ligning er givet ved:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Planens ligning består af en normalvektor
󰇍
󰇧
󰇨
og et punkt i planen
󰇛
󰇜
.
Vi bestemmer en normalvektor til planen som krydsproduktet af 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
:
Vi definerer punkterne:






Vi bestemmer vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
:

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍



󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍



Vi bestemmer en normalvektor til planen:
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
9








Vi vælger punktet T som punktet i ligningen.
Vi opskriver en ligning til planen , der indeholder tagfladen ABT:

󰇛
󰇜

󰇛
󰇜

󰇛

󰇜
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
   
En ligning til planen er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer afstanden fra punktet O(0, 0, 0) til planen . Vi indsætter punktet og ligningen for planet:

󰇛

󰇜
   




Afstanden fra punktet Origo O(0, 0, 0) til planen er bestemt til 392,2 (afrundet til 1 decimal).
c)
Vinklen mellem planerne bestemmes som vinklen mellem en normalvektor til planerne:
Vi aflæser en normalvektor til begge planer, og definerer dem:
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍



󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍



Vi bestemmer vinklen:

󰇛
󰇜
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
10

Vi har bestemt den spidse vinkel mellem planerne. Da skuret er ottekantet, må vinklen set indefra skuret
være stump, dvs. at vinklen mellem tagfladerne er givet ved:
 

Vinklen mellem tagfladerne er bestemt til 151,77° (afrundet til 2 decimal).

Opgave 10
a)
Vi definerer f(x) og definitionsmængden for x:
󰇛
󰇜
 
󰇛
󰇜

Først definerer vi førstekoordinaten til punktet P.
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(3, f(3)):
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

 
󰇛
󰇜
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer monotoniforhold for f.
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’:
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
󰆒
󰇛
󰇜
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
11
󰆒
󰇛
󰇜

Vi opskriver monotoniforhold:
f er aftagende i intervallet ]0; 5]
f er voksende i intervallet [5; ∞[
c)
Vi bestemmer punktet
, ved at sætte formlen for tangentens ligning lig
󰆒
󰇛
󰇜
, og derefter løse for
. Da vi i forvejen har defineret
, benytter vi i stedet k:
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for k med WordMat:

󰇛

󰇛
󰇜
󰇜

 
󰇛

󰇛
󰇜
󰇜

k reduceres yderligere med WordMat:
Ligningen løses numerisk for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Værdien af
, således at linjen med ligningen
󰆒
󰇛
󰇜
er en tangent til grafen for f, er bestemt til
 (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 11
a)
Vi bestemmer en forskrift for C(t) ved at løse differentialligningen C’(t) med WordMat. Vi benytter C(0) = 0
som startbetingelse:
󰆒
󰇛
󰇜
 
󰇛
󰇜
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen C(0)=0
󰇛
󰇜


󰇛

󰇜
En forskrift for C(t) er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
12
b)
Vi skitserer grafen for C(t):
Vi bestemmer tidspunktet, hvor koncentrationen af det forurenede stof i tønden er 10 ppm, ved at løse for
t, når C(t) = 10.
Vi definerer forskriften for C(t).
󰇛
󰇜


󰇛

󰇜
Vi løser for t, når C(t) = 10.
󰇛
󰇜

Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ifølge modellen er koncentrationen af det forurenede stof i tønden 10 ppm efter ca. 34,66 minutter (afrundet
til 2 decimaler).
c)
Vi bestemmer C’(15):
󰆒
󰇛

󰇜

Vi giver en fortolkning af tallet:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
13
Tallet viser, at netop efter 15 minutter (t = 15) vokser koncentrationen af forurenede stof i tønden med 0,29
ppm i minuttet (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f og definitionsmængden for x.
󰇛
󰇜


Vi bestemmer grænserne for punktmængden som skæringen mellem linjen y = 4 og grafen for f.
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Arealet af punktmængden M bestemmes med integralet:
󰇛
󰇜


Arealet af punktmængden M er bestemt til 0,235 (afrundet til 3 decimal).
b)
Vi bestemmer volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360° om
x-aksen ved:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜


Volumen af omdrejningslegemet er bestemt til 5,59 (afrundet til 2 decimaler).

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
14
Opgave 13
a)
Buens bredde ved jordoverfladen bestemmes som afstanden mellem nulpunkterne for grafen f.
Vi definerer f(x):
󰇛
󰇜
 
󰇛


󰇜
Vi bestemmer nulpunkterne, som skæringen mellem grafen for f og x-aksen.
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi bestemmer buens bredde som afstanden mellem nulpunkterne:

󰇛

󰇜

Buens bredde ved jordoverfladen er bestemt til 182,5 m (afrundet til 1 decimal).
b)
Vi bestemmer buens længde, ved at benytte udtrykket oplyst i opgaveformuleringen. Nulpunkterne for
grafen f betegner grænserne [a; b].
󰆒
󰇛
󰇜




Buens længde er bestemt til 451,3 meter (afrundet til 1 decimal).
Opgave 14
a)
Tangentens hældningskoefficient f’(x) er proportional med f(x), hvor proportionalitetsfaktoren er 0,17 dvs.
den søgte differentialligning bliver.
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

En differentialligning med startbetingelsen f(0) = 3, og hvor f(x) er en løsning, er bestemt til ovenstående
udtryk.
Vi bestemmer tangentens hældningskoefficient i punktet P(0, 3) ved:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 9. December 2011
15
𝑓
′
(
0
)
=𝑓
(
0
)
·0,17
=3·0,17
=0,51
Tangentens hældningskoefficient i punktet P er bestemt til 0,51