Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
1
STX Matematik B
14. august 2014
Delprøven med hjælpemidler
stx142-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 15
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
2
Løsning med WordMat
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne,
er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Da der er tale om en lineær model, anvendes lineær regression I WordMat.
Data opskrives i en tabel:
Antal år efter 1994
0
2
4
6
8
10
Årligt antal passagerer
(målt i mio.)
121,1
134,7
157,6
178,6
187,4
217,8
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,858
Konstanterne aflæses og afrundes til 3 decimaler:
b)
Funktionen defineres
I år 2007 er . beregnes nu i WordMat:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
3
Der var altså ifølge modellen cirka 241,9 mio. flypassagerer i UK 2007.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
4
Opgave 8
a)
Tabellens data indsættes i WordMats statistik-regneark til grupperede observationer. Heri udregnes de
kumulerede frekvenser, og der tegnes en sumkurve.
Grupperede observationer
Interval
100
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
0
1
18
18%
18%
1
30
55
55%
73%
30
60
24
24%
97%
60
120
3
3%
100%
b)
Kvartilsættet er automatisk udregnet i regnearket:
Kvartilsæt:
Nedre kvartil
4,691
Median
17,87
Øvre kvartil
32,5
Akseindstillingerne på sumkurven ændres, og grafen forstørres. Nu kan man mere præcist aflæse den
kumulerede frekvens, når den gennemsnitlige ventetid er 45 dage:
0%
25%
50%
75%
100%
40
Gennemsnitlig ventetid
Sumkurve
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
5
Det aflæses nu på sumkurven, at 85% af kommunerne har en gennemsnitlig ventetid, som er på 45 dage eller
mindre.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 120
Gennemsnitlig ventetid
Sumkurve
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
6
Opgave 9
a)
Halveringstiden defineres:
Halveringstiden for eksponentielle modeller er givet ved følgende ligning, som nu kan løses for :
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Konstanten for det pågældende stof er altså (afrundet til 4 decimaler):
b)
Funktionen defineres:
Når mængden af tilbageværende stof er nede på 10 g, er
:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen tager det således 24,26 år, før mængden af tilbageværende stof er nede på 10 g.
c)
Den tilbageværende mængde udregnes i WordMat som brøkdel af den oprindelige mængde:
Efter 50 år er der således 31,56% tilbage af den oprindelige stofmængde.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
7
Opgave 10
a)
Vi betragter to retvinklede trekanter: ABD og ABE.
Vi kan se på tegningen, at .
Vi kan nu anvende følgende relation, som gælder for retvinklede trekanter:
Relationen kan bruges til at beregne afstanden fra skibet til kysten. Et ligningssystem
opskrives og løses vha. WordMat:
Ligningssystemet løses for d,AD vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Skibet befinder sig således ca. fra kysten.
Hvis man ikke var kommet i tanke om, at opgaven kunne løses hurtigt vha. ovenstående ligningssystem, kan
opgaven også gribes an vha. klassisk trekantsberegning i WordMats trekantløser. Det kræver dog lidt flere
trin:
For at bestemme afstanden kan man enten beregne længden af siden BD eller siden CE. Heraf vælges den
første. Længden af siden BD kan beregnes ved hjælp af trekant ABD. For at kunne foretage beregninger på
den, mangler vi dog at kende en sidelængde. Længden af siden AB kan beregnes vha. trekant ABC. For at
gøre det skal vi dog først bruge vinkel A og B i trekant ABC.
Det ses på tegningen, at vinkel B i trekant ABC kan beregnes som vinkel B i trekant ABD plus 90:
Vinkel B i trekant ABD kan udregnes, i det vinkelsummen i en trekant altid er 180:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
8
Nu beregnes vinkel
:
Det ses på tegningen, at vinkel
er givet ved:
Vi har nu tilstrækkelige informationer til at lade WordMats trekantsberegner udregne de resterende sider og
vinkler i trekant ABC (vi skal dog kun bruge længden af siden AB, så det unødvendige output slettes):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 6,6° , B = 126,9° , BC = 398
A = 6,6°, B = 126,9°, C = 46,5°
BC = 398, AB = 2511,7988259
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden AB findes vha. sinusrelationerne
Siden AB er også en side i trekant ABD, og vi har nu tilstrækkelige informationer til at lade WordMats
trekantsberegner udregne de resterende sider og vinkler i trekant ABD (vi skal dog kun bruge længden af
siden BD, så det unødvendige output slettes):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 53,1° , D = 90° , AB = 2511,7988
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
9
A = 53,1°, D = 90°
BD = 2008,6469656, AB = 2511,7988
Længden af siden BD findes vha. sinus
Da afstanden fra skibet til kysten er givet ved længden af siden BD, kan vi nu konkludere, at skibet er ca. 2009
m fra kysten.
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
10
Opgave 11
a)
Funktionen og punktets førstekoordinat defineres:
Ligningen bestemmes nu i WordMat vha. formlen:
En ligning for tangenten til grafen I punktet
er således fundet til:
b)
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunktet vha. WordMat:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
20
-
0
+
↘
↗
Vi kan dermed konkludere:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
11
Varianter:
f er voksende i intervallet:
f er aftagende i intervallet:
f har lokalt minimum for
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
12
Opgave 12
a)
Funktionerne defineres:
Ligningen løses i WordMat:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Først indtegnes funktionerne i Graph i WordMat, hvorefter punktmængden skraveres:
f(x)=-x+8
Skravering 1
f(x)=-x^(2)+6*x+2
-12 14
5
10
15
x
y
Grafen for er tegnet med rødt og grafen for er tegnet med blåt.
b)
Arealet, som afgrænses mellem graferne for to funktioner i et interval , er givet ved:
Hvis i hele det åbne interval .
Ud fra grafen samt vores viden om skæringspunkterne ved vi, at afgrænses af graferne for og i
intervallet , samt at i hele intervallet .
Arealet af udregnes nu vha. WordMat:
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
13
Arealet af M er således
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
14
Opgave 13
a)
Længden af hegnet opskrives som sum af de tre stykker hegn, der tilsammen udgør hegnet:
Arealet af udendørsområdet opskrives som differens mellem arealet af hundegården og arealet af
hundehuset:
b)
Der er 10 meter hegn til rådighed, så . Det vil sige:
Ovenstående udtryk, som er udtrykt ved , substitueres nu ind i formlen for arealet af udendørsområdet:
Arealet som funktion af defineres nu:
Da der er tale om et andengradspolynomium med , har funktionen netop ét maksimum. Dette
maksimumssted findes i WordMat ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at den værdi af , der gør arealet af udendørsområdet størst mulig, er
.
Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 14. August 2014
15
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj. Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Vi foretager en lineærregression:
Værdierne for a og b er følgende:
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.2.1)(1.2.1)
Konstanter afrundes til 3 decimaler og defineres:
9.466
118.871
b)
Funktionen defineres:
I år er beregnes ved:
241.929
Der var altså ifølge modellen cirka 241,9 mio.flypassagerer i UK 2007. Afrundet til 1 decimal.
(1.1.2)(1.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
Opgave 8
a)
Dataet defineres, hvorefter vi bestemmer de kummulerede frekvenser og tegner en sumkruve:
Tabel med kummulerede frekvenser:
"frekvenstabel0"
Observation
Hyppighed
Frekvens (%)
Kumuleret (%)
0 .. 1
18
18.000
18.000
1 .. 30
55
55.000
73.000
30 .. 60
24
24.000
97.000
60 .. 120
3
3.000
100.000
Sumkurve:
(1.1.2)(1.1.2)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
Opgave 8
a)
Dataet defineres, hvorefter vi bestemmer de kummulerede frekvenser og tegner en sumkruve:
Tabel med kummulerede frekvenser:
"frekvenstabel0"
Observation
Hyppighed
Frekvens (%)
Kumuleret (%)
0 .. 1
18
18.000
18.000
1 .. 30
55
55.000
73.000
30 .. 60
24
24.000
97.000
60 .. 120
3
3.000
100.000
Sumkurve:
(1.1.2)(1.1.2)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.2.2)(2.2.2)
b)
Kvartilsættet findes i rækkefølgen [Nedre, Median, Øvre] ved:
Fraktilen som hører til andelen af kommuner, hvor den gennemsnitlige ventetid er på dage eller
mindre, aflæses på sumkurven
ved .
Det aflæses på kurven at ca. af kommunerne har en gennemsnitlig ventetid, som er dage
eller mindre.
(3.2.1)(3.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.2.2)(3.2.2)
Opgave 9
a)
Halveringstiden defineres:
30.17
Halverinstiden findes ved at isolere a:
932
Konstanten for det pågældende stof er altså 0,9973. Afrundet ti 4 decimaler.
b)
Funktionen defineres:
Når mængden af det tilbageværende stof er nede på er N(t) = 10:
64
Ifølge modellen tager det således 24,26 år, før mængden af det tilbageværende stof er nede på
. Afrundet til 2 decimaler.
c)
Den tilbageværende mængde udregnes som en brøkdel af den oprindelige mængde:
044
Efter ca. er der således 31,56 % tilbage af den oprindelige stofmængde. Afrundet til 2
decimaler.
(1.1.2)(1.1.2)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 10
a)
Vi betragter to retvinklede trekanter: og
Vi kan se på tegningen, at
Vi kan nu anvende følgende relation, som gælder for retvinklede trekanter:
Relationen kan bruges til at beregne afstanden fra skibet til kysten. Et ligningssystem
opskrives op løses:
Skibet befinder sig fra kysten. Afrundet.
Skitse af situation. Det er den grønne retvinklede trekant som ligningssytetmet tager
udgangspunkt i. Skitsen er ikke et krav til eksamen.
(1.1.2)(1.1.2)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.3)(5.1.3)
Opgave 11
a)
Funktoinen og punkets førstekoordinat defineres:
1
Ligningen bestemmes nu ved:
En ligning for tangenten i punktet P(1,f(1)) er således fundet til
b)
Monotoniforholdende for f(x) undersøges:
Først bestemmes nulpunkter:
Derefter undersøges grafen i intervallet omkring nulpunktet:
(1.1.2)(1.1.2)
f er aftagende i intervallet
f er voksende i intervallet
f har minimum for x = 20
(6.1.1)(6.1.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(6.1.3)(6.1.3)
(6.1.2)(6.1.2)
Opgave 12
a)
Funktionerne defineres:
Ligningen løses:
Skitse af M. M er det graverede område:
Grafen for er tegnet med rødt og grafen for er tegnet med blåt.
(1.1.2)(1.1.2)
(6.2.1)(6.2.1)
b)
Arealet, som afgrænses mellem graferne for to funktioner i et interval , er givet ved:
Hvis i hele det åbne interval .
Ud fra grafen samt vores viden om skæringspunkterne ved vi,
at M afgrænses af graferne for og i intervallet [1,6], samt at i hele intervallet .
Arealet M beregnes ved:
Arealet af M er såledse = .
(7.2.4)(7.2.4)
(7.2.5)(7.2.5)
(1.1.2)(1.1.2)
(7.2.3)(7.2.3)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.2.2)(7.2.2)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.2.1)(7.2.1)
Opgave 13
a)
Længden af hegnet opskrives som sum af de tre stykker hegn, der tilsammen udgør hegnet:
Arealet af udendørsområdet opskrives som differens mellem arealet af hundegården og arealet af
hundehuset:
b)
Der er 10 meter hegn til rådighed så = 10. Dvs.
Udtrykket for substitueres ind i udtrykket for arealet :
Funktionen for Arealet med som den eneste uafhængie variabel defineres:
Der er tale om et andengradspolynomium med , har funktionen netop et maksimum:
11
4
Det vil sige, at den værdi af , der gør arealet af udendørsområdet størst mulig, er .