Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
1
STX Matematik B 18. december 2007
Delprøven med hjælpemidler
STX073-MAB
Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en
eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her
medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at
beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at
bruge formelsamlingen!
Husk, at kun én af opgaverne 14a og 14b må afleveres til bedømmelse.
Opgave 6
a)
Vi bestemmer P, når d = 9,0:
Trykket i dybden 9,0 m er bestemt til 1,9 bar (afrundet til 1 decimal).
Vi bestemmer d, når P = 2:
Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dybden, hvor trykket er 2 bar, er bestemt til 10,2 m (afrundet til 1 decimal).
b)
Der er tale om en lineær funktion af formen:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
2
Tallet 0,087 betegner konstanten a og er grafen for funktionens hældningskoefficient. Dvs., at trykket stiger
med 0,087 bar, for hver meter dybden stiger med.
Tallet 1,113 er funktionens værdi i x = 0. Dvs., at trykket ved dybden 0 meter (eller i vandoverfladen) er
1,113 bar.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
3
Opgave 7
a)
Der er tale om en eksponentialfunktion:
Vi bestemmer fremskrivningsfaktoren a vha. formlen for halveringskonstanten:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi bestemmer tallet b ved at indsætte punktet P i ligningen og isolere for b:
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opstiller forskriften for f (afrundet til 2 og 3 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
4
Opgave 8
a)
Der er tale om en potentiel sammenhæng, og vi bestemmer derfor tallene a og b vha. potentiel regression.
Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:
Fosforkoncentration
(g fosfor pr. liter)
40
48
61
74
83
90
Tæthed af
fiskebiomasse (kg
pr. ha)
200
219
247
272
288
300
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9999985
Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:
Tallet a er bestemt til 0,50 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 31,62 (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vi definerer tallet a og den procentvise vækst
:
Vi bestemmer den relative vækst ved:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Når x vokser med 50 %, vokser M med 22,47 % (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
5
Opgave 9
a)
Vi definerer funktionen:
Vi integrerer funktionen og bestemmer stamfunktionen:
Vi indsætter punktet P og isolerer k:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver stamfunktionen, der går gennem punktet P:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
6
Opgave 10
a)
Vi bestemmer først kvartilsættet for klasse A:
Vi opskriver observationerne i rækkefølge:
3, 6, 6, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 20, 20.
Vi aflæser kvartilsættet:
Mindste: 3
Nedre Q1: 12
Median: 13
Øvre Q3: 16
Største: 20
Vi benytter nu WordMats skabelon til at indtegne de to boksplot. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:
Vi sammenligner de to boksplot:
Klasse A har generelt klaret sig bedre end klasse B. Medianen for klasse B er 12, og dvs., at 50 % af eleverne
har fået 12 eller flere rigtige svar. Derimod har klasse A nedre kvartil samme sted, som klasse B har median
– dvs. at 75 % af eleverne i klasse A har 12 eller flere rigtige svar. Dog findes det laveste antal rigtige svar i
klasse A.
25
B
A
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
7
Opgave 11
b)
Når andengradsligningen har netop én løsning, er diskriminanten lig 0. Dette udnyttes:
Vi kan konkludere, at sammenhængen mellem tallene c og a er omvendt proportional.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
8
Opgave 12
a)
Vi bestemmer c med WordMats trekantløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 56°, B = 43°, a = 6,7
A = 56°
B = 43°
C = 81°
a = 6,7
b = 5,511679
c = 7,982162
Længden af siderne b og c findes vha. sinusrelationer:
Længden af siden c aflæses fra WordMats trekantsløser:
Siden c er bestemt til 7,98 (afrundet til 2 decimaler).
Arealet af trekant ABC bestemmes ved:
Arealet af trekant ABC er bestemt til 18,03 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Længden af medianen m
a
bestemmes med WordMats trekantsløser. Vi udnytter, at medianen har fodpunkt
midt på siden a:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 56°, B = 43°, 1/2a = 3,35
A
B
C
a
b
c
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
9
WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 43°, 1/2a = 3,35, c = 7,982162
A = 22,43997°
B = 43°
= 114,56°
1/2a = 3,35
ma = 5,985337
c = 7,982162
Længden af m
a
findes vha. en cosinusrelation:
Medianen m
a
aflæses fra WordMats trekantsløser:
Medianen m
a
er bestemt til 5,99 (afrundet til to decimaler).
A
B
1/2a
ma
c
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
10
Opgave 13
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer evt. ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne:
Vi kan på baggrund af funktionsundersøgelsen konkludere, at f har lokale ekstrema i x = -0,33 (afrundet til 2
decimaler) og x = 3.
b)
Vi tegner grafen for f:
Hvis ligningen f(x) = a skal skære grafen 3 steder, skal værdien for a befinde sig mellem funktionsværdien i
maksimum og minimum:
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
11
Vi bestemmer funktionsværdien i de to ekstrema:
Værdien af a skal opfylde, at -3,52 < a < 15 (første grænse afrundet til 2 decimaler).
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
12
Opgave 14a
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer først skæringspunkterne med førsteaksen (x-aksen):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi definerer førstekoordinaterne:
Vi bestemmer tangentens ligning for x = -3:
Tangentens ligning i x = -3 er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer tangentens ligning for x = 3:
Tangentens ligning i x = 3 er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Arealet mellem grafen for f og tangenterne bestemmes ved integrering.
Rækkefølgen af integralerne betyder intet. Har et af integralerne en negativ værdi, benytter vi den
absolutte værdi.
Arealet afgrænset af grafen for f og tangenterne er bestemt til 18.
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 18. december 2007
13
Opgave 14b
a)
Der er tale om en eksponentiel sammenhæng, og vi bestemmer derfor modellen vha. eksponentiel
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Årstal
År efter år 1998
Fosforkoncentration (målt i g
fosfor pr. liter)
1998
0
230
2005
7
64
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Vi bestemmer fosforkoncentrationen i år 2010 ved at bestemme y, når x = :
Fosforkoncentrationen i Kruså Sø i år 2010 er ifølge prognosen 25,67 g fosfor pr. liter (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vi foretager en lineær regression på tabellen i a):
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Vi bestemmer fosforkoncentrationen i år 2010 ved at bestemme y, når x = :
Med prognosen baseret på en lineær model er fosforkoncentrationen i år 2010 negativ, hvilket reelt ikke er
muligt. Det kan konkluderes, at en lineær funktion ikke er pålidelig i denne sammenhæng. Den
eksponentielle funktion vil derimod aldrig bevæge sig under 0 og er derfor den mest hensigtsmæssige af de
to, når man vil beskrive udviklingen i fosforkoncentrationen i Kruså Sø.