1stx111-MAT/A-
Vejledende besvarelse
STX Matematik A – 18. maj 2011
Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken
formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende.
Det ”pæne” gangetegn fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med
WordMat, men ser ikke så pænt ud.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
Tips til TI-nSpire findes i slutningen af dokumentet.
Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat.
Opgave 7
a)
Da der er tale om en potensmodel, bestemmes a og b ved en potensregression:
Faldhøjde (m)
1,7
2,0
2,9
4,1
5,6
6,3
7,0
8,0
10,0
13,9
Gennemsnitlige
antal fald
42,0
21,0
10,3
6,8
5,1
4,8
4,4
4,1
3,7
3,2
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,8965498
Dermed har vi afrundet til 4 decimaler og afrundet til fire decimaler.
1stx111-MAT/A-
b)
Vi indsætter f(x) = 15 i ovenstående forskrift og løser ligningen for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er faldhøjden altså 2,6 meter afrundet til 1 decimal, når det gennemsnitlige antal fald er 15.
c)
Da der er tale om en potensfunktion ved vi at når x ganges med tallet
så ganges
med tallet
(formel 108)
Vi indsætter
og
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dermed falder det gennemsnitlige antal fald ifølge modellen med 37 % afrundet til hele procenter, når
faldhøjden øges med 50 %.
1stx111-MAT/A-
Opgave 8
a)
Før sumkurven kan tegnes skal de kumulerede frekvenser bestemmes:
De kumulerede frekvenser er bestemt i Excel og trukket ind i skemaet herunder.
Mængde
(l)
Antal
kunder
Procent/frekvens
Kumuleret frekvens
0-10
10
11,2%
11,2%
10-20
23
25,8%
37,1%
20-30
16
18,0%
55,1%
30-40
21
23,6%
78,7%
40-50
10
11,2%
89,9%
50-60
9
10,1%
100,0%
I alt
89
Hvor beregningerne er lavet på denne måde i Excel
Mængde (l)
Antal kunder
Procent/frekvens
Kumuleret frekvens
0-10
10
=B2/$B$8
=C2
10-20
23
=B3/$B$8
=C3+D2
20-30
16
=B4/$B$8
=C4+D3
30-40
21
=B5/$B$8
=C5+D4
40-50
10
=B6/$B$8
=C6+D5
50-60
9
=B7/$B$8
=C7+D6
I alt
=SUM(B2:B7)
Man kan få Excel til at vise de underliggende formler, ved at vælge ”Vis formler / Show formulas” i fanen
”Formler / Formulas”. Det tager ganske få sekunder at sætte ind, og dokumenterer dine udregninger.
Sumkurven tegnes via WordMat:
1stx111-MAT/A-
Kvartilsættet beregnes også i WordMat og aflæses til, afrundet til 1 decimal:
Nedre 15,3
Median 27,2
Øvre 38,5
Når man skal kopiere de kumulerede frekvenser man har udregnet først over i sumkurve arket, skal man
bruge funktionen ”indsæt værdier”.
Husk at data skal indtastes på denne måde:
0%
25%
50%
75%
100%
0 50 60 70
1stx111-MAT/A-
Opgave 9
a)
Længden af s bestemmes med WordMat.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 90° , C = 40,7° , c = 2,7
A = 90°
B = 49,3°
C = 40,7°
a = 4,140479
s = 3,13904
c = 2,7
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden a findes vha. sinus
Længden af siden s findes vha. tangens
Længden af s er dermed 3,14 m afrundet til to decimaler.
For at bestemme vinkel w tegnes en skitse.
90°
49,3°
40,7°
4,14
3,14
2,7
1stx111-MAT/A-
Til eksamen kan du evt. tegne skitsen i hånden og vedlægge den som bilag.
Da husiden danner en retvinklet trekant kan g bestemmes som
Da vi på forhånd kender længden af d, kan vinkel w nu beregnes:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 90° , g = 0,39096 , c = 2,5
A = 90°
w = 8,888154°
C = 81,11185°
a = 2,530385
g = 0,39096
c = 2,5
Længden af siden a findes vha. pythagoras
Vinkel C findes vha. tangens
Vinkel w findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinkel w er dermed 8,9 afrundet til 1 decimal.
b)
I figuren er indtegnet en trekant. Arealet af denne trekant kaldes
. Da det er en regulær ottekant, kan det
samlede areal af grundfladen
beregnes som
.
Da det er en regulær ottekant ved vi, at vinklen „mod centrum“ i trekanten er
90°
8,89°
81,1°
2,53
0,391
2,5
1stx111-MAT/A-
Vi kender nu en vinkel og længden af to tilstødende sider og kan dermed bruge „sinus-arealformlen“ til at
beregne trekantens areal (formel 29).
Nu kan ottekantens areal bestemmes:
Arealet af grundfladen af fiskerhuset er dermed 43,46 m
2
afrundet til to decimaler.
Husk at angive resultatet med enheder.
Man kunne også direkte have beregnet arealet af trekanten ved Herons formel, som siger at arealet af
en trekant A med siderne a, b og c er givet ved:
Hvor
1stx111-MAT/A-
Opgave 10
a)
Afstanden fra punktet
til planen med ligningen med er givet ved
(formel 52)
Dette er en af standardformlerne fra WordMat.
Vi indsætter punktet og koefficienterne for planen i ligningen:
Afstanden fra T til er
.
b)
Vi kan bestemme vinklen mellem sidefladen og ved at bestemme vinklen mellem en normalvektor for
hver flade.
Vi bestemmer først en normalvektor for sidefladen, der indeholder T, D og C. To vektorer i sidefladen
bestemmes (TD og CD) (formel 61) og en normalvektor bestemmes som krydsproduktet mellem dem
(formel 68).
Nu bestemmes en normalvektor:
En normalvektor for planen kan ud fra planens ligning aflæses til (formel 71):
Vinklen mellem de to fundne normalvektorer kan nu beregnes ved formlen (formel 64):
1stx111-MAT/A-
Denne formel kan også indsættes direkte fra WordMat (Vektor -> Rumgeometri)
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den spidse vinklen mellem planen og sidefladen, der indeholder T,D og C er altså afrundet til en
decimal og den stumpe vinkel er afrundet til en decimal.
c)
For at bestemme en parameterfremstilling for linjen gennem T og F, skal vi anvende en retningsvektor for
linjen og et punkt på linjen (formel 73).
En retningsvektor for linjen kan bestemmes som vektoren TF (formel 61)
Som punkt anvendes T og vi kan dermed opstille parameterfremstillingen for linjen:
Som det fremgår af skitsen er punktet B det sted på linjen der går igennem T og F, hvor den skærer planen
.
For at finde skæringspunktet mellem linjen og planen indsætter vi udtrykkene for x,y og z fra
parameterfremstillingen i planens ligning og løser for t:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ved at indsætte i parameterfremstillingen findes dermed koordinatsættet for punktet B.
Vi har dermed fundet B(40,40,-20).
1stx111-MAT/A-
Opgave 11
a)
Først defineres funktionerne f og g:
Vi afbilder først graferne for de to funktioner ved hjælp af WordMat / Vis Graf / GnuPlot
Da grafen for f ligger over grafen for g i det område som graferne for de to funktioner afgrænse, kan arealet
af dette område
bestemmes med følgende formel: (formel 154)
Hvor a og b angiver grafernes skæringspunkter.
Vi bestemmer skæringspunkterne ved at løse ligningen:
1stx111-MAT/A-
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan nu beregne arealet:
Arealet af M er dermed 36.
b)
Rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes omkring førsteaksen kan
beregnes som: (formel 155)
I ovenstående ligning beregner vi først rumfanget af hele det omdrejningslegeme, der fremkommer når
hele arealet under f over førsteaksen drejes omkring førsteaksen. Derefter fratrækker vi det, som ikke er
med i M.
1stx111-MAT/A-
Opgave 12
a)
HUSK AT INDSTILLE TIL RADIANER! Her er der tale om en sinusfunktion og altså ikke trigonometriske
beregninger. Derfor skal WordMat (eller andet CAS-værktøj) indstilles til at regne i radianer. Husk at
klikke den væk igen, når du er færdig med opgaven.
Først defineres f
For at bestemme længden af dagen til bestemmes
Ifølge modellen er dagens længde ved 100 døgn efter 1. januar 2011 14,57 timer afrundet til to decimaler.
b)
For at bestemme det tidspunkt hvor længden af dagen ifølge modellen er størst skal vi bestemme ekstrema
for funktionen f.
Vi undersøger derfor monotoniforholdene for f.
Først løses ligningen
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da der er tale om en trigonometrisk ligning (
har ligningen
måske flere løsninger for Derfor skal vi under WordMats indstillinger
1stx111-MAT/A-
vælge ”Alle løsninger”
Husk Z angiver alle heltal. Dvs. -2,-1,0,1,2,3… Man indsætter dette i løsningerne hvor står og ser om t
ligger inden for det angivne interval.
Dette giver to løsninger i intervallet
Altså har grafen for f en vandret tangent for og . Vi undersøger nu om disse er
ekstremaer, ved at beregne fortegnet for f’ på hver side af nulpunkterne.
Da f’ er positiv på venstre side af og negativ på højre side er der tale om et maksimum.
Da f’ er negativ på venstre side af og positiv på højre side, er der tale om et minimum.
Ifølge modellen er dagen derfor længst efter 172 dage afrundet til hele dage.
c)
Vi indsætter i f’
Dette tal angiver væksthastigheden i dagens længde efter netop 100 dage (den instantane vækstrate). Efter
100 dage vokser dagens længde med 0,10 timer pr. dag.
1stx111-MAT/A-
Opgave 13
a)
Vi benytter notationen
Vi indsætter i differentialligningen:
Ligningen løses for I vha. CAS-værktøjet WordMat.
Strømstyrkens væksthastighed, når strømstyrken er 0,3 ampere er 15 ampere pr. sekund.
Grunden til at vi bruger denne notation, er at så kan ligningen løses med WordMat.
b)
Vi opstiller modellen med notationen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen I(0)=0
Hvis man vil bruge den notation, der står i opgaven, skal d’erne indtastes som \dd.
Hvis TI-nSpire CAS benyttes, kan det gøres på følgende måde:
1stx111-MAT/A-
Opgave 14
a)
Vi definerer funktionen f
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,f(1)) er givet ved (formel 119)
Hvis man bruger TI-nspire CAS kan man benytte funktionen TangentLine((x-3)
2
,x,1)
b)
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(a,f(a)) kan tilsvarende bestemmes:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
For punktet Q gælder der at
Vi har dermed
For punktet R gælder der at . Dette indsættes i tangentens ligning, og der løses for x
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har dermed
c)
For at bestemme den værdi af a, der gør arealet af trekant OQR størst muligt skal vi bestemme ekstrema
for T. Vi undersøger derfor monotoniforholdene for T.
T defineres
Først løses ligningen
1stx111-MAT/A-
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da bortkaster vi den negative løsning.
Altså har grafen for T en vandret tangent for . Vi undersøger nu om dette er et ekstremum, ved at
beregne fortegnet for T’ på hver side af dette nulpunkt.
Da T’ er positiv på venstre side af nulpunktet og negativ på højre side er der tale om et maksimum.
Arealet af trekanten er størst når .
1stx111-MAT/A-
TI-nSpire - Specielle kommandoer
Opgave 7
Opgave 10
1stx111-MAT/A-
Opgave 12
Husk at indstille til Radianer (gøres under ”Filer” - ”Indstillinger”)
Opgave 13
1stx111-MAT/A-
Opgave 14