Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
1
STX Matematik A Netadgang
13. august 2015
Delprøven med hjælpemidler
stx152-matn/A-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 17
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 10
a)
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression i WordMat. Data opskrives
først i en tabel:
Antal år efter 1900
0
20
40
60
80
100
BNP pr. indbygger (USD)
5
6
8
12
18
26
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9855499
Konstanterne aflæses og defineres nu (afrundet til 4 decimaler):
Fordoblingskonstanten kan beregnes som:
Fordoblingstiden er således givet ved cirka 41 år.
b)
Funktionerne defineres:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
3
Da er størst for , er
. Fremskrivningsfaktoren for er dog større end for , hvorfor der
for alle værdier af , som er større end
, vil gælde, at
. Skæringspunktet findes nu ved
at løse nedenstående ligning:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
BNP pr. indbygger i Sydkorea overstiger således BNP pr. indbygger på et tidspunkt i år 2021 ifølge
modellen.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
4
Opgave 11
a)
Taylorpolynomiet af k’te grad med udviklingspunkt i
kan skrives på generel formel som:
Funktionen defineres:
Taylorpolynomiet af grad 2 med udviklingspunkt i
kan nu bestemmes som:
Summen opskrives med alle led, hvorefter polynomiets forskrift udregnes vha. WordMat:
Vi har således, at
Graferne for og
tegnes vha. WordMat:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
5
Det ses på grafen, at
er en fin approksimation til i et lille interval omkring udviklingspunktet
. Hvis approksimationen skulle have været bedre, burde man have valgt et Taylorpolynomium af
større grad.
OBS: Kommentarerne i denne boks er ikke nødvendige for en fyldestgørende besvarelse.
For at illustrere den sidste pointe tegnes funktionen nu sammen med Taylorpolynomiet af 5. grad:
Dvs.
Graferne tegnes herunder:
Jo højere grad af Taylorpolynomium man tager, desto bedre vil approksimationen være. Dog selvfølgelig
kun indenfor Taylorrækkens konvergensradius.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
6
Opgave 12
a)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 34° , a = 5 , b = 8, og de resterende sider og vinkler
beregnes.
A = 36°
B = 110°
C = 34°
a = 5
b = 8
c = 4,76
Længden af siden c (AB) findes vha. en cosinusrelation
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Arealet kan bestemmes vha. en vinkel og to hosliggende sider:
Længden af siden er således 4,76 og arealet er trekanten ABC er ca. 11,18.
A
B
C
a
b
c
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
7
b)
Om trekant ABH ved vi, at siden AB og vinklen A går igen. Der er desuden tale om en retvinklet trekant jf.
definitionen på en højde.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 36° , C = 90° , AB = 4,76, resterende sider og vinkler
beregnes (unødvendige resultater slettes):
A = 36°
H = 90°
BH = 2,8
AH = 3,85
AB = 4,76
Længden af siden BH findes vha. sinus
Længden af siden AH findes vha. cosinus
Vi kan nu konkludere, at længden af siden BH er ca. 2,8, mens længden af siden AH er ca. 3,85.
A
B
H
BH
AH
AB
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
8
Opgave 13
a)
Den generelle ligning for en kugle med centrum i
og radius er givet ved:
Informationerne om kuglen indsættes i ligningen, som derefter udvides vha. WordMat, :
Det vil sige (leddenes rækkefølge ordnes):
Det ses nu tydeligt, at denne ligning for er identisk med den i opgaven angivne. Da vi udledte ligningen
vha. informationer om centrum og radius, må disse informationer altså være gyldige.
b)
Hvis planen er tangentplan til kuglen , vil afstanden fra kuglens centrum til planen være lig med 13
(radius af kuglen).
Det undersøges nu, om dette udsagn er sandt.
Koordinaterne for centrum defineres nu:
Planens ligning omskrives, så den er på formen :
Koefficienterne fra planens ligning defineres nu:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
9
Nu kan afstanden beregnes i WordMat vha. nedenstående formel:
Da afstanden er lig med radius, er planen en tangentplan til kuglen.
Af den grund vil normalvektoren til planen være retningsvektor for den linje som går gennem både
centrum og røringspunkt. Røringspunktet kan således findes som skæringspunktet mellem planen og den
linje , som går gennem centrum, og hvis retningsvektor er normalvektor til planen .
Normalvektoren til (og dermed retningsvektor for aflæses direkte af planens ligning:
Parameterfremstillingen for den linje, som går gennem punktet
og har retningsvektor
er givet ved:
Parameterfremstillingen for linjen kan nu opskrives vha.
og centrum for kuglen:
Skæringspunktet mellem og findes nu ved at substituere koordinatfunktionerne fra
parameterfremstillingen for ind i ligningen for og løse ligningen mht. :
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Parameteren indsættes nu i parameterfremstillingen for , hvorefter stedvektoren til
røringspunktet beregnes:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
10
Koordinatsættet til røringspunktet mellem og er således givet ved:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
11
Opgave 14
a)
Kolonnetotalerne opskrives blot som antallet af hhv. kvinder og mænd. Rækketotalerne findes som den
procentdel, som er hhv. for eller imod ganget med den samlede stikprøvestørrelse.
Kvinder
Mænd
Rækketotal
Imod euroen
650
For euroen
350
Kolonnetotal
509
491
1000
Der er 1 frihedsgrad, da man allerede med værdien i 1 felt kan udregne værdierne i resten af felterne i
krydstabellen.
b)
Resten af tabellen udfyldes
Observerede værdier:
Kvinder
Mænd
Rækketotal
Imod euroen
x
650-x
650
For euroen
509-x
350-(509-x)
350
Kolonnetotal
509
491
1000
Den forventede tabel udregnes ved at gange frekvensen af ”for” eller ”imod” med det samlede antal mænd
eller kvinder:
Kvinder
Mænd
Rækketotal
Imod euroen
650
For euroen
350
Kolonnetotal
509
491
1000
Kvinder
Mænd
Rækketotal
Imod euroen
330,9
319,2
650
For euroen
178,2
171,9
350
Kolonnetotal
509
491
1000
Man kan selvfølgelig ikke forvente observationer med kommatal, men det er med til at øge præcisionen,
når vi tager dem med alligevel.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
12
Den samlede teststørrelse kan beregnes som:
Vores observationer og forventede værdier defineres:
Nu kan
opskrives som den beskrevne sum:
Teststørrelsen som funktion af defineres nu:
For at bestemme de værdier af x, som giver en teststørrelse på over 3,84 (så nulhypotesen forkastes),
undersøges først funktionens monotoniforhold. Da der er tale om et andengradspolynomium med ,
vil grafen være en parabel med benene opad.
Nu findes de værdier af , som giver en teststørrelse på 3,84:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da benene peger opad, vil der gælde, at
i intervallet
i intervallerne og
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
13
Da procentdelen af kvinder, som er imod euroen, er større end den tilsvarende procentdel af mænd, må
følgende ulighed gælde:
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ud af de to intervaller, hvor , skal således findes i det sidste interval. Da skal være et helt tal
(helt antal kvinder), ved vi nu følgende:
Den mindste værdi af , så analyseinstituttet kan konkludere, at nulhypotesen kan forkastes, er .
Det kan være en god idé at tjekke, om totalværdierne stadig er gyldige (med undtagelse af små fejl
pga. afrunding), når man har udregnet de forventede værdier, så man sikrer sig, at man ikke har lavet fejl.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
14
Opgave 15
a)
Funktionen døbes og differentialligningen løses i WordMat med begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen f(0)=98
Forskriften for grydens temperatur som funktion af tiden er således:
b)
Funktionen defineres:
Nu findes og defineres de tidspunkter
og
, hvor temperaturen er hhv. og :
Ligningen løses for t_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen løses for t_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Afkølingstiden kan nu findes som:
Grydens temperatur er altså ca. 58 minutter om at falde fra til .
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
15
Opgave 16
a)
Startvægten er givet i opgaven, så
indskrives direkte i et Excelark. De efterfølgende værdier af
beregnes vha. den rekursive formel, som er givet i opgaven
n
p
0
10
1
10,95
2
11,
3
13,
4
14,
5
15,
6
17,
Data fra tabellen anvendes nu til at lave et punktplot i Excel.
b)
Den diskrete, logistiske udvikling har den generelle form:
Og der gælder, at:
aflæses nu direkte af den givne model:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
p
n
Punktplot
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
16
er således 200 tons.
Antallet af uger og formlen for
i tabellen ’trækkes’ nu ned til 100 uger. Herunder ses et relevant udsnit
af den nye tabel:
n
p
38
137,13
39
141,4407
40
145,582
41
149,5431
42
153,3159
43
156,8946
Her ses det, at populationens samlede vægt overstiger 150 tons i uge 42.
Herunder ses, hvordan formlen er skrevet ind i excel. I excel kan man nøjes med at skrive den
rekursive formel i feltet B3 og trække den ned over felterne under.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 13. august 2015
17
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.3)(1.1.3)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 10
a)
Vi definerer dataet:
Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression:
Konstanterne aflæses og defineres:
1.0172
4.4779
Fordoblingskonstanten kan beregnes som:
(1.1.5)(1.1.5)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.1)(1.2.1)
Fordoblingstiden er således givet ved cirka 41 år.
b)
Funktionerne defineres:
Da er størst for , er . Fremskrivningsfaktoren for er dog større end for ,
hvorfor der for alle værdier af , som er større end , vil gælde, at .
Skæringspunktet findes nu ved at løse nedenstående ligning:
88
BNP pr. indbygger i Sydkorea overstiger således BNP pr. indbygger på et tidspunkt i år 2021
ifølge modellen.
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.5)(2.1.5)
(2.1.2)(2.1.2)
(2.1.4)(2.1.4)
(2.1.6)(2.1.6)
Opgave 11
a)
kan skrives på generel formel
som:
Funktionen defineres:
Taylorpolynomiet af grad 2 med udviklingspunkt i kan nu bestemmes som:
=
simplify
Vi har således, at
Graferne for og tegnes:
Det ses på grafen, at er en fin approksimation til i et lille interval omkring
udviklingspunktet . Hvis approksimationen skulle have været bedre, burde man have
valgt et Taylorpolynomium af større grad.
(3.1.3)(3.1.3)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 12
a)
Vi benytter Maples trekantløser til at bestemme længden af AB:
Vi har:
Arealet kan bestemmes vha. en vinkel og to hosliggende sider:
5
8
34
Længden af siden AB er således 4,76 og arealet er trekanten ABC er ca. 11,18
b)
Om trekant ABH ved vi, at siden AB og vinklen A går igen. Der er desuden tale om en
retvinklet trekant jf. definitionen på en højde.
Vi benytter Maples trekantløser til at bestemme længden af BH og AB:
Vi kan nu konkludere, at længden af siden BH er ca. 2,8, mens længden af siden AH er ca. 3,
85
(4.2.5)(4.2.5)
(4.2.1)(4.2.1)
(4.2.3)(4.2.3)
(4.2.4)(4.2.4)
(4.2.2)(4.2.2)
(4.2.6)(4.2.6)
Opgave 13
a)
Den generelle ligning for en kugle med centrum i og radius er givet ved:
manipulate equation
Informationerne om kuglen indsættes i ligningen, som derefter simplificeres:
simplify symbolic
Leddene ordnes:
Det ses nu tydeligt, at denne ligning for K er identisk med den i opgaven angivne. Da vi
udledte ligningen vha. informationer om centrum og radius, må disse informationer altså være
gyldige.
b)
Hvis planen er tangentplan til kuglen , vil afstanden fra kuglens centrum til planen være lig
med 13 (radius af kuglen).
Vi definerer centrums koordinater og planen:
C
Vi bestemmer afstanden:
13
Da afstanden er lig med radius, er planen en tangentplan til kuglen.
Vi definerer linjen , som går gennem kuglens centrum og røringspunktet, linjens
parameterfremstilling. Parameterfremstillingen opstilles ud fra centrums koordinater og linjens
retningsvektor, som er lig planen 's normalvektor:
l
Vi bestemmer koordinaterne til røringspunktet ved at beregne koordinaterne til
skæringspunktet mellem linjen og planen :
i
Koordinatsættet til røringspunktet mellem og er således givet ved: (4,0,1)
(5.2.5)(5.2.5)
Opgave 14
a)
Kolonnetotalerne opskrives blot som antallet af hhv. kvinder og mænd. Rækketotalerne findes
som den procentdel, som er hhv. for eller imod ganget med den samlede stikprøvestørrelse.
Kvinder
Mænd
Rækketotal
Imod euroen
650
For euroen
350
Kolonnetotal
509
491
1000
Der er 1 frihedsgrad, da man allerede med værdien i 1 felt kan udregne værdierne i resten af
felterne i krydstabellen.
b)
Resten af tabellen udfyldes
Observerede værdier:
Kvinder
Mænd
Rækketotal
Imod euroen
650
For euroen
350
Kolonnetotal
509
491
1000
antal mænd eller kvinder:
Kvinder
Mænd
Rækketotal
Imod euroen
330.85 (5.2.1)
319.15 (5.2.2)
650
For euroen
178.15 (5.2.3)
171.85 (5.2.4)
350
Kolonnetotal
509
491
1000
Man kan selvfølgelig ikke forvente observationer med kommatal, men det er med til at øge
præcisionen, når vi tager dem med alligevel. Den samlede teststørrelse kan beregnes som:
Vores observationer og forventede værdier defineres:
(5.2.9)(5.2.9)
(5.2.12)(5.2.12)
(5.2.11)(5.2.11)
(5.2.6)(5.2.6)
(5.2.7)(5.2.7)
(5.2.8)(5.2.8)
(5.2.10)(5.2.10)
x
330.9
319.2
178.2
171.9
Nu kan opskrives som den beskrevne sum:
Teststørrelsen som funktion af defineres nu:
For at bestemme de værdier af x, som giver en teststørrelse på over 3,84 (så nulhypotesen
forkastes), undersøges først funktionens monotoniforhold. Da der er tale om et
andengradspolynomium med , vil grafen være en parabel med benene opad.
Nu findes de værdier af , som giver en teststørrelse på 3,84:
Da benene peger opad, vil der gælde, at:
Da procentdelen af kvinder, som er imod euroen, er større end den tilsvarende procentdel af
mænd, må følgende ulighed gælde:
solve for x
Ud af de to intervaller, hvor , skal således findes i det sidste interval. Da skal
være et helt tal (helt antal kvinder), ved vi nu følgende: Den mindste værdi af , så
analyseinstituttet kan konkludere, at nulhypotesen kan forkastes, er =346.
(6.2.3)(6.2.3)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.5)(6.2.5)
(6.2.4)(6.2.4)
(6.2.6)(6.2.6)
(6.2.7)(6.2.7)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.2.2)(6.2.2)
Opgave 15
a)
Funktionen døbes og differentialligningen løses med begyndelsesbetingelsen y(0)=98
Forskriften for grydens temperatur som funktion af tiden er således:
b)
Nu findes og defineres de tidspunkter og , hvor temperaturen er hhv. 60 og 20 :
15
assign to a name
69
assign to a name
Afkølingstiden kan nu findes som:
Grydens temperatur er altså ca. 58 minutter om at falde fra 60 til 20 :
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.8)(7.1.8)
Opgave 16
a)
Startvægten er givet i opgaven, så indskrives i tabellen nedenfor. De efterfølgende værdier
af beregnes vha. den rekursive formel, som vi definerer:
n
p
00 (7.1.2)
75 (7.1.3)
93 (7.1.4)
45 (7.1.5)
16 (7.1.6)
93 (7.1.7)
Data fra tabellen defineres og anvendes nu til at lave et punktplot:
(7.2.3)(7.2.3)
(7.2.1)(7.2.1)
(7.2.2)(7.2.2)
b)
Den diskrete, logistiske udvikling har den generelle form:
Og der gælder, at:
false
aflæses nu direkte af den givne model:
er således 200 tons.
Antallet af uger og formlen for
importerer et relevant udsnit af den nye tabel:
Her ses det, at populationens samlede vægt overstiger 150 tons i uge 42.