Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
1
STX Matematik A (Netadgang)
14. august 2014
Delprøven med netadgang
stx142-MATn/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 13
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 10
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression i WordMat. Data opskrives
først i en tabel:
Togrejsetid
(timer)
2
3
4
6
8
10
12
Togandel
(%)
85
59
42
22
12
8
5
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,991
Konstanterne kan nu aflæses og defineres:
Funktionen defineres:
En togrejsetid på 14 timer giver .
Ved en togrejsetid på 14 timer, vil 2,52% således vælge tog fremfor fly.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
3
Opgave 11
a)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 20° , BC = 8 , AC = 10
A = 20°
B = 25,3°
C = 135°
BC = 8
AC = 10
AB = 16,6
A = 20°
B = 155°
C = 5,31°
BC = 8
AC = 10
AB = 2,16
Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation
2. gradsligningen løses for AB
2. gradsligningen har en løsning mere:
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
A
B
C
BC
AC
AB
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
4
Da den cosinusrelation vi løste ovenfor for AB havde to løsninger og begge var positive er der altså to
mulige trekanter. Vi fortsætter nu med at beregne de resterende sider på baggrund af den anden løsning
på samme måde.
Vinkel B₂ findes vha. en cosinusrelation
Vinkel C₂ findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Den trekant, som giver det rigtige svar, er den, hvor . Det ses, at dette kun er tilfældet for løsning
2. Vi kan nu konkludere, at længden af siden AB er 2,16, og at vinkel C er
b)
Arealet af trekant ABC kan udregnes som:
I trekant kan arealet udregnes på en tilsvarende måde.
Vi har, at:
Og
Arealet findes nu ved at løse:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
5
Ligningen løses for AD vha. CAS-værktøjet WordMat.
Længden af siden AD er altså cirka 1,48.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
6
Opgave 12
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat:
Svømmetiden bestemmes i WordMat:
Det vil sige, at en 28-årig mandlig elitesvømmer på 400 meter fri har en svømmetid på 231 sekunder.
b)
Ekstremumspunktet findes ved at løse:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det ses tydeligt på grafen, at dette ekstremumspunkt er et globalt minimum.
Den alder, hvor en mandlig elitesvømmer på 400 meter fri er hurtigst, er således 22,2 år.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
7
Opgave 13
a)
En parameterfremstilling kan opskrives vha. retningsvektoren
og
stedvektoren
. Vi får nu:
Vi har således, at
b)
Arealet af en trekant kan bestemmes som:
, hvor og
er to vektorer, som udspænder
trekanten. Relevante vektorer defineres:
Forholdet mellem de to arealer kan nu bestemmes:
Forholdet mellem arealet af trekanten og arealet af skyggen er således .
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
8
Opgave 14
a)
Retningsfeltet med den partikulære løsning tegnes i GeoGebra i WordMat et faseplot af . Den
partikulære løsning går da gennem punktet
I forberedelsesmaterialet er det forklaret, hvorledes man indtegner retningsfelter mv. i forskellige
værktøjsprogrammer som GeoGebra, TI nSpire og Maple.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
9
Opgave 15
a)
f defineres:
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af de to nulpunkter:
Dette sammenfattes i en monotonilinje:
-0,414
2,41
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
f er aftagende i intervallerne og
f er voksende i intervallet
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
10
Opgave 16
a)
Nulhypotese: Andelen af stænger, der knækker, er uændret efter ændringen af produktionsændringen.
Det forventes at af det 120 stænger knækker ved en belastning på 100 kg. Det vil sige:
Det forventes at de resterende stænger i stikprøven forbliver intakte:
I udregningen af teststørrelsen anvendes den forventede værdi med decimaltal for at øge præcisionen.
b)
Da man sammenligner en stikprøve med nogle forventninger fra en model, kan der anvendes en -test i
WordMat. Resultatet se herunder:
Goodness of fit
Nul-hypotese:
Den observerede stikprøve stammer
fra den forventede fordeling
Obs.
Fordeling
Forventet
fordeling
Signifikans
niveau:
5%
Knækker
22
33,6
Knækker
ikke
98
86,4
P-værdi:
2%
Konklusion:
Nul-hypotese
forkastet
Goodness of fit bygger på χ²-fordeling
Frihedsgrader:
1
χ²-værdi:
5,562
Xmaks:
16
Da , kan vi konkludere, at nulhypotesen forkastes på et signifikansniveau.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
11
Opgave 17
a)
Differentialligningen er på formen:
Konstanterne defineres: og
Det karakteristiske polynomium er da givet ved:
Ved indsættelse af og får vi det karakteristiske polynomium til:
Diskriminanten er givet ved:
Da , vil polynomiet have to rødder og , og den fuldstændige løsning vil have formen:
Her er
og
vilkårlige konstanter.
b)
Vi er givet begyndelsesbetingelserne
og
. Differentialligningen løses nu i
WordMat:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelserne u(0)=20 og u'(0)=-2,3
Funktionen kan nu defineres:
Nedenstående ligning løses numerisk vha. WordMat:
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at der går 9,5 timer, før stofmængden i blodbanen er 10 mg.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
12
Nogle ligninger er for komplicerede til, at WordMat kan løse dem analytisk. I de tilfælde foreslår WordMat
selv en numerisk løsning.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 14. august 2014
13
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 10
a)
Vi definerer dataet:
Da der er tale om en eksponentiel model, foretages en eksponentiel regression på dataet:
(1.1.4)(1.1.4)
(1.1.5)(1.1.5)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.3)(1.1.3)
Konstanterne kan nu aflæses og defineres:
0.75292
134.17
Funktionen defineres:
En togrejsetid på 14 timer giver :
86
Ved en togrejsetid på 14 timer, vil 2,52% således vælge tog fremfor fly.
(2.2.3)(2.2.3)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 11
a)
Maple's trekantløser benyttes til at bestemme |AB| og vinkel C:
Vi ser at der er to mulige løsninger til trekanten. Den trekant, som giver det rigtige svar, er den,
hvor 90°. Det ses, at dette kun er tilfældet for løsning 2. Vi kan nu konkludere, at længden af
siden AB er 2,16, og at vinkel C er 5,31°
b)
Arealet af trekant ABC kan udregnes som:
84
I trekant ADC kan arealet udregnes på en tilsvarende måde. Vi har, at:
68
Og
10
AD findes nu ved at løse:
14
Længden af siden AD er altså cirka 1,48.
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.2)(3.1.2)
Opgave 12
a)
Funktionen defineres og tegnes:
Svømmetiden bestemmes:
Det vil sige, at en 28-årig mandlig elitesvømmer på 400 meter fri har en svømmetid på 231
sekunder.
b)
(3.2.1)(3.2.1)
Vi minimerer og bestemmer derved hvilken t-værdi, som giver den mindste svømmetid:
Den alder, hvor en mandlig elitesvømmer på 400 meter fri er hurtigst, er således 22,2 år.
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.5)(4.1.5)
(4.2.3)(4.2.3)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.6)(4.1.6)
(4.1.3)(4.1.3)
(4.2.2)(4.2.2)
Opgave 13
a)
Vi definerer punkterne B og E:
B
E
Linjen defineres ud fra punkterne og parameterfremstillingen bestemmes:
l
Warning, assume that the parameter in the parametric
equations is _t
Warning, assuming that the names of the axes are _x, _y, and
_z
form of the object line3d
equation of the line
Linjen gennem punkt E og D har parameterfremstillingen:
Vi bestemmer længden |BE|:
99
Vi har således, at |BE|=1648,3 cm
b)
De resterende punkter defineres:
A
C
(4.2.7)(4.2.7)
(4.2.5)(4.2.5)
(4.2.8)(4.2.8)
(4.2.4)(4.2.4)
(4.2.6)(4.2.6)
F
Vi definerer trekanterne:
ABC
DEF
Forholdet mellem trekanternes arealer bestemmes:
200000
330261
460
Forholdet mellem arealet af trekanten og arealet af skyggen er således 0,606.
Opgave 14
a)
Retningsfeltet med den partikulære løsning tegnes. Den partikulære løsning går da gennem
punktet (15,0):
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.3)(6.1.3)
Opgave 15
a)
defineres:
Vi undersøger nulpunkterne for
Vi kender nu et interval, hvori maksimum og minimum er placereret. For at undersøge
monotoniforholdene for foretages en funktionsanalyse:
Vi kan konkludere:
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.2.1)(7.2.1)
Opgave 16
a)
Nulhypotese: Andelen af stænger, der knækker, er uændret efter ændringen af
produktionsændringen.
Det forventes at 28% af det 120 stænger knækker ved en belastning på 100 kg. Det vil sige:
Det forventes at de resterende stænger i stikprøven forbliver intakte:
I udregningen af teststørrelsen anvendes den forventede værdi med decimaltal for at øge
præcisionen.
b)
Vi definerer de forventede og de observerede værdier:
Da man sammenligner en stikprøve med nogle forventninger fra en model, kan der anvendes en
GOF-test.
Da , kan vi konkludere, at nulhypotesen forkastes på et 5% signifikansniveau.
(8.2.2)(8.2.2)
(8.2.3)(8.2.3)
(8.1.1)(8.1.1)
(8.1.4)(8.1.4)
(8.2.1)(8.2.1)
(8.2.4)(8.2.4)
(8.1.5)(8.1.5)
(8.1.3)(8.1.3)
(8.1.6)(8.1.6)
(8.1.2)(8.1.2)
Opgave 17
a)
Differentialligningen er på formen:
Konstanterne defineres:
0.21
0.0014
Det karakteristiske polynomium er da givet ved:
Diskriminanten er givet ved:
Da
Her er og vilkårlige konstanter.
b)
Vi er givet begyndelsesbetingelserne og . Differentialligningen løses:
Funktionen kan nu defineres:
Vi løser nedenstående ligning numerisk:
27
Det vil sige, at der går 9,5 timer, før stofmængden i blodbanen er 10 mg.