Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: Matematik A
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
1
STX Matematik A
7. december 2012
stx123-MAT/A-
Delprøven uden hjælpemidler ……………………………………………………………………………………………………………………. 2
Delprøven med hjælpemidler …………………………………………………………………………………………………………………….. 6
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx123-MAT/A-
Opgaver uden hjælpemidler - 7. december 2012
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilke formler, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Givet vektorerne:
~a =
3
t
!
og
~
b =
2
8
!
kan t bestemmes således, at: ~a k
~
b hvis: det(~a,
~
b) = 0 (formel 45)
det (~a,
~
b) = 0
m
3 2
t 8
= 0
m (formel 43)
3 · 8 − 2 · t = 0
m
t = 12
Konklusion: hvis t = 12 er vektorerne ~a og
~
b parallelle.
Opgave 2
Givet parablen:
p(x) = x
2
− 10x + 24
kan førstekoordinaterne til grafen for parablens skæringspunkter med førsteaksen
bestemmes ved at løse andengradsligningen:
x
2
− 10x + 24 = 0
Førstekoordinaterne til skæringspunkterne (rødderne) bestemmes med formlen:
x =
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
(formel 79)
fortsættes næste side...
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx123-MAT/A-
fortsat fra forrige side...
Kendte værdier indsættes:
x =
−(−10) ±
p
(−10)
2
− 4 · 1 · 24
2 · 1
m
x =
10 ±
√
4
2
m
x =
10 −
√
4
2
∨ x =
10 +
√
4
2
m
x = 4 ∨ x = 6
Parablen skærer x-aksen således, at førstekoordinaterne til skæringspunkterne er: x = 4 og x = 6
Opgave 3
Da trekant 4ABC er retvinklet, bestemmes |BC| med Pythagoras’ læresætning:
|BC|
2
= |AB|
2
− |AC|
2
(formel 21)
m
|BC| =
q
|AB|
2
− |AC|
2
Kendte værdier indsættes:
|BC| =
p
5
2
− 3
2
m
|BC| = 4
Længden af siden BC er således bestemt til: |BC| = 4
Da trekanterne er ligedannede (ensvinklede) kan forhold mellem ensbeliggende sider i
trekanterne opstilles og |DF | kan bestemmes.
|DF |
|DE|
=
|AB|
|AC|
(formel 19)
m
|DF | =
|DE| · |AB|
|AC|
m kendte værdier indsætt es
|DF | =
6 · 5
3
m
|DF | = 10
Længden af siden DF er således bestemt til: |DF | = 10
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx123-MAT/A-
Opgave 4
Stamfunktionen til f(x) = 3x
2
+ 6x gennem punktet P (1, 2) skal bestemmes.
Husk integrationskonstanten k ved bestemmelse af det ubestemte integrale.
Først bestemmes det ubestemte integrale F (x).
F (x) =
Z
f(x) dx
=
Z
(3x
2
+ 6x) dx
(formel 137,144)
= x
3
+ 3x
2
+ k
Derefter indsættes det kendte punkt P (1, 2) og k bestemmes:
2 = 1
3
+ 3 · 1
2
+ k
m
2 = 4 + k
m
k = −2
Stamfunktionen til f(x) = 3x
2
+6x gennem punktet P (1, 2) er således: F (x) = x
3
+ 3x
2
− 2
Opgave 5
Givet differentialligningen, hvor f (x) er en løsning:
f
0
(x) =
dy
dx
=
y − 1
x
, x > 0
kan ligningen for tangenten til f (x) gennem P (x
0
, f(x
0
)) = P (2, 7) bestemmes som:
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
) (formel 119)
når de kendte værdier indsættes i tangentligningen.
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
= f
0
(2)(x − 2) + f(2)
=
7 − 1
2
(x − 2) + 7
= 3x + 1
Tangenten til grafen for f gennem punktet P (2, 7) har således ligningen: y = 3x + 1
4
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx123-MAT/A-
Opgave 6
Givet funktionen: f(x) = ln(x) − x + 3 , x > 0
bestemmes monotoniforholdene ved først at løse ligningen:
f
0
(x) = 0
m
(ln(x) − x + 3)
0
= 0
m (formel 121,125,129)
1
x
− 1 = 0
m idet x > 0
x = 1
f har således et muligt ekstrema ved x = 1.
Fortegnsundersøgelse for f
0
i intervallene ]0; 1] og [ 1; ∞[
f
0
(0, 5) =
1
0, 5
− 1 = 2 − 1 = 1
f
0
(2) =
1
2
− 1 = 0, 5 − 1 = −0, 5
Monotoniforhold for f:
f er voksende i intervallet ]0; 1] da f
0
(x) > 0
f er aftagende i intervallet [1; ∞[ da f
0
< 0
f har maksimum i punktet (1, f (1))
"Monotonilinje"for f :
x 0 < x < 1 x = 1 1 < x < ∞
f
0
(x) + 0 -
f(x) % max &
Da dette er en af delopgave uden hjælpemidler (herunder formelsamling),
er det nødvendigt at man husker på følgende regneregel for differentiation:
(ln(x))
0
=
1
x
5
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
6
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Cirklens ligning består af cirklens radius og kuglens centrum
󰇛
󰇜
.
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Skal cirklen have centrum i C og gå igennem punktet P, skal radius af cirklen være lig afstanden fra cirklens
centrum C til punktet P. Cirklens radius bestemmes derfor som afstanden mellem cirklens centrum og
punktet P.
Vi definerer de to punkter.
󰇡
󰇢
󰇡

󰇢
Vi bestemmer afstanden mellem de to punkter, som længden af vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
.

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Vi opskriver en ligning for cirklen, der har centrum i C og går igennem punktet P.
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
En ligning for cirklen med centrum i C, som går igennem punktet P, er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
7
b)
Vi bestemmer først parameterværdierne for skæringspunkterne mellem cirkel og linjen udtrykt ved
parameterfremstillingen i opgaveformuleringen. Vi indsætter koordinatligningerne fra
parameterfremstillingen i cirklens ligning og løser for parameterværdien t.
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Vi indsætter hhv. de to parameterværdier i parameterfremstillingen og bestemmer skæringspunkter.
󰇡
󰇢󰇡


󰇢
󰇛

󰇜
󰇡
󰇢
󰇡

󰇢
󰇡
󰇢󰇡


󰇢
󰇛

󰇜
󰇡
󰇢
󰇡

󰇢
Koordinatsættet til skæringspunkterne mellem linje og cirkel er hhv. bestemt til S1(-5, 1) og S2(-4, 8).
Opgave 8
a)
Vi bestemmer først kvartilsættet for mændenes systoliske blodtryk. Vi bestemmer kvartilsættet med
WordMats skabelon for ugrupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Først opstiller vi observationerne i rækkefølge.
119, 119, 120, 120, 120, 121, 121, 122, 122, 123, 123, 123, 127, 127, 127, 128, 129, 129, 129, 129.
Vi indskriver data i WordMats skabelon for ugrupperede observationer og bestemmer kvartilsættet.
Mindste
119
Nedre
120,5
Median
123
Øvre
127,5
Største
129
Vi bestemmer boksplottene med WordMats skabelon for Boksplot. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
8
b)
Af boksplottene fremgår det at 75 % af mændene (i undersøgelsen) har et systolisk blodtryk på 121 (afrundet)
eller derover, hvorimod kun 50 % af kvinderne har et blodtryk over 120 (medianen for kvinder).
Medianen for mændene er 123, hvilket betyder, at 50 % af mændene har et højere blodtryk, hvorimod der
for kvinderne gælder at mindst 75 % af deltagerne i undersøgelsen har et lavere systolisk blodtryk end 123.
Mindst 25 % af kvinderne har et blodtryk lavere end 119 (nedre kvartil er nemlig 117 for kvinderne), hvorimod
ingen af mændene har et blodtryk, der er lavere end 119 (den laveste værdi for mændene).
Højeste værdi for kvindernes systoliske blodtryk er 128, hvorimod knap 25 % af mændene har et højere
blodtryk end 128 (øvre kvartil for mændene er 128, hvis værdien afrundes til et helt tal).
Vi kan umiddelbart konkludere, at det systoliske blodtryk for mændene generelt er højere end kvindernes.
Opgave 9
a)
Modellen kan beskrives med en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager potens regression.
Vægt (kg)
0,3
2,4
6,4
13
29,3
51,8
59,6
Hvilestofskiftet
(kcal/døgn)
28
135
293
520
956
1394
1591
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9997126


0 125 130
Mænd
Kvinder
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
9
Tallet a er bestemt til 0,765 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 70,51 (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vi definerer modellen.
󰇛
󰇜


Vi bestemmer hvilestofskiftet for et pattedyr, der vejer 20 kg, ved at bestemme f(20).
󰇛

󰇜

Ifølge modellen er hvilestofskiftet for et pattedyr, der vejer 20 kg, bestemt til 697 kcal/døgn (afrundet til helt
tal).
c)
Vi definerer tallet a og vækstraten for vægten.


Der er tale om en potens funktion. Vi bestemmer den relative vækst ved at løse nedenstående ligning for r
y
dvs. vækstraten for hvilestofskiftet.
󰇛
󰇜
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

Ifølge modellen er den procentvise ændring i hvilestofskiftet bestemt til 11,3 % (afrundet til 1 decimal) ved
en vægtforøgelse på 15 %.
Opgave 10
a)
Vi tegner en model af trekanten og bestemmer siden |AB| med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 48°, BC = 10, AC = 13
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
10
A = 48°
B = 104,964°
C = 27,036°
BC = 10
AC = 13
AB = 6,116578
Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation
 
󰇛
󰇜


󰇛
󰇜

Siden |AB| er bestemt til 6,12 afrundet til 2 decimaler.
b)
Vi bestemmer siden |DC| således at trekant BCD er lig 9 vha. en sinusrelation for arealet af trekanten.



󰇛
󰇜

 
󰇛

󰇜
Ligningen løses for DC vha. CAS-værktøjet WordMat.
 
Da vi ikke arbejder med negative længder, er den negative værdi ikke en løsning til opgaven.
Siden |DC|, så arealet af trekant BCD er 9, er bestemt til 4,0 (afrundet til 1 decimal).
Opgave 11
a)
Modellen er en eksponentiel funktion.
󰇛
󰇜
 

P(t) betegner den årlige globale CO
2
-udledning (målt i tons) til tidspunktet t år efter år 1950, hvor t > 0.
t betegner antal år efter år 1950.
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
11
Tallet  
betegner funktionsværdien i t = 0, dvs. at den årlige globale CO
2
-udledning i år 1950 var
 
tons CO
2
.
Tallet 1,031 er fremskrivningsfaktoren. Med fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstraten r.


Dvs. at ifølge modellen stiger den årlige globale CO
2
-udledning med 3,1 % om året for hvert år efter år 1950.
b)
Vi definerer P(t) og N(t).
󰇛
󰇜
 

󰇛
󰇜
 
 
Vi har at N(t) betegner befolkningstallet til tidspunktet t år efter år 1950, dvs. at en model for den
gennemsnitlige årlige CO
2
-udledning pr. person til tidspunktet t år efter år 1950, hvor t > 0, er givet ved:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

 

󰇛
 
 
󰇜

Vi definerer modellen for den gennemsnitlige CO
2
-udledning pr. person til tidspunktet t år efter år 1950, hvor
t > 0.
󰇛
󰇜

 

󰇛
 
 
󰇜

Vi bestemmer et skøn over den gennemsnitlige CO
2
-udledning pr. person i året 2012 ved at bestemme
G() = G(62).
󰇛

󰇜

Ifølge modellen forventes det, at den gennemsnitlige CO
2
-udledning pr. person i år 2012 er 59,21 tons
(afrundet til 2 decimaler).

Opgave 12
a)
Planens ligning er givet ved:
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
12
Planens ligning består af en normalvektor
󰇍
󰇧
󰇨
og et punkt i planen
󰇛
󰇜
.
En normalvektor til planen bestemmes som krydsproduktet mellem vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
.
Vi definerer punkterne.
Vi bestemmer vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
og vektor 
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
.

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Vi bestemmer en normalvektor til planen, som krydsproduktet mellem de to vektorer.
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍



Vi vælger punktet O og opskriver en ligning til planen , der indeholder sidefladen ODE.

󰇛
󰇜
󰇛󰇜
󰇛
󰇜
󰇛

󰇜󰇛
󰇜
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

En ligning til planen , der indeholder sidefladen OED, er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
13
b)
Vi bestemmer afstanden fra punktet F til sidefladen ODE. Vi indsætter ligningen for planen og punktet F i
formlen herunder og bestemmer afstanden.

󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜

󰇛

󰇜
󰇛

󰇜

Afstanden fra punktet F til planen er bestemt til 4,13 (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi bestemmer vinklen mellem planerne og ved at bestemme vinklen mellem en normalvektor til
planerne.
Vi aflæser og definere en normalvektor til de to planer.
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍



󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Vi bestemmer vinklen mellem normalvektorerne.

󰇛
󰇜
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

Den stumpe vinkel mellem planen , der indeholder sidefladen ODE, og planen er bestemt til 105,5°
(afrundet til 1 decimal).
Opgave 13
a)
Vi definerer f(x) og førstekoordinaten til punktet P.
󰇛
󰇜

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
14
󰆒
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer førstekoordinaten til skæringspunktet for tangenten og førsteaksen ved at løse for x i y
t
= 0.

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Førstekoordinaten til skæringspunktet for tangenten og førsteaksen er bestemt til x = 1,5.
Punktmængden M er sammensat af to områder, dvs. området under grafen f i intervallet [0; 5], og området
under tangenten i intervallet [1,5; 5]. Lerskålens rumfang bestemmes derfor som differensen mellem
omdrejningslegemerne, der fremkommer, når hhv. de to områder drejes 360° om x-aksen.

󰇛
󰇜

󰇛

󰇜



Rumfanget af lerskålen er bestemt til 16,6 (afrundet til 1 decimal).

Opgave 14
a)
Vi bestemmer en forskrift for v ved at løse differentialligningen med WordMat. Vi benytter startbetingelsen
v(0) = 0.
󰆒
󰇛
󰇜

󰇛
󰇜



Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen v(0)=0 med følgende
antagelser/definitioner: 
󰇛
󰇜
󰇛
 
󰇜
󰇛

󰇜

En forskrift for v er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer tidspunktet, hvor rakettens fart når op på 1000 m/s ved at løse for t i v(t) = 1000.

󰇛
 
󰇜
󰇛

󰇜

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
15
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 

Ifølge modellen når rakettens fart på 1000 m/s ca. 12,4 s efter affyring (afrundet til 1 decimal).

Opgave 15
a)
Vi har, at kilens volumen svarer til det halve af klodsens volumen, dvs. at kilens volumen kan udtrykkes ved:

Vi ved at kilens volumen er 100 cm
3
, dette udnytter vi til at bestemme h udtrykt ved x.

Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.


Vi har, at h udtrykt ved x er bestemt til ovenstående udtryk.
Kilens overfladeareal består af to retvinklede trekanter, et kvadrat og to forskellige rektangler, hvor langsiden
i skråfladen er givet ved hypotenusen af den retvinklede trekant.





Vi substituerer h udtrykt ved x ind i ovenstående udtryk og reducerer.

󰇛


󰇜
󰇛


󰇜
󰇛


󰇜
 

󰇛


󰇜



Ovenstående udtryk for kilens overfladeareal er fuldstændigt identisk med udtrykket i opgaveformuleringen.
Vi har dermed gjort rede.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2012
16
b)
Vi bestemmer den værdi af x, der gør kilens overflade mindst mulig ved at optimere x, hvor 0<x<10.
Vi definerer forskriften for kilens overfladeareal som funktion af x og definitionsmængden for x.
󰇛
󰇜
󰇛


󰇜




Vi bestemmer nulpunkter til den afledte funktion O’.
󰆒
󰇛
󰇜
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet til den afledte funktion.
󰆒
󰇛
󰇜

󰆒
󰇛
󰇜

Vi kan konkludere at nulpunktet er et minimum.
Værdien af x, så kilens overfladeareal bliver mindst mulig, er bestemt til 5,5 cm (afrundet til 2 decimaler).