Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
1
STX Matematik A (Netadgang)
14. august 2013
Delprøven med formelsamling
stx132-MATn-A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er
det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
Parallelogrammets areal kan bestemmes som:
Arealet af det parallelogram, som udspændes af de to vektorer er 51.
b)
Om ortogonale vektorer gælder, at deres skalarprodukt er lig med 0. Dette efterprøves:
De to vektorer er således ikke ortogonale.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
2
Opgave 2
a)
Parablen er på den generelle form:
Førstekoordinaten i toppunktet kan da findes vha. formlen:
Nu findes den tilhørende andenkoordinat ved indsættelse af i parablens ligning:
Koordinatsættet til parablens toppunkt er således bestemt til
Opgave 3
a)
Arealet af det skraverede område kan bestemmes som arealet af den store cirkel minus arealet af den lille
cirkel:
Arealet af en cirkel er givet ved
Vi får da:
Begge sider divideres med :
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
3
Radius i den lille cirkel er 12.
Opgave 4
a)
AB er hypotenusen i en retvinklet trekant, så:
Arealet af trekanten kan bestemmes på flere måder (vha.
:
Begge ligninger ganges med , hvorefter de to højresider sættes lig med hinanden:
Vi kan nu konkludere, at
og
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
4
Opgave 5
a)
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
kan bestemmes som:
Det vil sige:
En ligning for tangenten til i er således bestemt til
b)
Nulpunkter for bestemmes:
Begge sider divideres nu med
. Dette kan gøres uden videre, da der for alle reelle værdier af gælder, at
. Vi får da:
Dette er en andengradsligning på formen:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
5
Med løsning:
Vi får således to løsninger:
Vi fandt tidligere, at:
er således aftagende i intervallet
Nu undersøges fortegnet for på venstre side af
:
er således voksende i intervallet
Nu undersøges fortegnet for på højre side af
:
er således voksende i intervallet
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
6
Vi kan nu sammenfatte monotoniforholdene for :
er aftagende i intervallet
er voksende i intervallerne og
Opgave 6
a)
Den generelle ligning for en cirkel med radius og centrum i
) er givet ved:
Radius kan bestemmes som længden af den vektor, som går fra C til
Vi får nu:
En ligning kan nu opskrives:
Vi har nu fundet en ligning for cirklen:
Tangentens ligning søges opskrevet på formen:
Hvor
er koordinatsættet til et punkt på linjen, mens
er en normalvektor for linjen.
Da der er tale om en tangentlinje, som går gennem punktet , vil
være normalvektor for linjen:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
7
En ligning for tangenten til cirklen i punktet er således givet ved:
b)
Hvis og kun hvis der er tale om en tangentlinje, vil der gælde, at afstanden fra linjen til cirklens centrum er
lig med cirklens radius. Det vil sige, at
. Dette efterprøves nu vha. den generelle
afstandsformel for et punkt
og en linje med ligningen :
Dvs.:
Da
er linjen en tangent til cirklen.
Opgave 7
a)
En parabel kan generelt beskrives ved ligningen:
angiver -værdien når
Parablen har toppunkt i
. Da i toppunktet, kan vi konkludere, at .
angiver tangentens hældningskoefficient når . Da i toppunktet, og tangenten altid er vandret
i toppunktet, kan vi konkludere, at .
Vi kan nu opskrive en midlertidig ligning:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
8
Parablens højre skæringspunkt med -aksen har koordinatsættet
. Dette koordinatsæt kan
indsættes i ovenstående ligning:
Den endelige ligning bliver så:
. Parablen er således en graf for funktionen .
b)
Tværsnittets areal kan beregnes som det bestemte integral af med grænserne og :
Vi kan konkludere, at tværsnittes areal er
.
: Bestemt integral, definition:
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
9
Funktion Stamfunktion
Opgave 8
a)
Integralet kan bestemmes ved substitution :
Vi omdøber funktionen i nævneren:
Så får vi:
Ifølge reglen om integration ved substitution kan vi opfatte
som en ”almindelig” brøk. Det vil sige:
De nye integrationsgrænser bliver:
Nu kan der substitueres:
Integralet er således bestemt med resultatet .
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2013
10
: Integration ved substitution
:
Funktion Afledt funktion
:
Integrationskonstanten udelades altid i bestemt integral, da:
: Da der for begge grænser gælder, at , vil der også gælde, at
.
: