Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
1
STX Matematik B
15. august 2017
stx172-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
STX 2.g
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
2
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
Forskriften viser en lineær funktion. Vi bestemmer tallene a og b ved:
Tallet a er bestemt til 3, og tallet b er bestemt til -1.
Opgave 2
Vi løser andengradsligningen vha. diskriminanten. Vi bestemmer diskriminanten d ved:
Vi bestemmer løsningerne til andengradsligningen ved:
Dvs.:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
3
Og:
Løsningerne til andengradsligningen er bestemt til x = 3 og x = 7.
Opgave 3
Det er oplyst, at skalafaktoren er 2. Vi bestemmer længden af siden |AC
1
| ved:
Vi bestemmer længden af siden |BC| vha. Pythagoras’ læresætning:
Længden af siden |BC| er bestemt til
.
Opgave 4
Vi isolerer h i formlen:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
4
Opgave 5
Vi aflæser %-delen ved hhv. 40 år og 50 år på bilaget:
Vi ser, at andelen af mænd, der højst er 40 år gammel, er aflæst til ca. 60 %.
Vi ser, at andelen af mænd, der er højst 50 år gammel, er aflæst til ca. 85 %.
Vi bestemmer andelen af mænd, der er over 40 år- og højst 50 år gammel, som differensen mellem de to
andele herover dvs.:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
5
Vi omregner andelen til antal mænd:
Ifølge sumkurven er der 20 mænd der er over 40 år- og højst 50 år gamle.
Opgave 6
Tangentens ligning er givet ved:
Vi bestemmer den afledede funktion f’(x):
Vi bestemmer f’(x
0
) = f’(2):
Vi bestemmer f(x
0
) = f(2):
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2, f(2)):
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ligningen herover.
(I): Differentialkvotienter
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
6
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 7
a)
Modellen er oplyst til at være en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Årstal
2010
2011
2012
2013
2014
2015
Antal år
efter år
2010
0
1
2
3
4
5
Antal hunde
(målt i
tusinde)
411
449
487
524
560
584
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 = 0,
Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen herover.
Tallet a er bestemt til 35,29, og tallet b er bestemt til 414,29 (afrundet til to decimaler).
b)
Tallet a betegner den årlige stigning i antallet af hunde i Danmark, vi har således, at for hvert år efter år
2010 er antallet af hunde i Danmark ifølge modellen steget med 35,29 (målt i tusinde) hunde.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
7
Opgave 8
a)
Det er oplyst, at udviklingen sker eksponentielt:
Vi indfører passende variable:
f(t) betegner antallet af individer i populationen målt til tidspunktet t målt i måneder efter starten af
optælling.
t betegner tidspunktet målt efter starten af optælling.
b betegner antallet af individer i populationen ved starten af optællingen, dvs. at b er lig 4500.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Vi kender vækstraten r = 5 % = 0,05, med vækstraten kan vi bestemme
fremskrivningsfaktoren a:
Vi opskriver en ligning, der beskriver udviklingen:
En ligning, der beskriver udviklingen i antallet af individer i populationen som funktion af tiden, er bestemt
til udtrykket herover.
b)
Vi definerer fremskrivningsfaktoren a:
Fordoblingstiden er givet ved:
Fordoblingstiden er bestemt til 139,0 måneder (afrundet til 1 decimal).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
8
Opgave 9
a)
Vi bestemmer siden |BD| med WordMats trekantsløser.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 40° , AD = 7 , AB = 5
A = 40°
B = 94,603655°
D = 45,396345°
BD = 4,5140768
AD = 7
AB = 5
Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation:
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation:
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
Længden af siden |BD| er bestemt til 4,51 (afrundet til 2 decimaler).
b)
I opg a) blev vinkel ∠D i trekant ABD bestemt til ∠D = 45,396345°. Vi bestemmer vinkel ∠D i trekant BDC
ved:
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
9
Vi bestemmer arealet af trekant BCD vha. en sinusrelation. Vi har, at |BD| = |DC| dvs.:
Arealet af trekant BCD er bestemt til 7,25 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
10
Opgave 10
a)
Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x:
Vi tegner grafen for f:
b)
Vi bestemmer antallet af artikler i år 2003 ved at bestemme f() = f(3):
Ifølge modellen er antallet af artikler i år 2003 bestemt til 33399 artikler (afrundet op til hel artikel).
Vi bestemmer tidspunktet, hvor antallet af artikler oversteg 500000 ved at løse uligheden f(x) > 500000 for
x. Da WordMat har problemer med at løse uligheder, hvori der indgår eksponenter, løser vi i stedet for x i
f(x) = 500000:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
11
Ifølge modellen vil antallet af artikler på den engelsksprogede del af Wikipedia overstige 500000 ca. 5,1 år
efter år 2000 (afrundet til 1 decimal) dvs. i år 2005.
c)
Vi bestemmer f’(10):
Tallet f’(10) er bestemt til 400221 artikel/år (afrundet op til hel artikel).
Vi giver en fortolkning af tallet f’(10).
Tallet f’(10) betegner udviklingen i det årlige antal af artikler 10 år efter år 2000, dvs. i år 2010. Vi har
således, at antallet af artikler på den engelsksprogede del af Wikipedia i år 2010 steg med 400221 artikler
(afrundet op til hel artikel).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
12
Opgave 11
a)
Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x:
Vi løser ligningen f’(x) = 0 for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af
nulpunktet for den afledede funktion f’(x):
Vi opskriver monotoniforhold for f:
f er aftagende i intervallet ]0; 2]
f er voksende i intervallet [2; ∞[
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
13
Opgave 12
a)
Vi beskriver de to begreber stikprøve og population.
Population betegner den gruppe man gerne vil undersøge, i dette tilfælde er populationen de farvede
balloner, som fabrikken producerer.
Stikprøven betegner de størrelser, der rent faktisk indgår i undersøgelsen, i dette tilfælde er stikprøven de
100 balloner som udvælges til undersøgelsen.
Vi opstiller en nulhypotese H
0
, der kan benyttes til at undersøge, om fabrikken producere lige mange
balloner i, hver farve.
Nulhypotese H
0
: Antallet af balloner, der produceres i én af de givne farver, er uafhængig af ballonens
farve.
b)
På baggrund af at nulhypotesen H
0
er sand, bestemmer vi de forventede værdier for antallet af
producerede balloner i hver af de frem farver. Vi har, at der produceres balloner i 5 forskellige farver, og at
der produceres 100 balloner i alt, dvs. at der skal produceres et antal af hver farve svarende til:
Under antagelse af, at nulhypotesen er sand, skal der produceres 20 balloner af hver farve.
Vi undersøger om nulhypotesen H
0
kan forkastes på et 5% - signifikansniveau med en
-Goodness of fit -
test. Vi benytter WordMats skabelon for
-Goodness of fit, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen.
Resultat fra test:
Goodness of fit
Nul-hypotese:
Den observerede
stikprøve stammer fra
den forventede fordeling
Farve
Obs.
Fordeling
Forventet
fordeling
Signifikans
niveau:
5%
Blå
20
20
Rød
28
20
P-værdi:
21%
Grøn
21
20
Konklusion:
Nul-hypotese bekræftet
Gul
13
20
Lilla
18
20
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
14
Vi ser, at p-værdien på 21% er langt større end signifikansniveau på 5%, vi kan således bekræfte
nulhypotesen H
0
, og konkludere, at der ifølge testen på et 5% - signifikansniveau produceres lige mange
balloner af hver farve.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. August 2017
15
Opgave 13
a)
Vi definerer forskriften for f:
Vi bestemmer grænserne for punktmængden M, som 1. koordinaten for skæringspunkterne mellem grafen
for f og 1. aksen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer arealet af punktmængden M, som arealet under grafen for f i intervallet [0; 6]:
Arealet af M er bestemt til 36.
b)
Vi definerer definitionsmængden for k:
Vi har at arealet af punktmængden N er afgrænset i intervallet [0; k], hvor det er oplyst, at arealet af N er
1/3 af arealet af M, dvs. at arealet af N er givet ved:
Vi indsætter kendte værdier og løser for k:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Værdien for k, så arealet af punktmængden N er lig 1/3 af arealet af punktmængden M er bestemt til k =
2,32 (afrundet til 2 decimaler).