2stx111-MAT/A-
1
Vejledende besvarelse
STX Matematik A – 24. maj 2011
Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stxf A fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken
formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende.
Det ”pæne” gangetegn fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med
WordMat, men ser ikke så pænt ud.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
Tips til TI-nSpire findes i slutningen af dokumentet.
Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat.
Opgave 7
a)
og
defineres:
Projektionen af på
kan udregnes med følgende formel (formel 66)
Koordinatsættet til
er dermed
2stx111-MAT/A-
2
b)
Arealet A af parallelogrammet udspændt af vektor a og vektor b beregnes (formel 46) ved følgende formel:
Arealet A af parallelogrammet udspændt af vektor a og vektor b er dermed 100.
2stx111-MAT/A-
3
Opgave 8
a)
Tip: Har du ikke styr på hvilken vinkel TCB er? Så kig på side 38 i formelsamlingen. I dette tilfælde er
vinklen dermed den, som man også ville kalde ”vinkel C” i trekanten.
Da trekant TCB er retvinklet kan vinkel TCB beregnes, da vi kender to sidelængder i trekanten (r og r+h)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 90° , t = 6371 , b = 6371,828
C = 0,9236884°
T = 89,07631°
B = 90°
c = 102,7184
t = 6371
b = 6371,828
Vi har dermed fundet afrundet til to decimaler.
b)
Længden af TB er også bestemt i ovenstående beregning, og kan aflæses som siden c.
Vi har dermed
km afrundet til to decimaler.
C
T
B
c
t
b
2stx111-MAT/A-
4
Opgave 9
a)
Der er tale om en eksponentiel funktion, og derfor foretages en eksponentiel regression på tabellens data
for at estimere a og b.
År efter
1975
0
5
15
25
32
33
Antal
bedrifter
63200
42400
21500
9800
4900
4500
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9964464
En forskrift for
er dermed:
Husk at ændre x til t.
b)
Da er en eksponentielt aftagende funktion kan halveringstiden bestemmes som (formel 105)
Halveringstiden for er dermed 34,3 år afrundet til en decimal.
c)
beskriver samlede antal af malkekøer (i tusinde) og beskriver antallet af landbrug med
malkekøer begge i perioden Dermed beskriver:
gennemsnittet af antallet af malkekøer (i tusinde) pr. landbrugsbedrift i samme periode.
Obs: WordMat kan ikke selv lave sidste reduktion
=
. Denne må derfor laves
manuelt (formel 14).
Det ses at G(t) er en eksponentielt voksende funktion med vækstrate
2stx111-MAT/A-
5
Dermed er den årlige procentvise vækst i det gennemsnitlige antal malkekøer pr. bedrift i perioden 1975-
2008 6,1% afrundet til en decimal.
2stx111-MAT/A-
6
Opgave 10
a)
defineres:
Grafen for f tegnes med WordMat / Vis Graf / GnuPlot:
Sådan indtastes det
Begrænsningen på x kommer fra opgaven, og begrænsningerne på y findes ved at prøve sig frem.
2stx111-MAT/A-
7
Udbyttet fra en hektar, hvor palmerne er 10 år gamle kan ifølge modellen bestemmes som
Dvs. udbyttet fra en hektar, hvor palmerne er 10 år gamle er 35,6 ton afrundet til en decimal.
b)
Væksthastigheden i udbyttet fra en hektar, hvor palmerne er 5 år gamle beregnes som
Dvs. når palmerne netop er 5 år gamle så vokser udbyttet med 1,77 tons per år afrundet til to decimaler.
2stx111-MAT/A-
8
Opgave 11
a)
Afstanden fra punktet G til planen bestemmes (jf. formel 72)
hvor
Husk at adskille definitioner med komma
Den vinkelrette afstand fra lampens skrå side til pæren er dermed 9,8 cm afrundet til en decimal.
b)
En ligning for planen kan bestemmes hvis vi kender en normalvektor for planen samt et punkt i planen (jf.
formel 71). En normalvektor for planen kan bestemmes som krydsproduktet mellem to vektorer i planen.
Da punkterne A, C og D ligger i planen ligger vektorerne AC og AD også i planen. Vi beregner disse vektorer
(jf. formel 61) og udregner derefter krydsproduktet.
En ligning for planen gennem punktet A er dermed:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,
2stx111-MAT/A-
9
c)
Vinklen mellem planerne og kan bestemmes som vinklen mellem en normalvektor for hvert plan. Fra
opgave b) kender vi en normalvektor for planen
og ud fra ligningen for kan vi aflæse en normalvektor (formel 71)
Vi kan nu bestemme vinklen mellem disse to vektorer (jf. formel 64):
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den stumpe vinkel mellem planerne er dermed og den spidse vinkel er:
Afrundet til en decimal.
2stx111-MAT/A-
10
Opgave 12
a)
f defineres:
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet af f’ på begge sider af nulpunktet ved hjælp af WordMat.
Da f′ er positiv til venstre og negativ til højre for nulpunktet, er der tale om et maksimum for .
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallet
f er aftagende i intervallet
f antager globalt maksimum for
b)
Vi skitserer grafen for f
2stx111-MAT/A-
11
Vi beregner grafen for f’s skæring med førsteaksen
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da f er positiv i intervallet
kan arealet af punktmængden beregnes som (formel 153)
Arealet af punktmængden er dermed
.
Såfremt det er muligt at angive facit eksakt, så skal man angive det eksakt og ikke i decimaltal.
2stx111-MAT/A-
12
Opgave 13
a)
Vi bestemmer væksthastigheden til det tidspunkt hvor antal smittede var 100 ved at indsætte N = 100 i
differentialligningen.
På det tidspunkt hvor der var 100 smittede er vækshastigheden 57,3 smittede pr. døgn afrundet til en
decimal.
b)
Vi opstiller modellen med notationen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(30)=103
”efter 30 døgn var 103 smittede” skal altså omsættes til startbetingelsen
. Bemærk at
”start”betingelsen altså ikke nødvendigvis fortæller noget om modellens starttidspunkt.
Da der er tale om en logistisk vækst gælder der at N
.
Dette kan illustreres ved at betragte grafen for N.
2stx111-MAT/A-
13
2stx111-MAT/A-
14
Opgave 14
a)
Beholderens rumfang (volumen) kan beregnes som arealet af den trekantede endeflade multipliceret med
længden, y.
Da trekanten er ligesidet er alle vinklerne i trekanten .
Vi kan bestemme trekantens areal udtrykt ved x (jf. formel 29):
Beholderens rumfang udtrykt som funktion af x og y er dermed:
Beholderens rumfang når og er dermed
b)
Beholderens overfladeareal udgøres af to endeflader (ligesidede trekanter) og tre sideflader (rektangler).
Da vi ved at beholderens rumfang er 1 m^3 (vi antager at alle andre sidelængder måles i meter) kan vi finde
et udtryk for y, jf. opgave a)
Vi løser ligningen for y
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter nu dette i udtrykket for O:
Hvilket var det vi skulle vise.
2stx111-MAT/A-
15
c)
Vi definerer først funktionen for overfladens areal, hvor rumfanget er fastholdt til 1.
For at bestemme x, så beholderens overfladeareal er mindst mulig laves en monotoniundersøgelse af
.
Vi søger først eventuelle ekstremer for
ved at løse ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet af
’ på begge sider af nulpunktet ved hjælp af WordMat.
Da
’ er negativ til venstre og positiv til højre for nulpunktet, er der tale om et minimum.
Altså er beholderens overfladeareal mindst muligt når .
2stx111-MAT/A-
16
TI-nSpire Avancerede beregninger
Opgave 7
Opgave 9
2stx111-MAT/A-
17
Opgave 10
a)
2stx111-MAT/A-
18
Opgave 11
2stx111-MAT/A-
19
Opgave 12
2stx111-MAT/A-
20
Opgave 13
Opgave 14
2stx111-MAT/A-
21