Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
1
STX Matematik B 14. maj 2008
Delprøven med hjælpemidler
STX081-MAB
Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en
eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her
medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at
beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at
bruge formelsamlingen!
Husk, at kun en af opgaverne 15a og 15b må afleveres til bedømmelse.
Opgave 6
a)
Vinkel
D
i trekant
ADH
bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: H = 90°, CD = 6, CH = 5
H = 90°
C = 33,55731°
D = 56,44269°
CD = 6
HD = 3,316625
CH = 5
Vinkel
D
findes vha. en sinusrelation:
H
C
D
CD
HD
CH
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
2
Vinkel
D
aflæses fra WordMats trekantsløser.
Vinkel
D
er aflæst til 56,44 ° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer |BD| i firkant ABCD som en side i trekant ABD med WordMats trekantløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 90°, AD = 7, AB = 5
A = 90°
B = 54,46232°
D = 35,53768°
BD = 8,602325
AD = 7
AB = 5
Længden af siden BD findes vha. Pythagoras’ sætning:
|BD| aflæses fra WordMats trekantsløser.
|BD| er bestemt til 8,60 (afrundet til 2 decimaler).
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
3
Vi bestemmer |AC| i firkant ABCD som en side i trekant ACD med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 56,44°, CD = 6, AD = 7
A = 53,62274°
C = 69,93726°
D = 56,44°
CD = 6
AD = 7
AC = 6,209989
Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation:
|AC| aflæses fra WordMats trekantsløser.
|AC| er bestemt til 6,21 (afrundet til 2 decimaler).
A
C
D
CD
AD
AC
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
4
Opgave 7
a)
Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær funktion, og vi bestemmer derfor tallene a og b ved lineær
regression:
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Alder
(år)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Længde
(cm)
310
348
386
424
462
500
536
572
610
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9999071
Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:
Tallet a er bestemt til 37,5 (afrundet til 1 decimal), og tallet b er bestemt til 273,6 (afrundet til 1 decimal).
b)
Tallet a er hældningskoefficienten for funktionens graf og er aflæst til 37,5 cm (afrundet til 1 decimal).
Tallet beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Ifølge modellen vokser spækhuggeres længde med 37,5
cm for hvert år ældre, hvalerne bliver.
Tallet b er funktionens værdi i x = 0. Dvs., at spækhuggere med en alder på 0 år er 273,6 cm lange (afrundet
til 1 decimal).
Vi bestemmer x, når y = 700:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Alderen af 700 cm lang spækhugger er bestemt til 11,4 år (afrundet til 1 decimal).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
5
Opgave 8
a)
Vi benytter renteformlen og løser for r, hvor antal terminer svarer til n = :
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den årlige procentvise stigning er bestemt til 7,60 % (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
6
Opgave 9
a)
Vi definerer funktionerne:
Vi opstiller integralet og bestemmer arealet af M. Vi kan aflæse på grafen, at f > g i hele intervallet:
Arealet af M er bestemt til 21,33 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
7
Opgave 10
a)
Vi opstiller en model:
E er havvindmøllens energiproduktion som funktion af vindhastigheden v, og k er
proportionalitetskonstanten.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
8
Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer førstekoordinaterne ved:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Førstekoordinaterne til røringspunkterne for de to tangenter er bestemt til x = -1 og x = 3.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
9
Opgave 12
a)
Vi bestemmer w, når d = 4:
Vægten af tørstof er bestemt til 1225,6 g (afrundet til 1 decimal).
b)
Vi bestemmer først d, når h = 100:
Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer w, når d = 168,8401:
Vægten af tørstof i en 100 cm høj plante er bestemt til 4,64 g (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
10
Opgave 13
a)
Vi tegner sumkurven og bestemmer kvartilsættet med WordMats skabelon for grupperede observationer.
Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Kvartilsæt:
b)
Vi tegner de to boksplot med WordMats skabelon. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Vi kommenterer forskellen ud fra de to boksplot:
Sammenligner vi de to boksplot, står det klart, at længden af havkatte i dybden 5-40 m generelt er større
end i dybden 40-80 m. Vi kan desuden se, at længden varierer inden for et langt større interval i dybden 40-
80 m end i dybden 5-40 meter. En mulig forklaring herpå kunne være, at havkatten begynder livet i dybden
40-80 m og senere, når den er blevet større, enten forbliver på det dybe vand eller svømmer længere op
mod overfladen.
0%
25%
50%
75%
100%
0
Observationer
Sumkurve
40
5 - 40 m
40 - 80 m
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
11
Opgave 14
a)
Vi definerer funktionen og definitionsmængden:
Vi bestemmer f’(x):
Vi foretager en funktionsundersøgelse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:
Grafen for f er således aftagende, når x < 4, og tiltagende, når x > 4. Vi kan således på baggrund af
funktionsundersøgelsen se, at f(x) har et minimum i x = 4.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
12
Opgave 15a
Vi udnytter, at funktionsværdien ved rødderne er lig 0. Vi opstiller et system af to ligninger med to
ubekendte og løser for b og c:
Ligningssystemet løses for b,c vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Tallet b er bestemt til 50, og tallet c er bestemt til -105.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008
13
Opgave 15b
a)
Vi bestemmer omkredsen af løbebanen udtrykt ved r og x, hvor det udnyttes, at omkredsen af en cirkel er
lig :
Arealet A af et rektangel kan generelt beskrives ved:
Højden AB på løbebanen har længden 2r. Derfor kan arealet af ABCD generelt beskrives ved.:
Vi bestemmer r udtrykt ved x, når omkredsen af løbebanen skal være lig 800:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi substituerer r (II) ind i udtrykket for arealet af rektanglet (I):
Arealet af ABCD udtrykt ved x kan beskrives ved ovenstående.