Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: Matematik A
Vejledende besvarelse fra Studiekompasset.dk
Matematik A
Studentereksamen
STX
Digitalt forsøg
Onsdag den 26. maj 2010
Frs101-MATn/A-
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 1 (med autoriseret formelsa ml ing ).
(a) jf. illustrationen i opgavesættet
Da trekanterne ABC og A
1
B
1
C
1
er ensvinklede trekanter, kan følgende forhold mellem
trekanternes sider opstilles (jf. formel 19).
Bestemmelse af |AB|:
|AB|
|AC|
=
|A
1
B
1
|
|A
1
C
1
|
m
|AB| =
|A
1
B
1
| · |AC|
|A
1
C
1
|
kendte værdier indsættes
|AB| =
18 ·8
16
m
|AB| = 9
Længden af siden AB er således bestemt til: |AB| = 9
Bestemmelse af |B
1
C
1
|:
|B
1
C
1
|
|A
1
C
1
|
=
|BC|
|AC|
m
|B
1
C
1
| =
|BC| · |A
1
C
1
|
|AC|
kendte værdier indsættes
|B
1
C
1
| =
6 ·8
16
m
|B
1
C
1
| = 3
Længden af siden B
1
C
1
er således bestemt til: |B
1
C
1
| = 3
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling STX A fra 2007
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 2 (med autoriseret formelsa ml ing ).
(a) Bestemmelse af kvartilsættet.
Kvartilsættet (25%, 50%, 75%) bestemmes ved aflæsning, på koordinatsystemets førsteakse,
som projektionerne af skæringspunkterne mellem de rette linjer y = 25, y = 50, y = 75
og sumkurven (jf. formel 164):
På grafen (se illustrationen herover) aflæses kvartilsættet til: (123, 163, 195)
fortsættes næste side....
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Fortsat fra forrige side...
(b) Bestemmelse af procentdelen af eleverne, der opnåede mellem 150 og 200 point.
Dette kan bestemmes (ved aflæsning på koordinatsystemets andenakse) som
differencen mellem projektionerne af skæringspunkterne mellem de lodrette linjer
x = 150, x = 200 og sumkurven:
Som det fremgår af aflæsningerne herover, opnåede 40% af eleverne 150 point eller
derunder, mens 78% af eleverne opnåede 200 point eller derunder.
Derfor konkluderes, at 38% af eleverne opnåede mellem 150 og 200 point.
(dette er bestemt som differencen: 78% − 40% = 38%)
4
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 3 (med autoriseret formelsa ml ing ).
(a) Sammenhængen mellem årlig vandforbrug og udgift.
Fast årlig målerafgift: kr. 600, 00
pris pr.m
3
: kr. 41, 75
(priserne er inkl. moms)
Den årlige målerafgift er en konstant værdi, hvorimod prisen pr. m
3
er en variabel
udgift, der afhænger af forbruget. Dermed er det tydeligt, at den årlige betali n g for
vandforbruget er en lin eæ r sammenhæng mellem forbrugt vandmængde og prisen.
Modellen for en lineær sammenhæng: y = ax + b
Benævnes de n årlige forbrugte vandmængde for x (målt i m
3
)
og den årlige betaling (målt i kr.), som en funktion af vandmængden, for f(x)
kan følgende sammenhæng, mellem forbrugt vandmængde og prisen, udtrykkes som:
f(x) = 41, 75 · x + 600
5
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 4 (med autoriseret formelsa ml ing ).
(a) Bestemmelse af nul pu nkter for:
f(x) = x
2
− 6x + 5
modellen for ande ngr ad s fu nk t i one n: ax
2
+ bx + c = 0
Nulpunkterne for denne andengradsfunkt ion kan bestemmes som:
(jf. form el 79)
x =
−b −
√
b
2
− 4ac
2a
∨ x =
−b +
√
b
2
− 4ac
2a
De kendte værdier indsættes:
x =
−(−6) −
p
(−6)
2
− 4 · 1 · 5
2 · 1
∨ x =
−(−6) +
p
(−6)
2
− 4 · 1 · 5
2 · 1
m
x =
6 −
√
16
2
∨ x =
6 +
√
16
2
m
x =
6 − 4
2
∨ x =
6 + 4
2
m
x = 1 ∨ x = 5
f(x) har således nulpunkter ved: x = 1 og x = 5
Grafen for f vil skær e koordinatsyst em et s førsteakse i punkterne (1, 0) og (5, 0)
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
6
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 5 (med autoriseret formelsa ml ing ).
(a) Bestemmelse af f
0
(x), når f(x) = 4x
2
+ ln(x)
f
0
(x) =
4x
2
+ ln(x)
0
jf. formel 121
=
4x
2
0
+ (l n(x))
0
jf. formel 125+129
= 8x +
1
x
Den afledede funktion er således bestemt til: f
0
(x) = 8x +
1
x
, x 6= 0
(b) Bestemmelse af ligningen for tangenten til f i punktet P (1, f(1))
Bestemmelse af f (x
0
) og f
0
(x
0
):
f(x
0
) = 4 · 1
2
+ ln(1)= 4
f
0
(x
0
) = 8 · 1 +
1
1
= 9
Til bestemmelse af tangentens ligning benyttes formlen:
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
) jf. formel 119
x
0
, f(x
0
), f
0
(x
0
) indsættes:
y = 9(x − 1) + 4
m
y = 9x − 5
Tangenten til f i punktet P (1, f (1)) har således ligningen: y = 9x − 5
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
7
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 6 (med autoriseret formelsa ml ing ).
(a) Først bestemmes det ubestemte integrale:
Z
f(x) dx =
Z
(x
2
− 2x + 4) dx =
jf. formel 144+145
Z
(x
2
) dx −
Z
(2x) dx +
Z
(4) dx =
jf. formel 137
1
2 + 1
· x
(2+1)
+ k
1
−
2
1 + 1
· x
(1+1)
+ k
2
+ (4x + k
3
) =
(k = k
1
− k
2
+ k
3
)
x
3
3
− x
2
+ 4x + k
hvor k er integrationskonstanten.
En vilkårlig stamfunktion til f kan således udtryk kes som: F (x) =
x
3
3
−x
2
+ 4x + k
Bestemmelse af stamfunktionen F til f gennem P (3, 1)
Koordinaterne til P indsæ tt e s, hvorved værdien for k kan bestemmes:
F (x) =
x
3
3
− x
2
+ 4x + k
P (3, 1) indsættes
1 =
3
3
3
− 3
2
+ 4 · 3 + k
m
1 = 12 + k
m
k = −11
Det konkluderes, at stamfunktionen F til f gennem punktet P (3, 1) har forskriften:
F (x) =
x
3
3
− x
2
+ 4x − 11
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
8
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 7 (med autoriseret formelsa ml ing ).
Se illustrationen i eksamenssættet.
g(x) = ax
2
+ bx + c
(a) Bestemmelse af fortegn for a, b, c og diskriminanten d.
(I) Idet parablen vender parabelgrenene nedad, er koefficienten a < 0
Fortegnet for a er således et minus.
(II) Koefficienten b har samme fortegn som hældningskoefficienten for tangenten
til f i skærinngspunktet med y-aksen. Da g er voksende i skæringspunktet, er
hældningskoefficienten for tangenten positiv, hvilket betyder, at fortegnet for
koefficienten b er et plus (b > 0).
(III) Fortegnet for c er et plus (c > 0), da c er lig med y-koordinaten til grafens
skæringspunkt med y-aksen, hvilket i det aktuelle tilfælde er i den positive del
af andenaksen.
(IV) Diskriminanten d > 0, fortegnet for d er et plus, idet en parabel netop har to
skæringspunkter med førsteaksen, når diskriminanten er større end nul, hvilket
er tilfældet i denne opgave (jf. illustrationen).
9
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 8 (med autoriseret formelsa ml ing ).
(a) Om funktionen f(x) = x
3
+ 2e
x
er løsning til differentialligningen y
0
= y − x
2
(x − 3)
eller ej, kan undersøges ved „at gøre prøve“.
Dette gøres ved at indsætte udtrykket for f i stedet for y i differentialligningen.
Hvis højre og venstre side af ligningen kan reduceres til det samme, er f(x) løsning
til differentialligningen.
Der gøres prøve:
y
0
= y − x
2
(x − 3)
f(x) indsættes
x
3
+ 2e
x
0
?
=
x
3
+ 2e
x
− x
2
(x − 3)
m jf. formel 120,121
x
3
0
+ 2 (e
x
)
0
?
= x
3
+ 2e
x
− x
3
+ 3x
2
m jf. formel 126,129
3x
3−1
+ 2e
x
?
= 2e
x
+ 3x
2
m
3x
2
+ 2e
x
= 3x
2
+ 2e
x
X
Da begge sider af lighedstegnet kan reduceres til det samme udtryk, konkluderes at
f(x) = x
3
+ 2e
x
er
en løsning til differentialligningen y
0
= y − x
2
(x − 3).
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
10
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
Opgave nr. 9 (med autoriseret formelsa ml ing ).
Se illustrationen i eksamenssættet.
(a) Arealet af trekant P QM (T
P QM
) kan bestemmes som det halve areal af det
parallelogram, der udspændes af vektorerne
−−→
MP og
−−→
MQ (jf. formel 46)
−−→
MP =
0 − 4
x − 2
!
=
−4
x − 2
!
−−→
MQ =
x − 4
0 − 2
!
=
x − 4
−2
!
Bestemmelse af T
P QM
:
T
P QM
=
1
2
·
det
−−→
MP ,
−−→
MQ
=
1
2
·
−4 x − 4
x − 2 −2
jf. formel 43
=
1
2
· |−4 · (−2) − (x − 4)(x − 2)|
=
1
2
·
8 − x
2
+ 6x − 8
=
1
2
·
−x
2
+ 6x
Det kan udledes af opgaveteksten, at 0 ≤ x ≤ 4.
Idet trekant P QM er indskrevet i trekant ABC, må punktet P (0, x) nødvendigvis
ligge mellem punkterne C(0, 0) og A(0, 4)
Erstattes numerisk tegnet i ovenstående med en „almindelig“ parentes og reduceres
udtrykket, kan arealet T
P QM
, som en funktion af x, skrives som:
T (x) = −
1
2
x
2
+ 3x 0 ≤ x ≤ 4
hvilket skulle vises.
på næste side redegøres for, at numerisk tegnet kan ers tatt es .. .
11
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
fortsat fra forrige side...
I udtrykket for T
P QM
kan numerisk tegnet erstattes med en parentes, hvis:
−x
2
+ 6x ≥ 0 når 0 ≤ x ≤ 4
hvilket undersøges:
−x
2
+ 6x ≥ 0
m
x(−x + 6) ≥ 0
Dette giver denne mulighed (af 2) for opfyldelse:
x ≤ 0 ∧ −x + 6 ≤ 0
m
x ≤ 0 ∧ −x ≤ −6
m
x ≤ 0 ∧ x ≥ 6
Hvilket ikke er muligt.
Den anden mulighed:
x ≥ 0 ∧ −x + 6 ≥ 0
m
x ≥ 0 ∧ −x ≥ −6
m
x ≥ 0 ∧ x ≤ 6
Det er således påvist, at −x
2
+ 6x ≥ 0 hvis der samtidig gælder: 0 ≤ x ≤ 6
hvilket er tilfældet, da 0 ≤ x ≤ 4 ifølge det oplyste i opgaveteksten.
Numerisk tegnet kan således erstattes af en parentes med denne begrundelse.
fortsættes næste side...
12
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-
fortsat fra forrige side...
(b) Bestemmelse af x således at T
P QM
bliver størst muligt.
T (x) = −
1
2
x
2
+ 3x 0 ≤ x ≤ 4
Forskriften for T vil grafisk i et koordinatsystem resultere i en parabel, der vender
„benene nedad“, da koefficienten (−
1
2
) til andengradsleddet er negativt.
Idet det antages, at parablens toppunkt ligger indenfor intervallet 0 ≤ x ≤ 4, kan den
værdi for x, hvorved trekant P QM har det størst mulige areal (hvor parablen har
toppunkt), bestemmes ved at sætte den afledede funktion lig med nul og løse for x:
T
0
(x) = 0
m
−
1
2
x
2
+ 3x
0
= 0
m jf. formel 121,129
−x + 3 = 0
m
x = 3
Parablen har vandret tangent og dermed toppunkt ved x = 3.
Den fundne værdi for x ligger indenfor definitionsmængden: Dm(T ) = [ 0; 4 ]
Dermed konkluderes, at værdien x = 3 giver det største areal for trekant P QM .
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
13
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Opgave nr. 10 (med hjælpemidler og Internet).
Se illustrationen i eksamenssættet.
(a) Bestemmelse af |RH|
Først bestemmes ∠LHR, idet det udnyttes, at vinkelsummen i en trekant er 180
◦
Da to vinkler og en sidelængde i trekanten kendes, kan de øvrige sidelængder bestemmes
med sinusrelationen (jf. formel 27).
Sinusrelationen benyttes således til bestemmelse af |RH|
Afstanden fra punktet R til punktet H er således bestemt til: |RH| = 52 km
Resultatet er afrundet til et helt tal.
|RH| blev samtidig defineret i TI-nspire til senere brug.
(b) Bestemmelse af ∠HRS
Da længden af alle sider i trekant HRS kendes, kan ∠HRS bestemmes med
cosinusrelationen (jf. formel 26)
Vinklen mellem sigtelinjerne RH og RS er således bestemt til: ∠HR S = 44, 8
◦
Resultatet er afrundet til én decimal.
fortsættes næste side....
14
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
fortsat fra forrige side...
Løst med dynamisk geometriprogram (GeoGebra)
Kort redegørelse herfor på næste side...
Som det fremgår af ovenstående screendump fra GeoGebra er svaret på spørgsmålene:
a) |RH| = 52 km (når der afrundes til et helt tal).
b) ∠HRS = 44, 8
◦
(når der afrundes til én decimal).
fortsættes næste side...
15
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Fortsat fra forrige side...
En kort redegørelse for, hvordan løsningerne på opgaven er fundet med GeoGebra.
• Først afsættes to punkter R og L i koordinatsystemet med en afstand |RL| = 49
med værktøjet „Nyt punkt“ og der tegnes en linje mellem disse punkter med
værktøjet „Linjestykke mellem to punkter“
• Derefter afsættes en fast vinkel på 51, 6
◦
(med uret) med toppunkt i R med
værktøjet „vinkel med given størrelse“ og der tegnes en (stiplet) linje gennem
punktet R og det fremkomne punkt R
0
• På tilsvarende vis afsættes en vinkel på 68
◦
(mod uret) med toppunkt i punktet
L og linjen LH tegnes.
• Skæringspunktet H mellem linjerne RH og LH findes med værktøjet „Skæring
mellem to objekter“ og længden af linjen RH bestemmes med værktøjet
„Længde“
• Fra punkterne R og H afsættes en (stiplet) cirkel med radius på henholdsvis 41
og 37 (km) med værktøjet „Cirkel ud fra centrum og radiu s“.
Skæringspunktet S mellem disse cirkler findes som tidligere med værktøjet
„Skæring mellem to objekter“
• Med værktøjet „Vinkel“ bestemmes værdien for ∠HRS.
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2 0 0 7
16
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Opgave nr. 11 (med hjælpemidler og Internet).
Sammenhængen (jf. opgaveteksten):
N(t) = 276 · 1, 77
t
er en eksponentiel sammenhæng efter modellen: f (x) = b · a
t
(a) Konstanternes betydning.
Konstanten 276 (b) „fortæller“, at der i år 2005 (jf. opgaveteksten) blev foretaget
276 fedmerelateret operationer på de danske sygehuse.
Konstanten 1,77 (den såkaldte fremskrivningsfaktor a) „fortæller“, at den årlige tilvækst
i fedmerelateret operationer for perioden 2005 − 2009 er på 77 %.
a[%] = (1, 77 − 1) · 100 % = 77 % jf. form el 3+4
(b) Bestemmelse af antal fedmeoperationer i 2012.
2012 er 7 år efter begyndelsesåret 2005.
N(t) = 276 · 1, 77
t
defineres i CAS-værktøjet (TI-nspire) og N (7) bestemmes.
Der vil således i år 2012 blive foretaget (ca.) 15022 fedmeoperationer på de danske
sygehuse i følge den opgivne model for udviklingen heri.
Bestemmelse af fordoblingskonstanten T
2
jf. formel 99
Fordoblingskonstanten er således bestemt til: T
2
= 1, 214
Resultatet er afrundet til to decimaler.
grafisk løsning på efterfølgende side...
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
17
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Løsningsforslag med GeoGebra
Spørgsmål a) vedr. konstanternes betydning som i foregående.
Spørgsmål b) vedr. fedmeoperationer i 2012 samt fordoblingskonstanten.
Grafisk fremstilling af opgaven:
Forskriften for n(x) „indtegnet“ i GeoGebra.
(stregtykkelse samt farve for grafen er ændret under egenskaber for grafen).
Da 2012 er 7 år efter 2005 „indtegnes“ en lodret linje ved indtastning af udtrykket x = 7
direkte i inputfeltet.
Med værktøjet „Skæring mellem to objekter“ bestemmes skæringspunktet A mellem
grafen for n(x) samt den lodrette linje x = 7.
Antallet af fedmeoperationer i 2012 kan aflæses som skæringspunktets y-koordinat.
For at bestemme fordoblingskonstanten, „indtegnes“ to vandrette linjer (hvor den ene
er det dobbelte af den anden). På illustrationen herover er y = 2000 og y = 4000 anvendt.
De vandrette linjers skæringspunkter B og C med grafen for n bestemmes som tidligere.
En linje gennem B ortogonal på x-aksen „indtegnes“ med værktøjet „Vinkelret linje“.
Skæringspunktet D bestemmes som tidligere.
Afstanden |CD| bestemmes med værktøjet „Længde“
Da afstanden |CD| er en tilvækst på x-aksen, der medfører en fordobling af y-værdien, er
fordoblingskonstanten T
2
= |CD|
18
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Opgave nr. 12 (med hjælpemidler og Internet).
(a) Bestemmelse af monotoniforhold for f
Først defineres f (x) i CAS-værktøjet (i dette tilfælde er TI-nspire anvendt).
Dernæst bestemmes den afledede funktion f
0
(x) (her kaldt fm(x) i TI-nspire).
Nulpunkterne for f
0
bestemmes ved at sætte f m(x) = 0.
Resultatet betyder, at grafen for f har vandret tangent ved x = −3 og ved x = 2
Om det er minimums-, maksimumspunkter (lokale/globale) eller vendepunkter under-
søges med en fortegnsundersøgelse for f m(x) før, mellem og efter de herover fundne
nulpunkter.
Af ovenstående kan konkluderes følgende om f
0
s monotoniforhold:
f er faldende i intervallet {x ∈ R | − ∞ < x ≤ −3 } idet f
0
(x) < 0
f er faldende i intervallet {x ∈ R | − 3 ≤ x ≤ 2 } idet f
0
(x) < 0
f er stigende i intervallet {x ∈ R |2 ≤ x < ∞} idet f
0
(x) > 0
f har vendepunkt i punktet (−3, f (−3))
da f
0
(x) < 0 både før og efter x = −3
f har globalt minimum i punktet (2, f(2))
da f
0
(x) < 0 før x = 2 og f
0
(x) > 0 efter x = 2
fortsættes næste side...
19
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
fortsat fra forrige side...
(b) Bestemmelse af x-koordinaten for røringspunkter.....(jf. opgaveteksten).
En tangent til grafen for f parallel med linjen y = −48x + 27 skal opfylde,
at f
0
(x
0
) = −48 idet differentialkvotienten for f i et givent punkt P
0
(x
0
, f(x
0
))
er defineret som hældningskoefficienten på tangenten til f i det givne punkt P
0
(jf. form el 119)
Den afledede funktion f
0
sættes lig med −48 og der løses for x
Afrundes resultaterne til to decimaler, kan det af ovenstående beregning konkluderes,
at grafen for f har tangenter parallel med linjen y = −48x + 27 i røringspunkterne
med følgende x-koordinater:
x
r
1
= −3, 83
x
r
2
= −2
x
r
3
= 1, 83
grafisk løsning på efterfølgende side
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
20
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Løst med dyna mi sk geometriprogram (GeoGebra)
For at kunne besvare spørgsmål a) „tegnes“ grafen for f i GeoGebra ved at indtaste
funktionsudtrykket i inputfeltet. Under egenskaber for grafen kan stregtykkelse og farve
ændres (til fx blå) ligesom der kan vælges, at funktionsudtrykket skal vises ved grafen.
Den afledede funktion f
0
fremkommer ved at taste afledede[ f ] i inputfeltet.
Grafen for den afledede funktion f
0
har efterfølgende fået stregfarven rød.
Med GeoGebra’s værktøj „Skæring mellem to objekter“ bestemmes skærings-
punkterne A og B mellem x-aksen og grafen for f
0
.
Ved aflæsning af skæringspunkternes x-koordinat samt iagttagelse af forløbet for grafen
for f kan monotoniforholdene bestemmes, - jf. illustrationen herunder.
For at kunne besvare spørgsmål b) „indtegnes“ en vandret linje y = −48.
Skæringspunkterne C, D og E mellem denne linje samt grafen for f
0
bestemmes på samme
måde som tidligere (jf. illustrationen herover).
Af koordinaterne for disse skæringspunkterne kan svaret på spørgsmål b) aflæses.
Eventuelt kan, gennem disse skæringspunkter, „indtegnes“ en lodret linje ortogonal på
x-aksen vha. GeoGebra’s værktøj „Vinkelret linje“.
Bestemmes som tidligere skæringspunkterne (F , G, H) mellem de lodrette linjer og grafen
for f, kan der vha. GeoGebra’s værktøj „Tangenter“ tegnes de pågældende tangenter
til f , der er parallel med linjen y = −48x + 27
Konklusion på resultaterne som på de forrige sider.
21
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Opgave nr. 13 (med hjælpemidler og Internet).
Der henvises til opgaveteksten med hensyn til opgavens problemformulering.
(a) Opstilling af nulhypotese og undersøgelse af signifikansniveau α = 5 %.
Den stokastiske variabel X defineres som værende:
X = antal elever, der køber mad i kantinen
De 100 adspurgte (tilfældigt udvalgte) elever er stikprøven n
Det samlede antal elever på skolen er populationen N .
56 elever af de 100 adspurgte svarede ja (kan betegnes x).
Den hidtidige andel var: p
0
= 45% =
45
100
= 0, 45
Stikprøven antyder en ændring (stigning):
b
p =
x
n
=
56
100
= 0, 56
derfor vælges en alternativ hypotese, der understøtter dette:
• H
A
: p 6= p
0
Den alternative hypotese „siger“ altså, at der er sket en ændring i andelen af de elever,
der køber mad i skolens kantine.
Nulhypotesen er derfor det modsatte:
• H
0
: p = p
0
Nulhypotesen fastholder således, at andelen af elever, der køber mad i kantinen, er
den samme som forrige år.
Der er altså tale om en z-test (test for andel i population),
hvor følgende er en forudsætning:
n · p
0
(1 − p
0
) > 9
kendte værdier indsættes
100 · 0, 45(1 − 0, 45) > 9
m
24, 74 > 9 X
Forudsætningen er således opfyldt.
fortsættes næste side...
22
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Fortsat fra forrige side...
Med fx TI-nspire bestemmes signifikanssandsynligheden:
P
0
= 0, 45, succeser x = 56 (af 100), n = 100 (adspurgte elever)
Af ovenstående beregning ses:
p = 0, 027 = 2, 7 %
Da denne er mindre end signifikansniveauet α = 5% forkastes nulhypotesen H
0
på
signifikansniveau α. Dermed accepteres den alternative hypotese H
A
, som betyder, at
der er sket en ændring i andelen af de elever, der køber mad i skolens kantine.
http://bookboon.c o m /dk / st udie /g y mna si um/ s ta t is t ik- g ra tis- kompendium
23
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Opgave nr. 14 (med hjælpemidler og Internet).
Givet funktionerne:
f(x) =
1
2
x + 1 + sin(x)
g(x) = −x + 2 − cos(x)
fremkommer følgende grafiske repræsentation i intervallet: −
π
2
≤ x ≤ 2π
(GeoGebra er anvendt)
Stregtykkelserne og farverne er efterfølgende redigeret under egenskaber for graferne.
Inddelingen af x-aksen i radianer er foretaget under egenskaber for tegnefladen.
Skæringspunketet A er bestemt med værktøjet „Skæring mellem to objekter“
x-koordinaten for skæringspunktet A(0, 1) skal bruges senere i opgaven.
(a) Bestemmelse af M’s areal.
Med GeoGebra’s værktøj „Integrale[ ]“ (skal indtastes direkte i inputfeltet) kan
arealet for M bestemmes. Da punktmængden M afgrænses af funktionerne f og g
samt den (lod)rette linje x = 2π bestemmes arealet af M som:
M =
Z
2π
0
(f(x) − g(x)) dx (jf. formel 154)
Hvilket indtastes således i GeoGebra’s inputfelt: Integrale[f, g, 0, 2π]
Derved fremkommer følgende grafiske repræsentation:
fortsættes næste side...
24
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Fortsat fra forrige...
Bestemmelse af arealet for M
Arealet af punktmængden M er således bestemt til: M = 23, 33
Resultatet er afrundet til to decimaler.
(b) Bestemmelse af værdien c (jf. opgaveteksten), - resultatet:
Værdien for c således at en lodret linje x = c deler punktmængden M
i to punktmængder med samme areal, er således bestemt til: c = 4, 66
Resultatet er afrundet til to decimaler.
forklaring følger på næste side...
25
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Fortsat fra forrige...
Det antages, at der arbejdes videre med samme GeoGebra-fil som i spørgsmål (a).
Først højreklikkes på punktmængden M (helt bestemt på teksten) og fluebenet ved
„vis objekt“ fjernes (M vises ikke længere på tegnefalden).
Dernæst oprettes et skydeobjekt med værktøjet „Skyder“, denne omdøbes til c
Med kommandoen „Integrale[ ]“ oprettes to punktmængder M
1
og M
2
(navne og farver er redigeret efterfølgende).
Følgende komandoer er anvendt: Integrale[f, g, 0, c]
| {z }
M
1
og Integrale[f, g, c, 2π]
| {z }
M
2
Efterfølgende er skyderen anvendt til at finde netop den værdi for c, der
medfører, at de to punktmængder har samme areal.
Undervejs har det været nødvendigt at ændre på indstillingerne for skyderen.
Sluttelig kan det konkluderes, at den værdi for c, der deler den oprindelige
punktmængde M i to lige store arealer (M
1
= M
2
), er: c = 4, 66
Resultatet er afrundet til to decimaler.
Alternativt løsningsforslag
Med egnet CAS-værktøj som fx. TI-nspire CAS kan opgaven løses ved beregning.
(a) Først defineres de to funktioner i CAS-værktøjet:
(husk at indstille vinkelmål til radianer og beregningstilstand til tilnærmet)
Da opgaveteksten omtaler en punktmængde M afgrænset af graferne for funktion-
erne og en lodret linje x = 2π, er det rimeligt at antage, at der må være mindst ét
skæringspunkt mellem graferne for f og g. Denne/disse bestemmes med CAS ved at
sætte funktionsudtrykkene lig med hinanden og løses mht. x:
Hvilket resulterede i ét skæringspunkt ved x = 0
Dermed er intervallet for punktmængden M bestemt til: 0 ≤ x ≤ 2π
fortsættes næste side...
26
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Fortsat fra forrige...
For at kunne bestemme integralet, der er lig med arealet af M, skal det først afgøres,
hvilken af de to funktioner, der „er størst“ i intervallet (hvis graf vil ligge øverst i et
koordinatsystem). Det vides allerede, at der kun er ét skæringspunkt mellem graferne
for funktionerne, hvorfor det er fyldestgørende at kontrollere funktionsværdier for en
enkelt x-værdi i intervallet:
Dermed kan arealet af punktmængden M bestemmes som:
M =
Z
2π
0
(f(x) − g(x)) dx (jf. formel 154)
Arealet af punktmængden M er således bestemt til: M = 23, 33
Resultatet er afrundet til to decimaler.
(b) Bestemmelse af værdien for c (jf. opgavetekst) Værdien for c, der deler punktmængden
M i to punktmængder med samme areal, bestemmes ved at sætte de integraler, der er
lig arealet af de to nye punktmængder, lig hinanden og løse mht. c under hensyntagen
til den betingelse, at c ∈ [0; 2π]
Det kan konkluderes, at den værdi for c, der deler den oprindelige
punktmængde M i to lige store arealer, er: c = 4, 66
Resultatet er afrundet til to decimaler.
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
27
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Opgave nr. 15 (med hjælpemidler og Internet).
Der henvises til opgaveteksten mht. kuglens ligning og linjens parameterfremstilling.
(a) Bestemmelse af (eventuelle) skæringspunkt(er) mellem linjen og kuglen.
Først defineres, vha. linjens parameterfremstilling, udtrykkene for koordinaterne til
et givent punkt på linjen i CAS-værktøjet.
TI-nspire anvender hertil et definitionslighedstegn := eller kommandoen Define
Dernæst indsættes disse udtryk i kuglens ligning, hvorved et udtryk (eller værdi) for
parameteren t fremkommer.
De to fundne værdier for t indsættes herefter i udtrykkene for koordinaterne til
et vilkårligt punkt på den rette linje, hvorved koordinaterne for skæringspunkterne
mellem den rette linje og kuglen kan bestemmes (udtrykkene er defineret i CAS).
Skæringspunkt nr. 1 (hvor t = −1)
Den rette linje har således skæring med kuglen i punktet: S
1
(1, −3, 4)
fortsættes næste side...
28
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Fortsat fra forrige side...
Skæringspunkt nr. 2 (hvor t =
11
9
)
Den rette linje har således skæring med kuglen i punktet: S
2
(
49
9
,
−47
9
,
−4
9
)
(b) Bestemmelse af koordinaterne til punktet P
t
Retningsvektoren ~r for den rette linje (kan aflæses af parameterfremstillingen)
defineres i CAS-værktøjet. Ligesom vektoren
−−→
CP
t
defineres vha. kuglens centrum og
udtrykkene for koordinaterne til et givent punkt på den rette linje.
Centrum for kuglen aflæses af kuglens ligning til: C(1, 3, −4) jf. formel 75
Ved at sætte skalarproduktet (prikproduktet) mellem de to vektorer lig med nul,
bestemmes den værdi for t, der medfører, at vektorerne er ortogonale, idet der gælder
følgende:
~r ·
−−→
CP
t
= 0 ⇔ ~r ⊥
−−→
CP
t
(jf. formel 65)
Med henvisning til ovenstående beregning er det således bestemt, at vektorerne ~r og
−−→
CP
t
er ortogonal, når t =
1
9
. Denne værdi indsættes i den rette linjes parameterfrem-
stilling, hvorved koordinaterne for P
t
kan bestemmes.
fortsættes næste side...
29
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Fortsat fra forrige side...
Bestemmelse af koordinaterne til punktet P
t
Den fundne værdi for t indsættes i parameterfremstillingen for den rette linje, hvorved
koordinaterne for P
t
bestemmes.
Da der allerede i CAS-værktøjet er defineret udtryk for koordinater til et punkt på
linjen ved en vilkårlig t (jf. begyndelsen af besvarelsen), benyttes disse til bestemmelse
af koordinaterne.
Af ovenstående beregninger, kan det sluttelig konkluderes, at en vektor
−−→
CP
t
gennem
punktet P
t
og cirklens centrum C er ortogonal på den rette linje, hvis koordinaterne
til punktet P
t
er:
P
t
(
29
9
,
−37
9
,
16
9
)
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsa ml ing STX A fra 2007
30
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
Opgave nr. 16 (med hjælpemidler og Internet).
(a) Bestemmelse af en forskrift for v(t)
Med en Desolve() kommando i TI-nspire samt den angivne oplysning v(0) = 0
bestemmes en løsning til differentialligningen.
En for forskrift for v som en funktion af t er således bestemt til:
v(t) =
491
275
−
491 · e
−11·t
2
275
(b) Hvor meget bolden synker...
Hvor meget undervandsbolden synker i løbet af de to første sekunder bestemmes
ved integralet (jf. opgaveteksten):
I løbet af de to første sekunder vil bolden således synke 3, 25 m ned i bassinet.
Resultatet er afrundet til to decimaler.
fortsættes næste side...
31
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik A frs101-MATn/A-2605201
fortsat fra forrige side...
Grafisk fremstilling.
Efter at en forskrift for v(t) er fundet med Desolve() kommandoen, kan forskriften
indtastes direkte i GeoGebra’s inputfelt, hvorved ovenstående (blå) graf fremkommer.
Stregtykkelsen og farven er redigeret efterfølgende under egenskaber for grafen.
Med GeoGebra’s værktøj „Integrale[]“ bestemmes det (på illustrationen) skraveret
areal. Dette areal er lig det antal meter, som undervandsbolden synker i løbet af de
to første sekunder (jf. opgaveteksten).
32