Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
1
STX Matematik B 16. august 2007
Delprøven med hjælpemidler
STX072-MAB
Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en
eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her
medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at
beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at
bruge formelsamlingen!
Husk, at kun én af opgaverne 16a og 16b må afleveres til bedømmelse.
Opgave 6
a)
Vi definerer funktionen og definitionsmængden:
Vi bestemmer stamfunktionen:
Vi indsætter det kendte punkt og isolerer k:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver stamfunktionen og afslutter opgaven:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
2
Stamfunktionen, der går igennem punktet F(1) = 3,5, er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
3
Opgave 7
a)
Vi beregner de resterende sider i trekant ABC vha. WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 38,1°, A = 13,5°, a = 1,6
C = 38,1°
B = 128,4°
A = 13,5°
c = 4,229073
b = 5,371319
a = 1,6
Længden af siderne c og b findes vha. sinusrelationer:
Vi beregner distancen, som pigerne har tilbagelagt:
Pigerne løber 11,20 km (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi beregner den resterende side i trekant AED vha. WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 130,2°, a = 4,0, d = 1,5
A = 36,81426°
D = 12,98574°
E = 130,2°
a = 4
d = 1,5
e = 5,098577
C
B
A
c
b
a
A
D
E
a
d
e
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
4
Længden af siden e findes vha. en cosinusrelation:
Vi beregner distancen, som drengene har tilbagelagt:
Drengene løber 10,60 km (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer differencen mellem distancerne, som pigerne og drengene har tilbagelagt:
Pigerne har løbet 0,60 km længere end drengene.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
5
Opgave 8
a)
Vi definerer funktionen og definitionsmængden:
Vi bestemmer evt. ekstrema samt punkter for vendetangenter:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af det fundne ekstremum:
På baggrund af differentialkvotientens fortegn kan vi konkludere, at x = 1,609438 er punktet for
funktionens maksimum.
Vi bestemmer andenkoordinaten:
Funktionens maksimum er bestemt til 3,05 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
6
Opgave 9
a)
Udviklingen kan beskrives vha. en lineær funktion, og vi bestemmer derfor forskriften ved lineær
regression:
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
År
2002
2003
2004
2005
År efter år 2002
0
1
2
3
Antal
82
123
191
259
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9879562
Vi bestemmer N(12):
Vi forklarer betydningen af tallet:
Tallet N(12) beskriver antallet af fangede laks i Skjern Å 12 år efter år 2002, dvs. i år 2014. Ifølge modellen
vil antallet af fangede laks være 793 (afrundet til helt tal) i år 2014.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
7
Opgave 10
a)
Vi skriver z udtrykt ved y:
Vi bestemmer y udtrykt ved x:
Vi bestemmer k ved at indsætte den angivne relation mellem y og x:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter den fundne værdi for k:
Vi skriver z udtrykt ved x ved at substituere (2) ind i (1):
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
8
Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer først skæringspunktet A, som har den mindste førstekoordinat:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Skæringspunktet A er bestemt til x = -2.
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet A:
Vi definerer førstekoordinaten til punktet A:
Vi bestemmer en tangent til grafen for f i punktet ved at bruge ligningen:
Tangenten til grafen for f i punktet A er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
9
Opgave 12
a)
Vi bestemmer fremskrivningsfaktoren i Florida ved:
I løbet af 10 år vokser indbyggertallet med:
Det svarer til en vækstrate på:
I løbet af 10 år vokser indbyggertallet i Florida med 23,5 % (afrundet til 1 decimal).
Der er tale om en fast procentvis udvikling, og vi bestemmer derfor indbyggertallet i Florida i år 2007 vha.
en eksponentiel model af typen f(x) =b a
x
:
Vi opstiller og definerer modellen ud fra den fundne værdi for a og b = 15,98 aflæst i tabellen:
Vi bestemmer f():
Ifølge modellen vil indbyggertallet i år 2007, hvis udviklingen fortsætter efter år 2000, være 18,52 mio.
(afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer ligeledes en model for udviklingen af indbyggertallet for staten New York:
Vi bestemmer fremskrivningsfaktoren:
Vi opstiller og definerer modellen:
Vi løser for x i f(x) = g(x):
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
10
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvis udviklingen fortsætter, vil de to stater have lige mange indbygger ca. 11 år (afrundet til helt år) efter år
2000, dvs. ca. i år 2011.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
11
Opgave 13
a)
Sumkurven og kvartilsættet bestemmes i WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet
kopieres ind i besvarelsen:
Sumkurve:
Kvartilsæt:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Mindste
41
Nedre
47,35
Median
50,22
Øvre
52,89
Største
59
0%
25%
50%
75%
100%
61
Observationer
Sumkurve
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
12
Opgave 14
a)
Vi definerer funktionerne:
Vi bestemmer grænserne for punktmængden:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer arealet af punktmængden ved:
Vi benytter den positive værdi:
Arealet af punktmængden M er bestemt til 20,83 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
13
Opgave 15
a)
Vi bestemmer først h udtrykt ved x:
Arealet af en trekant er generelt givet ved:
Volumen af trekanten er da givet ved:
Dvs., at vi kan isolere h udtrykt ved x:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer overfladearealet:
Beholderens overflade består af:
Dvs. overfladen af beholderen udtrykt ved x kan skrives som:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
14
Opgave 16a
a)
Vi definerer modellen:
Vi bestemmer N(0):
Antallet af individer til t = 0 er bestemt til 50.
Vi bestemmer N’(0):
Væksthastigheden til tiden t = 0, dvs. det 0. døgn, er bestemt til 4,88 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi tegner grafen i intervallet [0; 100]:
Vi bestemmer t, når N(t) = 1000:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Til tiden 36,64 døgn (afrundet til 2 decimaler) er antallet af individer ifølge modellen 1000.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
15
Opgave 16b
a)
Vi definerer de tre sider:
Vi kender alle tre sider og benytter os af en cosinusrelation (I), hvorved vi isolerer vinklen:
Ligningen løses for A vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinkel A er bestemt til 14,63° (afrundet til 2 decimaler).
(I):
b)
Vi benytter formlen for arealet af en trekant (II):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi benytter den positive værdi:
Når arealet af trekant ABC er 13 er x = 11,72 (afrundet til 2 decimaler).
(II):
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 16. august 2007
16