Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
1
STX Matematik A (Netadgang) 22. maj 2014
Delprøven med formelsamling
1stx141-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er
det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
Den generelle løsning for en andengradsligning af typen:
er givet ved:
Dvs.
Ligningen har således to løsninger:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
2
Opgave 2
a)
Koordinatsættet bestemmes vha. projektionsformlen:
Koordinatsættet til projektionen af på
er således givet ved
Opgave 3
a)
isoleres:
Det vil sige, at .
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
3
Opgave 4
a)
Der er tale om en eksponentiel model,
.
Konstanten angiver værdien af , til tidspunktet . Den fortæller os således, at der var
stof, til tidspunktet .
Konstanten er fremskrivningsfaktoren og indeholder information om funktionens vækstrate.
Denne er givet ved sammenhængen:
Konstanten fortæller os altså, at massen aftager med pr. sekund.
Opgave 5
a)
Parameterfremstillingen for en linje i planen, som går gennem punktet
og har retningsvektor
er givet ved:
En retningsvektor for linjen kan findes som:
Nu vælges punktet , og den endelige parameterfremstilling bliver da:
b)
Når står vinkelret på , må der gælde, at en alle normalvektorer til vil være retningsvektorer for .
Ligningen kan opskrives på følgende form, hvor
angiver et punkt på linjen og
er en
normalvektor til linjen.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
4
Vi vælger punktet og normalvektoren
til at opskrive ligningen:
(Der divideres med 6 på begge sider af lighedstegnet)
Vi kan konkludere, at har ligningen
Opgave 6
a)
Kvartilsættet aflæses ved at finde de værdier på -aksen, der hører til -værdierne 25%, 50% og 75%:
Den andel af elever på skolen, der er lavere end bestemmes ved at aflæse den -værdi, der hører
til -værdien . Det ses, at 20% af eleverne er lavere end . Da der i alt er elever med i
målingerne, skal det antal elever, som er lavere end , findes som:
Der er altså elever, som er lavere end .
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
5
Opgave 7
a)
En ligningen for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
beregnes:
beregnes:
Tangentens ligning opskrives:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet er således givet ved:
: Her anvendes blandt andet:
Funktion Afledt funktion
b)
Arealet af den punktmængde , som afgrænses mellem førsteaksen og en funktion i et interval
kan bestemmes som:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
6
Arealet af er altså:
I denne opgave anvendes blandt andet:
Bestemt integral
Sum/differens kan splittes i to integraler
Sætte konstant udenfor
Funktion Stamfunktion
Opgave 8
a)
Højden trukket fra i trekant ABC er lig med halvdelen af rektanglets længde:
Den tilhørende grundlinje er da .
Arealet er givet ved:
Arealet af trekant ABC er
.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
7
b)
Da trekanten er ligebenet, og benlængden er lig med halvdelen af diagonalens længde kan vi nu skrive:
Jf. Pythagoras kan vi nu se, at:
Vi får så:
Omkredsen af trekant ABC er .
Opgave 9
a)
Vi ved, at hældningen for tangenten til en graf i et punkt
svarer til
. Vi kan således aflæse
tangentens hældning og konstatere, at:
differentieres:
Nu kan bestemmes ved at indsætte
:
Vi har nu, at:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
8
Vi ved også, at ligningen for tangenten til grafen for i et punkt
er givet ved:
Vi indsætter
og
:
Hvis vi sammenholder denne ligning med den angivne tangentligning, kan vi se, at:
Det vil sige:
Konstanterne er således bestemt til: og
: Her anvendes blandt andet:
Funktion Afledt funktion
k 0