Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
1
STX Matematik A (Netadgang)
14. august 2013
Delprøven med hjælpemidler
Stx132-MATn/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 16
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 9
a)
En eksponentiel sammenhæng kan generelt skrives som
.
I dette tilfælde vælges, at:
angiver den nedbøren i
angiver det gennemsnitlige antal udklækkede æg pr. finkepar
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression i WordMat. Først opskrives
data i en tabel:
Nedbør (mm pr. år)
48
373
593
698
741
958
1135
Gennemsnitligt antal udklækkede æg pr. par
0,32
0,66
0,84
1,72
1,94
3,92
6,72
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9663409
En forskrift for sammenhængen kan nu opskrives
b)
Fordoblingskonstanten kan bestemmes som:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
3
Det vil sige, at den årlige nedbør skal stige med ca. 242 mm, før der sker en fordobling af det
gennemsnitlige antal udklækkede æg pr. finkepar.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
4
Opgave 10
a)
Fordelingen indskrives i WordMat’s regneark for rå data, hvorefter det automatisk overføres til regnearket
for ugrupperede observationer. Vi får så:
Ugrupperede
Observationer
Deskriptorer
Obs.
Hyp.
Frekvens
Kum.
Frek.
Kvartilsæt
25
1
5%
5%
Nedre
29
26
1
5%
9%
Median
33,5
28
1
5%
14%
Øvre
39
29
3
14%
27%
Obs. Fraktil
30
1
5%
32%
32
1
5%
36%
33
3
14%
50%
Middeltal
35,6
34
1
5%
55%
Spredning
8,34
35
4
18%
73%
39
1
5%
77%
43
1
5%
82%
45
2
9%
91%
49
1
5%
95%
61
1
5%
100%
Kvartilsættet aflæses:
Middelværdien aflæses: 35,6
Alle kvindernes kvartiler er mindre end de tilsvarende værdier for mændene, og det samme gælder
middelværdierne. Kvinderne, der vinder Oscar-kategorien ”Bedste skuespillere”, er altså generelt set yngre
end mændene, som vinder samme kategori.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
5
Opgave 11
a)
Nulhypotese: Der er ingen sammenhæng mellem køn og interesse i produktet.
Da det skal undersøges, om der er en sammenhæng mellem 2 variable, anvendes en
-test i WordMat:
χ²-test
Observationer
I alt
Forventede
I alt
96
112
208
106,3744
101,6256
208
128
102
230
117,6256
112,3744
230
I alt
224
214
438
224
214
438
P-værdi:
4,70%
Der er en sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Da , forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
6
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Nu løses:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at jordens overfladetemperatur er grader hhv. ca. 168 og 274 dage efter 1. januar.
Når man har med trigonometriske funktioner og el. ligninger er det vigtigt at overveje to indstillinger i
WordMat:
1) Vinkelenhed: Radianer eller grader?
2) Trigonometriske ligninger: ’Alle løsninger’ eller ’kun en løsning’.
Da vi har med en trigonometrisk funktion at gøre, anvendes radianer.
Da vi allerede har defineret, at , anvendes indstillingen ’Alle løsninger’
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
7
Opgave 13
a)
Ligningen søges opskrevet på formen:
Hvor
er en normalvektor til planen, mens
er koordinatsættet til et punkt i planen.
En normalvektor til planen kan findes som krydsproduktet mellem to ikke-parallelle vektorer i planen. Vi
definerer to sådanne vektorer:
Vi får så:
Ligningen opskrives nu vha. normalvektoren og punktet :
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den plan, som indeholder sidefladen , kan således bestemmes ved ligningen:
b)
Vinklen mellem de to sideflader kan bestemmes som vinklen mellem en normalvektor til hver af fladerne.
En normalvektor til fladen kan aflæses direkte af ligningen for den plan , som indeholder fladen.
Den defineres nu:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
8
Planen, som indeholder fladen , benævnes nu som . Vi definerer nu den allerede udregnede
normalvektor:
Vinklen kan nu bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den stumpe vinkel bestemmes:
Vi kan nu konkludere, at den stumpe vinkel mellem sidefladerne og er .
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
9
Opgave 14
a)
WordMat er ikke så anvendelig, når det kommer til funktioner af flere variable, så her anbefales det at
anvende en stærkere software som fx TI-nSpire eller Maple.
Gradienten er defineret som:
Funktionen defineres i TI-nSpire, hvorefter gradienten bestemmes:
Punktets kendte koordinater defineres i WordMat, og gradienten i punktet bestemmes:
Gradienten er således bestemt til:
.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
10
Grafen er i punktet stejlest (positivt stejl) i gradientens retning. Gradientvektoren kan skaleres med
og
stadig have samme retning. Grafen er altså i punktet stejlest i den retning, som er givet ved vektoren
.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
11
Opgave 15
a)
En ligning for tangentplanen til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
Vi har, at:
og
.
Funktionen defineres nu i TI-nSpire, hvorefter de manglende størrelser bestemmes:
De udregnede værdier indsættes i ligningen:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
12
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
En ligning for tangentplanen til grafen for i punktet er nu fundet til:
b)
Gradienten er defineret som:
I stationære punkter vil gradienten være lig med nulvektoren. Gradientvektoren sættes lig med
nulvektoren og ligningen løses i TI-nSpire:
Nu bestemmes -koordinaten for de to punkter:
De to stationære punkter har således følgende koordinatsæt:
og
Grafen tegnes i TI-nSpire:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
13
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
14
Opgave 16
a)
Hastigheden, hvormed saltmængden ændres kan beregnes som hastigheden, hvormed der tilføres salt
minus hastigheden, hvormed der udføres salt.
Der tilføres 3 liter opløsning pr. minut med en koncentration på
:
Der udføres 3 liter opløsning pr. minut med en koncentration på
:
Da har enheden gram, er begge hastigheder angivet med enheden
. Differentialligningen kan nu
opskrives nu med underforståede enheder:
b)
Ligningen opskrives og løses i WordMat vha. betingelsen
:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen S(0)=20
Vi har nu bestemt som funktion af og kan opskrive forskriften:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
15
Opgave 17
a)
Da rutsjebanen rører jorden i punkt , gælder der at:
Da rutsjebanen er vandret i punkterne og , gælder der, at
og
.
Funktionen defineres, og vi opskriver 3 ligninger (som indeholder de 3 ubekendte og ):
Ligningssystemet løses for a,b,c vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Vi har således fundet de 3 konstanter:
,
og
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen –14. august 2013
16
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 9
a)
En eksponentiel sammenhæng kan generelt skrives som
I dette tilfælde vælges, at:
angiver den nedbøren i mm pr.år
angiver det gennemsnitlige antal udklækkede æg pr. finkepar
Vi definerer dataet:
Da der er tale om en eksponentiel model, foretages en eksponentiel regression af dataet:
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.3)(1.2.3)
Forskriften for sammenhængen er følgende:
b)
1.0029
Fordoblingskonstanten kan bestemmes som:
Det vil sige, at den årlige nedbør skal stige med 239,4 mm, før der sker en fordobling af det
gennemsnitlige antal udklækkede æg pr. finkepar.
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
Opgave 10
a)
Vi definerer de ugrupperede observationer:
Kvartilsættet bestemmes:
Middelværdien bestemmes:
07
Alle kvindernes kvartiler er mindre end de tilsvarende værdier for mændene, og det samme
altså generelt set yngre end mændene, som vinder samme kategori.
(3.1.1)(3.1.1)
Opgave 11
a)
Nulhypotese: Der er ingen sammenhæng mellem køn og interesse i produktet.
Da det skal undersøges, om der er en sammenhæng mellem 2 variable, anvendes en -test. Vi
definerer dataet:
Da , forkastes nulhypotesen på et 5% signifikansniveau.
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Vi løser:
Det vil sige, at jordens overfladetemperatur er 7,5° grader hhv. ca. 168 og 274 dage efter 1.
januar.
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.5)(5.1.5)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.2.3)(5.2.3)
(5.2.2)(5.2.2)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.2.4)(5.2.4)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.4)(5.1.4)
Opgave 13
a)
Vi definerer punkterner A, B og C:
A
B
C
Vi bestemmer en ligning for planen:
En ligningen for planen er givet ved:
b)
Plan defineres:
Vinklen bestemmes:
50
Den stumpe vinkel bestemmes:
35
Vinklen mellem sidefladerne er 136
(6.1.3)(6.1.3)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.6)(6.1.6)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.1.5)(6.1.5)
(6.1.1)(6.1.1)
Opgave 14
a)
Funktionen defineres, hvorefter gradienten bestemmes:
Punktets kendte koordinater defineres, og gradienten i punktet bestemmes:
1
Grafen er i punktet P stejlest (positivt stejl) i gradientens retning. Gradientvektoren kan
skaleres med og stadig have samme retning. Grafen er altså i punktet P stejlest i den
retning, som er givet ved vektoren .
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.8)(7.1.8)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.6)(7.1.6)
(7.1.4)(7.1.4)
(7.1.5)(7.1.5)
(7.1.9)(7.1.9)
(7.1.7)(7.1.7)
Opgave 15
a)
En ligning for tangentplanen til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
Vi har, at:
Funktionen defineres nu, hvorefter de manglende størrelser bestemmes:
1
11
(7.1.10)(7.1.10)
(7.1.11)(7.1.11)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.2.1)(7.2.1)
(7.2.3)(7.2.3)
De udregnede værdier indsættes i ligningen:
En ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet P er nu fundet til:
b)
Gradienten er defineret som:
I de stationære punkter er gradienten lig med nulvektoren. Vi løser nu:
Vi ser bort fra de komplekse løsninger.
Punkternes z-koordinater findes:
050
De stationære punkter har således koordinatsættene:
og
Grafen tegnes:
(7.1.10)(7.1.10)
Opgave 16
a)
Hastigheden, hvormed saltmængden ændres kan beregnes som hastigheden, hvormed der
tilføres salt minus hastigheden, hvormed der udføres salt.
Der tilføres 3 liter opløsning pr. minut med en koncentration på 1,1 g/L:
Der udføres 3 liter opløsning pr. minut med en koncentration på :
Da S har enheden gram, er begge hastigheder angivet med enheden .
Differentialligningen kan nu opskrives nu med underforståede enheder:
(8.2.1)(8.2.1)
(7.1.10)(7.1.10)
b)
Ligningen løses i vha. betingelsen S(0)=20:
Vi har nu bestemt som funktion af og kan opskrive forskriften:
(7.1.10)(7.1.10)
(9.1.3)(9.1.3)
(9.1.2)(9.1.2)
(9.1.1)(9.1.1)
Opgave 17
a)
Da rutsjebanen rører jorden i punkt B, gælder der at:
Da rutsjebanen er vandret i punkterne A og B, gælder der, at og
Funktionen defineres, og vi løser 3 ligninger med de 3 ubekendte a,b og c:
Vi har således fundet de 3 konstanter: