Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
1
STX Matematik A (Netadgang)
24. maj 2016
Delprøven med formelsamling
1stx161-MATn/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.
Opgave 1
a)
Udtrykket reduceres :
: Her anvendes en kvadratsætning:
Opgave 2
a)
Arealet af det parallelogram, som udspændes af to vektorer, kan bestemmes som den numeriske værdi af
determinanten for disse vektorer:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
2
Parallelogrammets areal er 2.
b)
Linjens ligning kan bestemmes vha. en normalvektor
for linjen og et punkt
på linjen.
Ligningen skrives som:
En normalvektor kan bestemmes som tværvektoren til , som er retningsvektor for linjen. Dvs.:
Punktet ligger på linjen. Ligningen bliver så:
Linjen kan således beskrives ved ligningen .
Opgave 3
a)
Et andengradspolynomium på den generelle form kan skrives som:
Vores polynomium er givet ved:
-koordinaten til toppunktet for den parabel, som er grafen for andengradspolynomiet, kan så bestemmes
som:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
3
-koordinaten bestemmes ved indsættelse af :
Koordinatsættet til parablens toppunkt er .
Opgave 4
a)
Da den årlige stigning er en fast procentdel, opstiller vi en eksponentiel model på formen:
Hvor:
angiver det årlige antal solgte biler
angiver antal år efter 2015
angiver værdien af , når (dvs. i år 2015). Det vil sige, at
er fremskrivningsfaktoren og fortæller noget om den årlige vækstrate , idet:
Den endelige model bliver så:
Opgave 5
a)
Monotoniforholdene kan bestemmes ved at undersøge fortegnsvariationen for .
Funktionen opskrives og differentieres :
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
4
Vi bestemmer nulpunkter for ved at løse
. Det vil sige:
Vi har nu en andengradsligning på formen
, som har løsningen
:
Det vil sige:
Ligningen har altså to løsninger:
Grafen for er en parabel med benene opad, da forskriften for er et andengradspolynomium
, hvor . Det vil sige, at er negativ i intervallet mellem nulpunkterne og positiv i
de to omkringliggende intervaller . Det vil sige :
er voksende i intervallerne og
er aftagende i intervallet
:
Regneregler
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
5
Funktion Afledt funktion
1
: Hvis du har svært ved at forestille dig dette, så prøv at tegne grafen for en tilfældig parabel med to
nulpunkter og benene opad. Du kunne selvfølgelig også undersøge fortegnet for på begge sider af begge
nulpunkter, men da du ikke må anvende lommeregner, kan du spare tid og slippe for evt. regnefejl ved
dette ræsonnement. Herunder vises grafen for :
: Hvis det er svært at overskue monotoniforholdene uden noget grafisk at forholde sig til, kan du tegne
en monotonilinje for din egen skyld. Det er dog ikke noget krav.
En monotonilinje for
er tegnet herunder:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
6
Opgave 6
a)
Vi opskriver forskrifterne og bestemmer de to funktionsværdier:
I første kvadrant er og . Ved hovedregning bestemmes en række yderligere funktionsværdier
for hver af de to funktioner. Sideløbende indtegnes punkter, og til sidst skitseres graferne ved at forbinde
punkterne med en glat kurve:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
7
:
Herunder vises de yderligere udregninger, som er foretaget. Det er ikke nødvendigt at vise udregningerne,
når blot du nævner, at du anvender hovedregning:
er ikke defineret i , så vi starter i stedet med
Opgave 7
a)
Funktionen opskrives og integreres , hvorved vi finder en generel forskrift for alle stamfunktioner til :
Så:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
8
Da stamfunktionens graf går gennem punktet , har vi, at
. Vi løser så:
Forskriften bliver så:
:
Funktion Stamfunktion
Regneregler for integration
Ubestemt integral
hvor F(x) er stamfunktion til f(x)
Sætte konstant udenfor
Sum/differens kan splittes i to integraler
Opgave 8
a)
Vi tæller det samlede antal patienter:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
9
Der er altså foretaget 30 observationer, hvilket er et lige tal. Medianen kan så bestemmes som
gennemsnittet af observation nr. 15 og observation nr. 16, idet observationerne ordnes fra mindst til størst.
Vi tæller os igennem observationerne og finder, at:
Der er nu 15 observationer på hver side af medianen. Nedre kvartil bestemmes da som observation nr. 8:
Øvre kvartil bestemmes tilsvarende som værdien af observation nr. 23:
Kvartilsættet kan da skrives som
Til tegning af boksplottet skal vi desuden bruge værdien af største og mindste observation. Disse aflæses:
Vi tegner et boksplot:
Opgave 9
a)
OBS: I regning af opgaverne anvendes for nemheds skyld notationen i stedet for
om sidelængder.
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
10
Længden af siden bestemmes vha. Pythagoras:
Det vil sige, at
Arealet af trekant er lig med halvdelen af rektanglets areal:
Arealet af trekant kan også beregnes med som grundlinje og som højde. Det vil sige:
Vi får så:
Vi konkluderer, at
.
Opgave 10
a)
Et andengradspolynomium på formen
kan faktoropløses til formen
, hvor
og
er rødderne. Polynomiet kan altså skrives som:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
11
Polynomiet er nu på formen
Vi ser så, at , og
Tangenten til grafen for et andengradspolynomium i punktet
har hældningen .
Vi får desuden at vide, at denne hældning er . Det vil sige, at . Vi fandt før, at , så der må
gælde, at:
Vi kan nu opskrive en forskrift for , hvori indgår som en parameter:
b)
Andenkoordinaten til toppunktet for grafen for et andengradspolynomium på formen
kan bestemmes som:
Hvor:
Det vil sige:
Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016
12
Vi konkluderer, at