Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
1
STX Matematik A (Netadgang)
18. maj 2011
Delprøven med hjælpemidler
1frs111-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMat’s egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 11
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression i WordMat. Først opskrives
data i en tabel:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
885
662
496
364
298
248
207
171
140
110
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9902748
Konstanterne aflæses, afrundes og defineres:
b)
Vækstraten er givet ved:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
2
Det vil sige, at opspringshøjden aftager med pr. opspring.
Halveringskonstanten er givet ved:
Halveringskonstanten er fundet til
opspring.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
3
Opgave 12
a)
En skitse tegnes og alle resterende sider og vinkler beregnes ved indtastning af de givne oplysninger i
WordMat’s trekantsberegner:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: P
1
= 55°, P
2
= 50°, P
1
P
2
= 100
P
1
= 55°
Q = 75°
P
2
= 50°
QP
2
= 84,80486
P
1
P
2
= 100
P
1
Q = 79,30676
Vinkel Q findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne QP
2
og P
1
Q findes vha. sinusrelationerne
Vi kan således konkludere, at længden af den stålwire, som går til
, er ca. .
55°
75°
50°
84,8
100
79,3
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
4
Opgave 13
a)
Vi definerer de indgående størrelser:
Nu lader vi WordMat om beregningerne, og konkluderer, at:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
5
Opgave 14
a)
Ud fra de givne oplysninger kan vi fremskrive populationsstørrelserne med 1 år.
For de unge mus gælder, at hele generation dør eller bliver gamle. Samtidig fødes der
nye
unger:
For de gamle mus gælder, at hele generation dør. Samtidig bliver
unge mus nu gamle.
Vi kan nu opskrive fremskrivningerne som en vektor:
Nu efterprøver vi, ved beregning i WordMat, at fremskrivningerne passer med modellen i opgaven:
Vi ser, at den udledte fremskrivningsvektor giver den samme fremskrivning som modellen i opgaven. Der er
hermed gjort rede for, at udviklingen i fordelingen af antal unge og gamle mus kan beskrives ved:
b)
Vi definerer nu:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
6
Egenværdierne findes ved at løse:
Ligningen løses for λ vha. CAS-værktøjet WordMat.
For den største af de to egenværdier,
, gælder, at vi for store værdier af kan fremskrive
populationsstørrelsen blot ved at gange med egenvektoren. Med matematisk notation får vi:
for
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
7
Opgave 15
a)
WordMat skal arbejde med en funktion af to variable, og de uafhængige variable adskilles af semikolon.
Funktionen defineres som en funktion af to variable:
Vi bestemmer nu:
Windchill indekset ved og en vindhastighed på
er altså ca.
b)
Vi løser nu:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den vindhastighed, som ved en temperatur på giver et windchill indeks på er således ca.
.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
8
Opgave 16
a)
Nulhypotese: Resultatfordelingen pr. 14/11 for sæsonen 2010/2011 følger samme fordeling som
resultatfordelingen for sæsonen 2009/2010.
Til undersøgelsen anvendes en GOF-test i WordMat. De forventede værdier beregnes i Excel vha.:
1) Antallet af kampe pr. 2010: 128
2) Den procentdel, som udfaldet udgjorde i 2009/2010. Det vil sige hhv. 50,8%, 25,3% og 23,9%
Vi får nu:
Goodness of fit
Nul-hypotese:
Den observerede
stikprøve stammer fra
den forventede fordeling
Udfald
Obs.
Fordeling
Forventet
fordeling
Signifikans
niveau:
5%
Hjemmesejr
55
65,024
Uafgjort
45
32,384
P-værdi:
3,54%
Udesejr
28
30,592
Konklusion:
Nul-hypotese forkastet
Da forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau. På et 5% signifikansniveau kan vi
således afvise, at resultatfordelingen pr. 14/11 for sæsonen 2010/2011 følger samme fordeling som
resultatfordelingen for sæsonen 2009/2010.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
9
Opgave 17
a)
Ligningen søges opskrevet på formen:
Hvor
er en normalvektor til planen og
er et punkt i planen.
En normalvektor til planen kan findes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i tagfladen
ABCD. To sådanne vektorer defineres:
Vi får så, at:
Vektoren kan skaleres med
og stadig være normalvektor til planen. Vi definerer nu:
Ligningen opskrives nu vha. ovenstående normalvektor og punktet :
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
Vi kan konkludere, at kan beskrives ved ligningen .
b)
Vinklen mellem de to tagflader kan bestemmes som vinklen mellem en normalvektor for hver af planerne
og . En normalvektor for aflæses direkte af ligningen og defineres:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
10
Vinklen kan nu bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Denne vinkel er den spidse vinkel mellem planerne. Vinklen mellem de to tilstødende tagflader svarer til
den stumpe vinkel mellem planerne. Vi får nu:
Vinklen mellem tagfladerne ABCD og ADT er altså ca.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
11
Opgave 18
a)
Funktionerne defineres:
Skæringspunkterne findes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Andenkoordinaterne findes nu som:
Koordinatsættene for de tre skæringspunkter således:
Vha. koordinatsættene og figuren indser vi nu, at punktmængden afgrænses af graferne for og i
intervallet , samt at i hele intervallet. Arealet af punktmængden kan da beregnes som:
Arealet af er ca. 7,146
b)
Den lodrette afstand mellem de to grafer kan beskrives som en funktion af :
Da er absolutværdien af et tredjegradspolynomium, vil den ikke have nogen globale ekstrema. Der vil
nemlig gælde, at
På figuren antydes det dog, at man udelukkende søger at finde den største værdi af for .
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –18. maj 2011
12
For at finde den største værdi af i dette interval kan vi nu ændre definitionen på . For det første
behøver vi ikke tage absolutværdien, da i hele definitionsmængden, og for det andet har vi nu en
begrænset definitionsmængde:
Nu løser vi:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er kun et stationært punkt, og vha. figuren kan vi vide os sikre på, at dette er et globalt maksimum.
Afstanden findes nu:
Den største lodrette afstand mellem de to grafer (i intervallet ) er således .