Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
1
STX Matematik A (Netadgang)
22. maj 2014
Delprøven med netadgang
1stx141-MATn/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 15
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 10
a)
Der er tale om en potensmodel. For at bestemme a og b udføres derfor en potensregression på
observationerne.
Faldhøjde (cm)
20
30
50
83
100
Kraterdiameter (cm)
5,0
5,6
6,5
7,4
7,8
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9994985
Ud fra ovenstående kan vi aflæse og begge afrundet til fire decimaler.
b)
Modellen defineres:
Kraterdiameteren for et fald med en faldhøjde på 90 cm kan bestemmes som
Når kuglen falder fra 90 cm højde giver det altså ifølge modellen en kraterdiameter på 7,6 cm afrundet til
en decimal.
Faldhøjden når kraterdiameteren er 8,5 cm, kan bestemmes ved at løse følgende ligning for x:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
3
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Når kraterdiameteren er 8,5 giver det altså ifølge modellen en faldhøjde på 135,8 cm afrundet til en
decimal.
c)
Når faldhøjden øges med
øges kraterdiameteren med
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Kraterdiameteren øges altså med 11,8 % afrundet til en decimal.
: Der gælder for potensfunktioner, at:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
4
Opgave 11
a)
Nedenfor ses en skitse af situationen
Til eksamen kan du vedlægge håndtegnede skitser som bilag.
Da vi kender sidelængder til de to sider, der støder op mod vinkel B og trekantens areal kan vi beregne
vinkel B vha.:
Dvs.:
Ligningen løses for B vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da vi ved at vinkel B er spids, får vi altså at afrundet til en decimal.
For at beregne omkredsen af trekant ABC, kan vi summere sidelængderne. Vi beregner den sidste
sidelængde:
WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 28,43689°, BC = 7, AB = 6
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
5
A = 92,66911°
B = 28,43689°
C = 58,894°
BC = 7
AC = 3,336953
AB = 6
Vi finder altså at længden af siden AC er 3,34 afrundet til to decimaler og trekantens omkreds kan nu
beregnes:
Trekantens omkreds er dermed 16,3 afrundet til en decimal.
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
6
Opgave 12
a)
En ligning for planen kan bestemmes hvis vi kender en normalvektor for planen samt et punkt i planen En
normalvektor for planen kan bestemmes som krydsproduktet mellem to vektorer i planen.
Da punkterne A, C og D ligger i planen ligger vektorerne AC og AD også i planen. Vi beregner disse vektorer
og udregner derefter krydsproduktet.
En ligning for planen kan nu bestemmes:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,
En ligning for den plan , som indeholder tagfladen ABCD er dermed
b)
Vinklen mellem planerne og kan bestemmes som vinklen mellem en normalvektor for hvert plan. Fra
opgave a) kender vi en normalvektor for planen og ud fra ligningen for kan vi aflæse en normalvektor:
Vi kan nu bestemme vinklen mellem disse to vektorer vha. formlen:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
7
Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dermed er den stumpe vinkel mellem planerne afrundet til en decimal.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
8
Opgave 13
a)
Væksthastighederne i punktet
findes ved direkte indsættelse
I punktet
er væksthastighederne altså
og
.
b)
Et faseplot med den partikulære løsning indtegnes vha. GeoGebra, som er integreret i WordMat :
I forberedelsesmaterialet er der guides til indtegning af faseplot med flere forskellige værktøjer.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
9
Opgave 14
a)
Funktionerne defineres:
Punktmængden afgrænses af grafen for , førsteaksen samt linjerne og .
Den volumen, skålen kan rumme (fx af en væske, som ikke må løbe over kanten), er givet ved volumen af
det omdrejningslegeme, der fremkommer ved at rotere punktmængden omkring -aksen.
Det vil sige:
Skålen kan altså ca. rumme en volumen på
.
Den volumen af ler, som skålen er lavet af, kan findes som det omdrejningslegeme, der fremkommer, ved
at rotere om -aksen. Omdrejningslegemet kan opdeles i to mindre omdrejningslegemer:
fremkommer ved en 360 graders rotation om -aksen af den punktmængde, som afgrænses i første
kvadrant af grafen for og af linjen med ligningen . Volumen af dette legeme er givet ved:
Ligningen løses numerisk for O_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.
fremkommer ved en 360 graders rotation om -aksen af den punktmængde, som afgrænses af graferne
for og samt linjerne og . Vi kan se, at i hele intervallet. Volumen af dette legeme
er således givet ved:
Ligningen løses numerisk for O_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
10
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Skålen er således lavet af ca.
ler.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
11
Opgave 15
a)
Ligningen er på formen:
Vi aflæser, at og
Det karakteristiske polynomium skrives som:
I vores konkrete tilfælde får vi altså:
Diskriminanten beregnes og defineres:
Da er den fuldstændige løsning givet ved mængden af funktioner på formen:
b)
Ved udspringet er , så
.
Da punktets hastighed er , ved vi, at
Vinkelenheden indstilles til radianer, og ligningen løses i WordMat:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelserne y(0)=-15 og y'(0)=0
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
12
Grafen tegnes i WordMat i intervallet :
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
13
Opgave 16
a)
Arealet af trekant OPQ kan findes som:
Det ses på skitsen, at
Dvs.
Og
Da får vi:
Vi kan altså konkludere, at:
Omkredsen er givet ved summen af trekantens sider (hypotenusen findes vha. pythagoras):
Dette udtryk kan manuelt omskrives til det samme, som er angivet i opgaven. Vi kan altså konkludere, at:
b)
Da og angiver sidelængder i en trekant, skal begge være strengt positive. Vi skal således kun
analysere arealfunktionen i intervallet (aflæst af skitsen):
Ekstremumspunkter søges ved at løse:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
14
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Nu undersøges fortegnet for
på begge sider af
Funktionen går således fra at være voksende til at være aftagende i
. Der er tale om et lokalt
maksimum. går mod 0 når nærmer sig begge intervalendepunkter:
Der er altså tale om et globalt maksimum. Den værdi af , som giver den største værdi af arealet af trekant
OPQ er således
.
Nu løses:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da hverken har lokale ekstrema eller intervalendepunkter (den er defineret i samme interval som for
definitionsmængden i
, giver denne værdi ikke den maksimale værdi af omkredsen af trekant OPQ.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 22. maj 2014
15
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 10
a)
Vi definerer dataet:
Der er tale om en potensmodel. For at bestemme a og b udføres derfor en potensregression på
observationerne.
Ud fra ovenstående kan vi aflæse:
0.27585
(1.1.3)(1.1.3)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.3.2)(1.3.2)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.2.3)(1.2.3)
2.1932
b)
Modellen defineres:
Kraterdiameteren for et fald med en faldhøjde på 90 cm kan bestemmes som:
59
Når kuglen falder fra 90 cm højde giver det altså ifølge modellen en kraterdiameter på 7,6 cm.
Faldhøjden når kraterdiameteren er 8,5 cm, kan bestemmes ved at løse følgende ligning for x:
60
Når kraterdiameteren er 8,5 giver det altså ifølge modellen en faldhøjde på 135,8 cm.
c)
Når faldhøjden øges med øges kraterdiameteren med
560
60
Kraterdiameteren øges altså med 11,8 %
(1.1.3)(1.1.3)
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.4)(2.1.4)
Opgave 11
a)
Da vi kender sidelængder til de to sider, der støder op mod vinkel B og trekantens areal kan vi
beregne vinkel B vha.:
Vi indsætter størrelserne:
15
Da vi ved at vinkel B er spids, får vi altså at :B=28,4° . For at beregne omkredsen af trekant
ABC, kan vi summere sidelængderne. Vi beregner den sidste sidelængde:
Vi finder altså at længden af siden AC er 3,34 afrundet til to decimaler og trekantens omkreds
kan nu beregnes:
51
Trekantens omkreds er dermed 16,3 afrundet til en decimal.
(1.1.3)(1.1.3)
(3.2.2)(3.2.2)
(3.1.4)(3.1.4)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.1.5)(3.1.5)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.2.4)(3.2.4)
(3.1.3)(3.1.3)
(3.1.1)(3.1.1)
Opgave 12
a)
Vi definerer punkterne A, B og C:
A
B
C
Vi bestemmer en ligning for planen:
En ligning for planen er givet ved:
b)
Planen defineres:
Vinklen bestemmes:
28
Den stumpe vinkel beregnes således:
Dermed er den stumpe vinkel mellem planerne 95,1° .
(1.1.3)(1.1.3)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 13
a)
Væksthastighederne i punktet =(3,4) findes ved direkte indsættelse
I punktet =(3,4) er væksthastighederne altså =4 og =6.
b)
Et faseplot med den partikulære løsning tegnes:
(1.1.3)(1.1.3)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.4)(5.1.4)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.6)(5.1.6)
(5.1.5)(5.1.5)
Opgave 14
a)
Funktionerne defineres:
Punktmængden N afgrænses af grafen for g, førsteaksen samt linjerne x=0,5 og x=6,5.
Den volumen, skålen kan rumme (fx af en væske, som ikke må løbe over kanten), er givet ved
volumen af det omdrejningslegeme, der fremkommer ved at rotere punktmængden N 360°
omkring x-aksen.
Det vil sige:
Skålen kan altså ca. rumme en volumen på 509
Den volumen af ler, som skålen er lavet af, kan findes som det omdrejningslegeme, der
fremkommer, ved at rotere M 360° om x-aksen. Omdrejningslegemet kan opdeles i to mindre
omdrejningslegemer:
fremkommer ved en 360 graders rotation om x-aksen af den punktmængde, som afgrænses
i første kvadrant af grafen for og af linjen med ligningen x=0,5. Volumen af dette legeme er
givet ved:
74
fremkommer ved en 360 graders rotation om x-aksen af den punktmængde, som afgrænses
af graferne for og samt linjerne x=0,5 og x=6,5. Vi kan se, at i hele intervallet.
Volumen af dette legeme er således givet ved:
76
Skålen er således lavet af ca. 37,1 ler.
(1.1.3)(1.1.3)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.5)(6.1.5)
(6.1.6)(6.1.6)
(6.2.2)(6.2.2)
(6.1.3)(6.1.3)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.2.1)(6.2.1)
Opgave 15
a)
Ligningen er på formen:
Vi aflæser, at
0.38
0.55
Det karakteristiske polynomium skrives som:
Diskriminanten beregnes og defineres:
Da er den fuldstændige løsning givet ved mængden af funktioner på formen:
b)
Ved udspringet er , så .
Da punktets hastighed er 0, ved vi, at
Ligningen løses:
Grafen tegnes i intervallet [0,10]:
(1.1.3)(1.1.3)
(7.1.5)(7.1.5)
(1.1.3)(1.1.3)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.4)(7.1.4)
(7.1.7)(7.1.7)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.6)(7.1.6)
(7.2.1)(7.2.1)
Opgave 16
a)
Arealet af trekant OPQ kan findes som:
Det ses på skitsen, at
dvs.:
og:
x
Da får vi:
Vi kan altså konkludere, at:
Omkredsen er givet ved summen af trekantens sider (hypotenusen findes vha. pythagoras):
Dette udtryk kan manuelt omskrives til det samme, som er angivet i opgaven. Vi kan altså
konkludere, at:
b)
Vi definerer
Vi maksimerer i intervallet [0,1] og bestemmer således for hvilken x-værdi,
funktionsværdien når sit maksimum:
(1.1.3)(1.1.3)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.2.2)(7.2.2)
har maksimum for . Vi undersøger maksimum:
har ikke maksimum ved samme x-værdi. Det er derfor ikke samme værdi af x, som giver
den maksimale værdi af arealet og maksimale værdi af omkredsen for trekant OPQ.