Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
1
STX Matematik A
26. maj 2010
1stx101-MAT/A-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 8
Studiekompasset.dk Matematik A den 26. marts 2010 1stx101-Mat/A-
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave nr. 1 (uden hjælpemidler).
(a) Reducér udtrykket
(a + 2b)
2
− (a + 2b)(a + b) =
formel 7
a
2
+ 4b
2
+ 4ab − (a
2
+ 2b
2
+ 3ab) =
a
2
+ 4b
2
+ 4ab − a
2
− 2b
2
− 3ab =
2b
2
+ ab
2
Studiekompasset.dk Matematik A den 26. marts 2010 1stx101-Mat/A-
Opgave nr. 2 (uden hjælpemidler).
(a) Løs ligningssystemet
x − 2y = −2
3x − y = 9
Ligningssystemet skal løses som to ligninger med to ubekendte.
Til dette findes flere metoder, men den mest intuitive er nok indsættelsesmetoden, hvor
den ene variabel isoleres i den ene ligning. Det fundne udtryk for den pågældende
variabel indsættes herefter i den anden ligning og der løses for den tilbageblevne
variabel.
(
x − 2y = −2
3x − y = 9
m
(
x = 2y − 2
y = 3x − 9
m udtrykket for x indsættes
i nederste ligning
(
x = 2y − 2
y = 3(2y − 2) − 9
m
(
x = 2y − 2
y = 6y − 6 − 9
m
(
x = 2y − 2
−5y = −15
m
(
x = 2y − 2
y = 3
m
(
x = 2 · 3 − 2
y = 3
m
(
x = 4
y = 3
Løsningen til ligningssystemet er således: (x, y) = (4, 3)
3
Studiekompasset.dk Matematik A den 26. marts 2010 1stx101-Mat/A-
Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler).
En funktion f er givet ved
f(x) = 2 ln(x) + 5x
3
(a) Bestem f
0
(2)
Først bestemmes den afledte funktion f
0
.
f
0
(x) =
2 ln(x) + 5x
3
0
formel 120 og 121
= 2 · (ln(x))
0
+
5x
3
0
=
2
x
+ 15x
2
Derefter bestemmes f
0
(2)
f
0
(x) =
2
x
+ 15x
2
x = 2 indsættes
f
0
(2) =
2
2
+ 15 · 2
2
m
f
0
(2) = 61
Svaret på opgavens spørgsmål er således: f
0
(2) = 61
4
Studiekompasset.dk Matematik A den 26. marts 2010 1stx101-Mat/A-
Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler).
I et koordinatsystem i rummet er en kugle bestemt ved ligningen
x
2
− 6x + y
2
+ 2y + z
2
= 6
(a) Bestem kuglens radius og koordinatsættet til dens centrum.
Kuglens ligning omskrives.
x
2
− 6x + y
2
+ 2y + z
2
= 6
m
x
2
− 6x +
6
2
2
+ y
2
+ 2y +
2
2
2
+ z
2
= 6 +
6
2
2
+
2
2
2
m
(x − 3)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 0)
2
= 16
m
(x − 3)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 0)
2
= 4
2
Af kuglens ligning kan koordinaterne til kuglens centrum C samt kuglens radius r nu
aflæses direkte (jf. formelsamlingen side 17 nederst).
koordinaterne til centrum: C(3, −1, 0)
kuglens radius aflæses til: r = 4
5
Studiekompasset.dk Matematik A den 26. marts 2010 1stx101-Mat/A-
Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler).
(a) Undersøg, om f(x) = xe
x
+ 3x er en løsning til differentialligningen
y
0
= y +
y
x
− 3x
For at undersøge hvorvidt, dette faktisk er tilfældet, kan der „gøres prøve“ ved at indsætte
funktionsudtrykket i stedet for y på begge sider af lighedstegnet i differentialligningen og
undersøge om begge sider „ender med“ at være identiske.
venstre side
(xe
x
+ 3x)
0
=
(121)
(xe
x
)
0
+ (3x)
0
=
(123)
(x)
0
· e
x
+ x · (e
x
)
0
+ (3x)
0
=
(126, 129)
e
x
+ x · e
x
+ 3 =
(1 + x)e
x
+ 3
højre side
y +
y
x
− 3x =
(xe
x
+ 3x) +
(xe
x
+ 3x)
x
− 3x =
xe
x
+ 3x + e
x
+ 3 − 3x =
xe
x
+ e
x
+ 3 =
(x + 1)e
x
+ 3
Som det fremgår af ovenstående er begge sider af differentialligningen, efter indsættel-
se af funktionsudtrykket, blevet identiske. Det kan derfor konkluderes, at f (x) = xe
x
+ 3x
er en løsning til differentialligningen y
0
= y +
y
x
− 3x
6
Studiekompasset.dk Matematik A den 26. marts 2010 1stx101-Mat/A-
Opgave nr. 6 (uden hjælpemidler).
(a) Bestem tallet k, så andengradsligningen
2x
2
− 3x + k = 0
har netop én løsning.
En andengradsligning ax
2
+ bx + c = 0 har netop én løsning, når diskriminanten d = 0.
Diskriminanten bestemmes som d = b
2
− 4ac (jf. formel 79 i formelsamlingen).
Derfor bestemmes k således:
b
2
− 4ac = 0
tallene indsættes
og der løses for k
(−3)
2
− 4 · 2 · k = 0
m
9 − 8k = 0
m
−8k = −9
m
k =
9
8
m
k = 1, 125
Det kan altså konkluderes, at den viste andengradsligning 2x
2
− 3x + k = 0 netop én
løsning, hvis k =
9
8
= 1
1
8
= 1, 125
7
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
8
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi bestemmer vinklen mellem vektor og
, når t = 4:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinklen mellem vektor og vektor
er bestemt til 19,44° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Hvis vektorerne er parallelle, er determinanten mellem vektor og vektor
lig 0. Vi benytter denne
oplysning til at bestemme t:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Når vektor og vektor
er parallelle, er t = -2 eller t = 3.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
9
Opgave 8
a)
Vi bestemmer vinkel A i trekant ABC med WordMats trekantsløser.
Der er to mulige trekanter, da vinkel A er spids, vælger vi den trekant, hvor vinkel A er spids.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 23°, a = 13, c = 10
A = 30,527408°
B = 126,47259°
C = 23°
a = 13
b = 20,580426
c = 10
Længden af siden b findes vha. en cosinusrelation.
2. gradsligningen løses for b.
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinkel A i trekant ABC er bestemt til 30,53° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Længden af siden b i trekant ABC er bestemt med WordMats trekantsløser i a). Resultatet kopieres ind i
besvarelsen.
Længden af siden b findes vha. en cosinusrelation.
A
B
C
a
b
c
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
10
2. gradsligningen løses for b:
Længden af siden b er bestemt til 20,58 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 9
a)
Planens ligning er givet ved:
Planens ligning består af en normalvektor
og et punkt i planen
.
Vi bestemmer en normalvektor til planen som krydsproduktet mellem vektor
og vektor
:
Vi definerer punkterne:
Vi bestemmer vektor
og vektor
:
Vi bestemmer en normalvektor til planen :
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
11
Vi vælger punktet T som punktet i ligningen. Vi opskriver en ligning til planen :
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
En ligning til planen , der indeholder sidefladen ABT, er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Koordinatsættet til punktet D bestemmer vi som skæringen mellem linjen, der går vinkelret fra punktet D til
Origo (0, 0, 0). Til dette formål opstiller vi en parameterfremstilling for linjen. Retningsvektoren til
parameterfremstillingen vil være normalvektoren til planen , og punktet vil være Origo.
Vi indsætter koordinat ligningerne fra parameterfremstillingen i ligningen for planen , og løser for
parameterværdien t:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter parameterværdien i parameterfremstillingen og bestemmer koordinatsættet til punktet D:
Koordinatsættet til punktet D er bestemt til D(350/321, 700/321, 980/321).
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
12
Opgave 10
a)
Vi bestemmer sumkurven med WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i
besvarelsen.
Vi har, at 87 % af mødrene var 37 år eller derunder ved fødselstidspunktet, dvs. at 100 % - 87 % = 13 % af
mødrene var 37 år eller ældre på fødselstidspunktet.
Opgave 11
a)
Vi definerer M:
𝑀≔3000
Vi bestemmer V, når M = 3000:
log
(
𝑉
)
=−1,64−0,27·log
(
𝑀
)
⇕ Ligningen løses for V vha. CAS-værktøjet WordMat.
𝑉=0,8
0%
25%
50%
75%
100%
Mors alder på fødselstidspunktet
Sumkurve
87%
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
13
Den relative væksthastighed er 0,0026 døgn
-1
(afrundet til 3 decimaler), når kropsmassen er 3000 g.
b)
Vi isolere V, så vi får V som funktion af M:
Ligningen løses for V vha. CAS-værktøjet WordMat.
Forskriften for den relative væksthastighed V som funktion af kropsmassen M har ovenstående udtryk.
Opgave 12
a)
Vi definerer en forskrift for f(x) og førstekoordinaten til punktet P:
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f(1)):
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Først bestemmer vi nulpunkter til den afledede funktion f’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
14
Vi opskriver monotoniforhold for f:
f er voksende i intervallet ]-∞; 0,625]
f er aftagende i intervallet [0,625; ∞[
Opgave 13
a)
Vi definerer f(x) og g(x):
Vi bestemmer arealet af punktmængden M. Fra opgaveformuleringen kan vi aflæse grænserne for
punktmængden til [1; 4], og at f(x) < g(x) i området mellem grænserne:
b)
Vi bestemmer rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360°
om x-aksen ved:
Volumen af omdrejningslegemet er bestemt til 311,02 (afrundet til 2 decimal).
Opgave 14
a)
Sammenhængen kan beskrives vha. en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med
eksponentiel funktion.
x
0
56
112
224
448
896
y
1,91
1,36
0,94
0,47
0,17
0,01
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
15
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9974305
Tallet a er bestemt til 0,99 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 1,88 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi definerer forskriften for g(x).
Vi definerer forskriften for U(x) og definitionsmængden for x.
Vi skitserer grafen.
Tallet 15,5 (tons) betegner en øvre grænse for tørstofudbyttet, dvs. uanset, hvor meget kunstgødning marken
tilsættes, vil det maksimale tørstofudbytte være 15,5 tons.
Opgave 15
a)
Vi bestemmer r som funktion af t ved at løse differentialligningen med WordMat. Vi benytter startbetingelsen
r(0) = 0,017:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
16
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen r(0)=0,017
r som funktion af t er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi definerer r(t):
Vi bestemmer N som funktion af t ved at løse differentialligningen herunder med WordMat. Vi benytter
startbetingelsen N(0) = 106,5.
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=106,5
N som funktion af t er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer antallet af år efter år 2007, før at befolkningstallet når op på 200 mio. ved at løse N(t) = 200
for t, hvor t > 0.
Vi definerer N(t):
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner:
Ifølge modellen, går der 104,5 år efter år 2007 (afrundet til 1 decimal), før at befolkningstallet i Mexico når
op på 200 mio.
Opgave 16
a)
Postkassens ydre overflade består af to cirkler (overskåret), en cylinder (overskåret) og fire rektangler i to
forskellige størrelser:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 26. Maj 2010
17
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
Postkassens overfladeareal udtrykt ved r og h er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Til at bestemme den værdi af r, som giver postkassen det største rumfang, optimerer vi V(r). Vi definerer V(r)
og definitionsmængden for r:
Vi optimerer V(r). Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion V’(r):
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger om nulpunktet er et maksimum, ved at undersøge fortegnet for differentialkvotienten på
begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:
Vi kan konkludere at r = 7,283656 er et maksimum.
Værdien af r, så rumfanget af postkassen bliver størst muligt, er bestemt til 7,28 (afrundet til 2 decimaler).