Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
1
STX Matematik A (Netadgang)
14. august 2014
Delprøven med formelsamling
stx142-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er
det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
Udtrykket reduceres:
Her anvendes tredje kvadratsætning:
Opgave 2
a)
Linjen søges opskrevet på formen
Da linjen er parallel med vektoren
, vil linjen også være parallel med den linje, som går gennem
punkterne og . Da parallelle linjer har samme hældning, kan hældningen findes vha. punkterne og :
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
2
kan nu findes ved indsættelse af koordinatsættet for i linjens ligning, som nu er givet ved :
Linjens endelige ligning kan nu opskrives:
b)
Arealet af trekanten kan udregnes som determinanten af et vektorpar, som udspænder den:
Vektorerne udregnes:
Arealet udregnes
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
3
Arealet af trekant ABC er således 16.
Opgave 3
a)
-koordinaten i toppunktet af en parabel med ligningen
kan beregnes som:
findes ved at indsætte
i parablens ligning:
Koordinatsættet til parablens toppunkt er .
b)
Tallet 8 angiver hældningen af tangenten til grafen, når . Den siger altså noget om, hvor stejl (form)
grafen er i skæringspunktet med -aksen. Samtidig ved vi så, at det ene af de to steder på grafen, hvor
tangenthældningen er lig med 8, skal findes i (beliggenhed).
Opgave 4
a)
Der er tale om en eksponentiel model af typen
Konstanten angiver værdien af til tiden . Det vil sige, at spændingsfaldet netop efter
opladningen er lig med 130 volt.
Konstanten indeholder information om funktionens vækstrate :
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
4
Det vil sige, at spændingsfaldet aftager med hvert sekund.
Opgave 5
a)
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
kan bestemmes som:
Vi har så, at
og søger nu :
Nu søges :
differentieres:
Det vil sige:
Vi får så:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet er således givet ved
: Følgende regler anvendes:
Funktion Afledt funktion
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
5
Opgave 6
a)
Funktionerne og kan omskrives:
Det ses, at funktionsværdien, når , er størst for den funktion, som har grafen .
Vi kan heraf konkludere, at er grafen for .
Da vi ved, der er tale om eksponentielle modeller, vil og kun have et skæringspunkt. Dette
skæringspunkt ligger i .
Denne viden kombineret med et blik på graferne fortæller os, at funktionsværdien, når , er
størst for den funktion, som har grafen .
Når , vil der gælde, at .
Vi kan heraf konkludere, at er grafen for , mens er grafen for .
Opgave 7
a)
I skæringspunkterne, vil der gælde, at
. Førstekoordinaterne kan således findes ved at løse:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
6
Jf. nulreglen skal mindst en af faktorerne være lig med 0, før produktet bliver 0. Første løsning er da:
Anden løsning bliver:
Førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem graferne for og er således
og
b)
Arealet af den punktmængde, der afgrænses i et interval mellem to funktioner og , hvor i
hele intervallet, kan bestemmes som:
Da afgrænses af graferne for og i intervallet , hvor i hele intervallet, kan arealet
bestemmes som:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
7
:
Bestemt integral
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Funktion Stamfunktion
Opgave 8
a)
BC kan isoleres og beregnes vha. arealformlen for en trekant:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
8
Vi kan konkludere, at siden BC har en længde på 6.
Arealet af trekant EFG kan bestemmes som:
I ensvinklede trekanter er de indbyrdes forhold mellem ensliggende sider givet ved en positiv konstant, .
Det vil sige:
Det vil sige:
Siden EG Har således længden 12.
Opgave 9
a)
Integralet kan bestemmes vha. substitution . Den indre funktion i kvadratroden benævnes
:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
9
Da fås:
Det vil sige, at integralets løsning er
: Integration ved substitution
, hvor t=g(x)
:
: Integration af en potensfunktion: