Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
1
STX Matematik A (Netadgang)
13. august 2015
Delprøven med formelsamling
stx152-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i
en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne
delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
Udtrykket reduceres:
Her anvendes anden kvadratsætning:
Her anvendes en potensregneregel:
Opgave 2
a)
Da prisen stiger med et fast beløb for hver ekstra deltager, vil en lineær model være passende:
Hvor:
angiver den samlede pris for konferencen i tusinde kroner
angiver antallet af deltagere
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
2
angiver hældningskoefficienten og dermed også hvor meget prisen stiger (-tilvækst) for hver ekstra
deltager (når vokser med 1). Derfor er
angiver prisen for konferencen hvis antallet af deltagere er 0 (dvs. -værdien i ). Derfor er
Den endelige model bliver:
Man kunne også have valgt at angive prisen i kroner. Så ville modellen have set således ud:
Opgave 3
a)
I skæringspunktet vil linjernes - og -værdier være de samme. Vi kan derfor substituere
koordinatfunktionerne fra parameterfremstillingen for ind i ligningen for :
Koordinatfunktionerne aflæses af parameterfremstillingen:
Disse substitueres nu ind i ligningen for :
Parameteren sættes nu ind i parameterfremstillingen for , hvorved vi får stedvektoren til
skæringspunktet:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
3
Koordinatsættet til skæringspunktet mellem og er således:
b)
En enkelt ligning findes ved at eliminere fra koordinatfunktionerne på følgende måde:
sættes lig med hinanden:
Ligningen for er således:
Opgaven kunne også være løst på følgende måde:
Vi søger at opskrive en ligning på følgende form:
Hvor
er et punkt på linjen, og
er en normalvektor til linjen.
Parameterfremstillingen for indeholder en retningsvektor for og et punkt, som ligger på grafen for
. Koordinatsættene for disse aflæses nu:
og
En normalvektor til kan findes som tværvektoren til :
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
4
Ligningen kan nu opskrives:
Ligningen for er således:
Opgave 4
a)
For ensvinklede trekanter gælder, at det indbyrdes forhold er det samme mellem alle ensliggende sider:
Det vil sige, at længden af siden BC er 6.
Længden af siden DE findes vha. et lignende ræsonnement:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
5
Længden af siden DE er altså
Opgave 5
a)
Først undersøges
:
Vi ved om andengradspolynomier, at angiver -værdien i skæringspunktet med -aksen, og
skæringspunktet mellem -aksen og er således parallelforskudt nedad. Derudover er det grafiske forløb
for de to parabler helt ens. Afstanden fra til er
. Det aflæses at
, hvorfor
svarer
til parallelforskudt
nedad.
tegnes nu ved at parallelforskyde 3 nedad.
Nu undersøges
:
Vi ved også, at angiver hældningen af tangenten til grafen i . Hældningen her er den samme blot
med omvendt fortegn. Da en parabel er symmetrisk omkring den lodrette linje, som går gennem
toppunktet, kan hældningen findes ud for samme -værdi.
Ændringen af til i forskriften svarer til, at det punkt på parablen, hvor tangenthældningen er ,
parallelforskydes over i det punkt på parablen, hvor tangenthældningen er . Der er således tale om en
vandret parallelforskydning mod venstre af længden
.
tegnes nu ved at parallelforskyde 2 mod venstre.
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
6
Opgave 6
a)
I skæringspunkterne vil funktionernes
. Ligningen opskrives og løses nu:
Nulreglen giver os nu to løsningsmuligheder:
Og
Da -koordinaterne i skæringspunkterne er ens, kan vi nøjes med at finde dem for
Skæringspunkternes koordinatsæt bliver så:
b)
Arealet af den punktmængde, der afgrænses af to funktioner i et interval er givet ved:
Hvis i det åbne interval
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
7
Da punktmængden kun afgrænses af de to funktioner, må den være afgrænset af funktionernes
skæringspunkter og altså ligge i intervallet .
Da er et andengradspolynomium med , er grafen en parabel med benene opad. Grafen for er
en ret linje. I det åbne intervallet mellem skæringspunkterne, , gælder derfor, at .
Arealet af kan nu beregnes som:
Arealet af punktmængden er således
Her anvendes definition af bestemt integral, ledvis integration og integration af potensfunktion:
Funktion:
Stamfunktion:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
8
Opgave 7
a)
Alle tilgængelige oplysninger om opskrives:
er defineret i intervallet
er voksende i intervallet
er aftagende i intervallet
har et saddelpunkt i
har et lokalt maksimum i
En mulig graf tegnes:
Når
, betyder det, at funktionen er voksende. Når
, betyder det, at funktionen er
aftagende.
Når
, betyder det, at der er en vandret tangent.
En vandret tangent kan enten skyldes et saddelpunkt (her vil fortegnet af
være uændret efter
saddelpunktet), et lokalt minimum (her vil funktionen skifte fra at være aftagende til at være
voksende) eller et lokalt maksimum (her vil funktionen skifte fra at være voksende til at være
aftagende).
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
9
Opgave 8
a)
Ligningen for tangenten til grafen for en funktion i et punkt
er givet ved:
Da
får vi:
Nu kan tangentens ligning opskrives:
Ligningen for tangenten til grafen for i er således:
Opgave 9
a)
Arealet af trekanten kan beregnes som:
Hvor er grundlinjen, mens er højden.
Vi kan se på grafen, at og
Arealet bliver da:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
10
b)
differentieres:
Vi har således, at
For at finde eventuelle ekstremumspunkter for løses nu
:
Venstresiden af lighedstegnet kan opdeles i 3 faktorer, , og
og
Jf. nulreglen skal mindst én af de tre faktorer være lig med nul før deres produkt kan være lig med 0.
og er altid strengt positive og dermed forskellige fra 0. Vi ved således, at :
Fortegnet for undersøges på hver side af , ved at undersøge fortegnet for ( og er jo altid
strengt positive så fortegnet for er altid det samme som fortegnet for ) på hver side af .
Fortegnet undersøges for og
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
11
Dvs.
for
Dvs.
for
Da i punktet skifter fra at være voksende
) til at være aftagende (
, er der tale
om et lokalt maksimum. Da der kun var én løsning til
er punktet det eneste ekstremum, så punktet
er ydermere et globalt maksimum.
Den værdi af , der gør arealet af trekant størst mulig er således .
Funktion:
Differentialkvotient:
Funktion:
Differentialkvotient: