Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
1
STX Matematik A Netadgang
28. maj 2015
Delprøven med formelsamling
2stx151-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er
det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
indsættes i ligningen:
Da begge sider af ligningen viser det samme, er en løsning til ligningen.
Opgave 2
a)
Da prisen aftager med en fast procentdel hvert år, er der tale om en eksponentiel model af typen:
Hvor:
er prisen på varen
er antal år efter 2000
er prisen på varen i tusinde krone i år 2000 . Dvs.
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
2
er fremskrivningsfaktoren. Der gælder, at , hvor er vækstraten.
Da får vi, at:
Den endelige model bliver nu:
Opgave 3
a)
Længden af ruten er givet ved:
Rutens længde er altså
b)
Det ses på tegningen, at
, samt at
Længden af den nye rute,
, kan nu beregnes:
Den nye rutes længde er altså
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
3
Opgave 4
a)
De kumulerede frekvenser udregnes og opskrives sammen med intervallerne for månedsløn:
Månedsløn
(i 1000 kr.)
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
Kum. Frek. i %
19
60
80
95
100
Sumkurven tegnes nu på bilaget:
Kvartilsættet aflæses:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
4
Opgave 5
a)
Udtrykket reduceres:
Her anvendes anden kvadratsætning:
Opgave 6
a)
Vandrette tangenter (og dermed kritiske punkter) findes ved at løse
Funktionen differentieres:
sættes lig med 0:
Det vil sige, at funktionen har vandrette tangenter i hhv.
og
Da er et andengradspolynomium med , er grafen en parabel med benene opad. Dette betyder, at:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
5
mellem nulpunkterne
i resten af definitionsmængden.
Vi har nu monotoniforholdene:
er aftagende i intervallet
er voksende i intervallerne og
: Her anvendes konstant uden for parentes, ledvis differentiation, differentiation af potensfunktion og
differentiation af konstant:
Funktion Afledt funktion
Opgave 7
a)
Da er en stamfunktion til , gælder der, at
, og vha. grafen aflæser vi nu resultatet:
Vi kan konkludere, at
b)
Arealet af den punktmængde , som afgrænses af , førsteaksen og linjen , svarer til det bestemte
integral af i intervallet (aflæst på grafen):
Funktionsværdierne og aflæses på figuren og indsættes:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
6
Her anvendes definitionen af bestemt integral:
Opgave 8
a)
Da vinkel C er den rette vinkel i trekant ABC, må være hypotenusen:
Omkredsen af de to trekanter er:
Da der er tale om ensvinklede trekanter, vil de indbyrdes forhold mellem ensliggende sider være konstant,
så:
Forstørrelsesfaktoren kan nu findes ved division af de to omkredse:
Nu beregnes :
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
7
Længden af siderne i trekant DEF kan nu beregnes:
Vi kan nu konkludere, at længden af siderne i trekant DEF er hhv. , og .
Opgave 9
a)
Punktets koordinater indsættes i ligningen:
Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, ligger punktet
på cirkelperiferien.
Tangenten til cirklen i punktet må have vektoren
som normalvektor, hvor er centrum i cirklen.
Vi kan nu opskrive ligningen på nedenstående form, hvor og er koordinater for en normalvektor til
linjen, mens
er et punkt på linjen:
Punktet ligger på tangentlinjen:
Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 28. maj 2015
8
b)
Samme procedure anvendes i det generelle tilfælde:
Punkt og normalvektor indsættes i den generelle ligning:
Da punktet
ligger på cirkelperiferien givet ved
, må der gælde, at:
Dette indsættes i tangentens ligning:
Denne ligning stemmer overens med den i opgaven anførte.