Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
1
STX Matematik A (Netadgang)
18. maj 2011
Delprøven med formelsamling
1frs111-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er
det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
Ligningen kan omskrives ved division med 2 på begge sider af lighedstegnet. Da får vi:
Der er tale om en andengradsligning på formen:
. Den har løsningsformen:
Ligningen har således to løsninger:
Eller:
Vi kan nu konkludere, at ligningen har følgende løsning:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
2
Opgave 2
b)
Der står b) i opgavesættet, men det må være en fejl. Der er kun et delspørgsmål i denne opgave.
Andengradspolynomiet er på formen
Førstekoordinaten kan da bestemmes vha. toppunktsformlen:
Andenkoordinaten bestemmes nu ved indsættelse af i ligningen:
Koordinatsættet til parablens toppunkt er .
Opgave 3
a)
Makspulsen bestemmes:
En person på 20 år vil ifølge modellen have en makspuls på 194 pulsslag pr. minut.
b)
Konstanten 208 angiver . Det vil sige, at makspulsen for en nyfødt er pulsslag pr. minut.
Konstanten (med minus foran) fortæller, at en persons makspuls falder med pulsslag, hver gang
personen bliver et år ældre.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
3
Opgave 4
a)
Integralet bestemmes :
Størrelsen af integralet er .
: Bestemt integral
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Funktion Stamfunktion
Opgave 5
a)
Koordinatfunktionerne i parameterfremstillingen for aflæses:
Parameteren i skæringspunktet findes nu ved at indsætte disse i ligningen for :
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
4
Nu indsættes
i de to koordinatfunktioner fra parameterfremstillingen for , hvorved vi får
koordinatsættet til skæringspunktet mellem de to linjer:
Koordinatsættet til skæringspunktet mellem og er bestemt til .
Opgave 6
a)
Afstanden er givet ved længden af linjestykket AP.
Trekanterne APD og BCD er ensvinklede, og følgende vinkler er ens:
Der må således gælde, at:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
5
Vi ved samtidig, at:
Vi får så:
Afstanden fra hans hoveddør til udsigtstårnet er således 800 .
Opgave 7
a)
I de intervaller, hvor er aftagende, skal
.
I de intervaller, hvor er voksende, skal
Ved de -værdier, hvor har lokale ekstrema, skal
Vi undersøger graferne og konstaterer, at betingelserne ikke opfyldes af hverken eller . Der er intet ved
, som tyder på, at den ikke kunne være graf for .
Da en af de tre grafer er graf for , gælder der, at er graf for .
Opgave 8
a)
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
Vi har, at:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
6
Funktionen differentieres:
Ligningen bliver så:
Tangenten til grafen for i punktet kan således beskrives ved ligningen:
: Ledvis differentiation og produktreglen
Funktion Afledt funktion
Opgave 9
a)
Hastigheden, hvormed antallet af kolonier vokser, kan skrives som:
.
Denne størrelse er proportional med produktet:
Proportionalitetskonstanten er givet ved . Vi får da, at må opfylde følgende differentialligning:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
7
Opgave 10
a)
Omkredsen i kan beregnes som summen af længden af figurens sider:
Omkredsen udtrykt ved og kan således skrives som:
b)
Arealet i
kan ligeledes udtrykkes ved og . Arealet kan ses som en sum af arealet af de to del
rektangler, som udgør figuren. Situationen er skitseret herunder:
Da vi har, at og , kan vi opskrive følgende ligningssystem:
isoleres i ligning (1.1):
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen - 18. maj 2011
8
fra ligning substitueres ind i ligning (2.1):
Nu substitueres ind i ligning (1.2):
Vi kan således konkludere, at og , når omkredsen er 28 cm og arealet er 38 cm
2
.