Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
1
STX Matematik A (Netadgang)
Forår 2011 - Vejledende opgave
Delprøven med hjælpemidler
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 3.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMat’s egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 12
a)
Vi kan nu opskrive de givne informationer i et ligningssystem bestående af to ligninger med 2 ubekendte.
Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Konstanterne er fundet og afrundet til: og .
b)
Funktionen defineres nu (uden afrunding af konstanter):
Temperaturstigningen i bremserne, når bilen bremses helt ned fra
er på .
Nu løser vi:
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
2
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hastigheden, når temperaturstigningen er , er altså ca.
.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
3
Opgave 13
a)
Koordinatfunktionerne i linjens parameterfremstilling aflæses og defineres:
I skæringspunktet vil linjen og planen have samme koordinatsæt. Vi kan således indsætte ovenstående
koordinatfunktioner i ligningen for og dermed finde parameteren i punktet:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi definerer nu denne og lader WordMat beregne koordinatsættet til skæringspunktets stedvektor:
Vi kan således konkludere, at skæringspunktet mellem og har koordinatsættet
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
4
Opgave 14
a)
Ligningen er på formen:
Diskriminanten kan da beregnes som:
Da diskriminanten er negativ, har ligningen ingen reelle løsninger. Vi indstiller WordMat til komplekse tal og
løser ligningen:
Ligningen løses for z vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan således konkludere, at ligningen har to løsninger:
og
.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
5
Opgave 15
a)
Vi lader fortsat WordMat arbejde med indstillingen ’komplekse tal’. VI løser nu:
Ligningen løses for z vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan således konkludere, at ligningen har 6 løsninger (her på afrundet form):
Vi plotter nu løsningerne i den komplekse talplan (førsteaksen er den reelle akse, mens andenaksen er den
imaginære akse) vha. WordMat og forbinder punkterne.
Det ses, at de forbundne punkter danner en sekskant i den komplekse talplan.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
6
Opgave 16
a)
Da vi skal teste om to grupper af observationer følger samme fordeling anvendes en GOF-test i WordMat.
De forventede værdier beregnes i Excel vha. formlen:
Vi får nu:
Goodness of fit
Nul-hypotese:
Den observerede
stikprøve stammer fra
den forventede fordeling
Spiller
Andel af
skudforsøg
Scorede
mål
Forventede
mål
Signifikans niveau:
5%
Maibritt
Kviesgaard
0,18
22
16,92
Camilla Dalby
0,292
25
27,448
P-værdi:
6,308%
Trine Troelsen
0,315
20
29,61
Konklusion:
Nul-hypotese kan ikke forkastes
Ann Grete Nørgård
0,213
27
20,022
Goodness of fit bygger på χ²-fordeling
Frihedsgrader:
3
χ²-værdi:
7,2944
Xmaks:
16
Teststørrelsen er således bestemt til
Da , kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5% signifikansniveau. Vi kan således ikke
afvise, at fordelingen af scorede mål følger fordelingen for skudforsøg for de fire spillere.
: Det er vigtigt at konkludere præcist. Der er kun to mulige konklusioner på en undersøgelse af denne
type:
1) Nulhypotesen forkastes på et 5% signifikansniveau
2) Nulhypotesen kan ikke forkastes på et 5% signifikansniveau
En typisk fejl ville være at konkludere: Nulhypotesen kan bekræftes på et 5% signifikansniveau. Dette er
forkert! Desværre laver WordMat nogle gange selv den konklusion, men så må man ændre den.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
7
Opgave 17
a)
Differentialligningen løses med begyndelsesbetingelsen:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(0)=0,02
Vi har nu bestemt en forskrift:
.
b)
Der er tale om en logistisk vækstmodel på formen:
Den største udbredelsesfart
findes da når udbredelsen har nået halvdelen af sit maksimum. Det vil
sige, når:
Ovenstående løses nu mht. :
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det tidspunkt, hvor algeudbredelsen foregår hurtigst, er altså cirka 44 døgn efter starten af forsøget.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
8
Opgave 18
a)
En skitse tegnes WordMat ved at indtaste de komplekse tal og forbinde dem.
b)
Vi indstiller nu WordMat til at arbejde med komplekse tal med polær notation. WordMat konverterer nu de
komplekse tal til polær form:
De komplekse tal, som repræsenteres af de nye hjørnepunkter, kan nu findes ved blot at lægge 45 grader til
argumenterne i den polære form. I samme ombæring ændres indstillingen i WordMat tilbage til
rektangulær form, og de nye komplekse tal findes:
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
9
Vi har nu bestemt de komplekse tal, som hjørnepunkterne i trekant
er repræsentanter for i den
komplekse talplan. De afrundes og opskrives herunder:
Herunder ses en skitse af de to trekanter. Trekant er tegnet med sort, mens trekant
er tegnet
med blåt. Dette efterspørges ikke i opgaveteksten og er derfor kun ment som en hjælp til forståelsen.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
10
Opgave 19
a)
Rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når en punktmængde under mellem førsteaksen
og grafen for en funktion i et interval roteres grader om førsteaksen, er givet ved:
Funktionen defineres, og vi indstiller vinkelenheden til radianer:
Punktmængden afgrænses i intervallet af førsteaksen samt , som jf. figuren er positiv i hele
intervallet. Volumen af omdrejningslegemet beregnes nu:
Enheden er
Vasens volumen er altså ca. .
b)
Overfladen bestemmes nu i WordMat:
Enheden er
.
Arealet af vasens krumme overflade er altså ca.
.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
11
Opgave 20
a)
Vi indfører to variable:
Rumfanget kan udregnes som:
Vi sætter nu og isolerer :
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
defineres:
Det samlede overfladeareal er givet ved:
Det samlede overfladeareal defineres nu som funktion af for . Der må samtidig gælde, at :
Nu løser vi:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX Netadgang – Vejledende opgave – Forår 2011
12
Vi definerer nu :
Da er defineret som udtrykt ved , kan vi nu beregne og kontrollere, om
Da går vi videre. Vi tjekker nu fortegnet for på hver side af nulpunktet:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
2,840496
-
0
+
↘
↗
Funktionen har et lokalt minimum i , og da der ikke er andre lokale ekstrema i
definitionsmængden, må der også være tale om et globalt minimum.
Enheden er
Den værdi af radius i skraldespandens bundflade, som giver det mindste samlede overfladeareal, er altså
cirka 28 .