Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
1
STX Matematik A (Netadgang)
Forår 2011 - Vejledende opgave
Delprøven med formelsamling
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er
det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
Først bestemmes hældningskoefficienten :
Vi har nu, at:
Nu indsættes koordinatsættet for punktet :
Vi kan således konkludere, at ligningen for den rette linje, som går gennem punkterne og ,
er givet ved:
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
2
Opgave 2
a)
Et boksplot tegnes:
Tallet 17 er værdien af den øvre kvartil. Den angiver, at 75% af observationerne antager en værdi, som er
mindre end 17.
Opgave 3
a)
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
De oplyste værdier indsættes:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
er således fundet til:
Opgave 4
a)
Der er tale om en eksponentiel model på formen:
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
3
Konstanten angiver størrelsen af . Der var således 4,087 mio. mobilabonnementer i Afrika i
år 2002.
Konstanten fortæller os noget om funktionens vækstrate. Denne kan findes som:
Det vil sige, at antallet af mobilabonnementer i Afrika vokser med om året efter år 2002.
Opgave 5
a)
En skitse tegnes:
Vi har nu inddelt trekant ABC i tre mindre trekanter: og . På denne måde er vinkel blevet
inddelt i:
Vinklen mellem
og
er den samme som vinkel
. Denne isoleres nu af ovenstående ligning:
De indgående vinkler beregnes hver for sig
findes, idet vinkelsummen i en trekant er :
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
4
findes på samme måde:
Da
er vinkelhalveringslinje for
, må der gælde, at:
Vi får nu:
Vinklen mellem
og
er .
Opgave 6
a)
Funktionen differentieres :
Vi kan konkludere, at:
:
Kædereglen for sammensatte funktioner
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
5
Ledvis differentiation
Konstant udenfor parentes
Funktion Afledt funktion
Opgave 7
a)
Funktionen integreres:
Vi har således, at alle stamfunktioner til kan skrives på formen:
Da grafen for går gennem , har vi, at
. Det vil sige:
Forskriften for den stamfunktion til , hvis graf går gennem er således givet ved:
: Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
6
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Funktion Stamfunktion
Opgave 8
a)
Begge grafer er positive i det viste interval. I samme interval må der således gælde, at
.
Dette medfører, at må være voksende i hele det viste interval. repræsenterer en voksende funktion,
mens repræsenterer en aftagende funktion (i det viste interval).
Vi kan nu konkludere, at:
er grafen for , og er grafen for .
Opgave 9
a)
En eksponentiel funktion kan skrives på formen:
Det ses af tabellen, at vokser med 100%, når vokser med 1. Følgende sammenhæng gælder mellem
fremskrivningsfaktoren og vækstraten :
Vi har nu bestemt fremskrivningsfaktoren til
Vi anvender nu, at
:
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
7
Der gælder for eksponentielle funktioner af denne type, at
Vi kan således konkludere, at
Opgave 10
a)
Vi har, at
differentieres med hensyn til :
Nu indsætter vi ovenstående udtryk i differentialligningen og kontrollerer, om begge sider viser det samme:
Da ligningen viser det samme på begge sider, kan vi konkludere, at er en løsning til den angivne
differentialligning.
:
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
8
Funktion Afledt funktion
Opgave 11
a)
Trekanterne ADC og BDC er ensvinklede, idet:
Der må således gælde, at:
Indsætter vi kendte sidelængder, får vi:
Heraf, kan vi konkludere, at:
b)
Ligningen løses:
(Begge sider af ligningen ganges med )
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
9
Der er tale om en andengradsligning på den generelle form
. .
Vi anvender nu den generelle løsningsform (med tanke på, at vores ubekendte er fremfor ):
Der er to løsninger:
Vi kan nu konkludere, at de mulige værdier af er
og
: Normalt skrives den generelle form som
, men da vores ubekendte også hedder
kalder vi den sidste konstant for i stedet. Vi kunne samtidig erstatte med , så:
Denne forklaring er ikke nødvendig i en eksamensbesvarelse, da det opfattes som underforstået.