Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
1
STX Matematik B
22. maj 2014
Delprøven med hjælpemidler
1stx141-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple
TM
...................................................................................................................................... 12
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
2
Løsning med WordMat
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Den angivne model for udviklingen er en lineær model. jf. formel 35
Tabellen oprettes i MS Excel, hvor antal år efter 2006 bestemmes som differensen mellem det aktuelle
årstal og året 2006. Tabellen kopieres tilbage i MS Word og der foretages en lineær regression på tabellens
data, hvorved konstanterne og bestemmes.
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær) benyttes.
Årstal
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
År efter 2006
0
1
2
3
4
5
6
Tilbagetrækningsalder (år)
62,01
62,25
62,47
62,75
62,77
63,00
63,08
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9671442
Af regressionens resultat fremgår det, at:
Resultaterne er afrundet til to decimaler.
b)
Kaldes tilbagetrækningsalderen, som en funktion af alderen , for , begge målt i år,
kan udviklingen defineres, som en funktion, i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Den gennemsnitlige tilbagetrækningsalder i 2014 (8 år efter 2006) kan bestemmes som tallet:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
3
Den gennemsnitlige tilbagetrækningsalder i 2014 er således bestemt til .
Resultatet er afrundet til to decimaler.
At betyder, at tilbagetrækningsalderen øges med 0,18 år hvert år efter 2006.
c)
Det år, hvor tilbagetrækningsalderen overstiger 65 år, kan bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at tilbagetrækningsalderen overstiger 65 år i det 16’ende år efter 2006, hvilket
betyder, at den gennemsnitlige tilbagetrækningsalder for danske lønmodtagere overstiger 65 år i .
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
4
Opgave 8
a)
og i trekant kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMats trekantsløser anvendes med input: BC = 14, AC = 27, AB = 25
A = 30,93202°
B = 82,44785°
C = 66,62013°
BC = 14
AC = 27
AB = 25
Af ovenstående fremgår det, at:
Resultaterne er afrundet til én decimal.
b)
Arealet af en trekant kan bestemmes vha. følgende formel (”den halve appelsin”): jf. formel 29
Omskrevet til den aktuelle situation, fremkommer:
Hvis du ikke bruger WordMat, så husk at indstille dit CAS-værktøj til at regne i grader (ikke radianer).
Kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Arealet af trekant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
5
Kaldes fodpunktet for Vinkelhalveringslinjen
på siden for , fremkommer trekant .
Vinkelhalveringslinjen
halverer således, at
WordMat (CAS - Beregn) er benyttet.
Længden af Vinkelhalveringslinjen
kan således bestemmes som i trekant .
Hertil benyttes WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 30,93202°, B = 41,22393°, AB = 25
A = 30,93202°
B = 41,22393°
D = 107,844°
BD = 13,49994
AD = 17,30769
AB = 25
Længden af Vinkelhalveringslinjen
er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
D
BD
AD
AB
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
6
Opgave 9
a)
Sammenhængen mellem massen af et bestemt radioaktivt stof og tiden er eksponentiel (aftagende),
modellen herfor er: jf. formel 60
Tallet betyder, at der til tiden (altså i år 2014) er 12 gram af det radioaktive stof.
Tallet (fremskrivningsfaktoren) betyder, at massen af det radioaktive stof hvert år (efter 2014)
reduceres til 97 % af massen i det forrige år. Massen aftager med andre ord 3 % hvert år efter 2014,
idet vækstraten , svarende til en årlig reduktion på 3 %, da .
jf. teksten ved illustrationen øverst på side 12.
b)
Halveringstiden (halveringskonstanten)
kan bestemmes som: jf. formel 65
Indsættes fremkommer resultatet, når WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Halveringstiden for det radioaktive stof er således bestemt til:
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
7
Opgave 10
a)
En ligning for tangenten til grafen for en funktion i punktet
kan bestemmes som:
jf. formel 70 ”tangentligningen”
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Anvendes
og forskriften for , kan en ligning for tangenten til grafen for i punktet
bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn) som:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
er således:
b)
For at kunne bestemme monotoniforhold for , bestemmes først eventuelle ekstrema for .
Dette gøres ved at løse ligningen
, hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
For at afgøre, hvorvidt de fundne ekstrema er maksimum-, minimum- eller vendetangentpunkter,
foretages en fortegnsanalyse for i intervallerne før, mellem og efter de fundne ekstremaer.
Der vælges passende værdier for , som indsættes i forskriften for
:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
På baggrund af ovenstående kan følgende monotonilinje tegnes vha. WordMat (Diverse - Figurer):
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
8
Monotoniforhold for :
er voksende i intervallet
er aftagende i intervallet
er voksende i intervallet
x
f’(x)
f(x)
-1
20
0
0
+
-
+
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
9
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Intervallet for defineres ligeledes i WordMat vha. kommandoen definer:
For at bestemme en forskrift til den stamfunktion til , hvis graf går gennem punktet , bestemmes
først det ubestemte integrale, WordMat (CAS - Beregn) benyttes: jf. formel 87
hvor er integrationskonstanten.
Forskriften for stamfunktionen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Værdien for , så grafen for går gennem bestemmes ved at indsætte punktets koordinater i
forskriften for og løse ligningen mht. :
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at en forskrift til den stamfunktion til , hvis graf går gennem
punktet er bestemt til:
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
10
Opgave 12
a)
En tabel, med de givne data, oprettes i MS Excel og det forventede antal for intervallerne bestemmes som
den forventede procentdel for hvert interval anvendt på stikprøvens størrelse på 500 opkald fra kunder.
Det giver følgende forventede værdier (markeret med gult):
Ventetid (min)
0 - 5
5 - 10
10 - 15
15 - 20
20 - 25
25 - 30
> 30
Forventet fordeling %
22,1
17,2
13,4
10,4
8,1
6,3
22,5
100
Antal i stikprøven
90
70
75
50
45
45
125
500
Forventet antal (min)
500x0,221=
110,5
86,0
67,0
52,0
40,5
31,5
112,5
500
De forventede værdier for fordelingen af ventetiden fremgår af ovenstående skema (markeret med gult).
b)
For at undersøge nulhypotesen på et 5 % signifikansniveau foretages en
Goodness of Fit test på
fordelingen i stikprøven og det beregnede forventede antal.
Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Test - Goodness of fit), hvor værdierne indtastes.
Med en P-værdi på 2 % forkastes nulhypotesen.
På et 5 % signifikansniveau kan det således ikke udelukkes, at der er sket en ændring i fordelingen af
ventetiden for betjening af telesupportscenterets kunder, der ringer til telesupportscenteret.
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
11
Opgave 13
a)
Af de viste tegninger, hvor porten er vist i et koordinatsystem, samt de anførte mål (i cm),
kan tre punkter på grafen for aflæses til:
Den anførte forskrift for (som der skal redegøres for) er et andengradspolynomium, hvorfor
forskriften for gennem de tre aflæste punkter, kan bestemmes vha. en polynomisk regression.
En lille tabel med førnævnte aflæste punkter oprettes i MS Word og regressionen foretages med
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Polynomisk).
X
-120
0
120
y
185
210
185
Polynomisk regression af grad 2 udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Afrundes koefficienten til andengradsleddet til seks decimaler, fremkommer følgende forskrift for :
hvilket skulle vises.
b)
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Arealet af garageporten er lig med arealet af den punktmængde, der afgrænses af grafen for ,
koordinatsystemets førsteakse og de lodrette linjer gennem og .
Arealet kan således bestemmes som værende lig med integralet:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af garageporten er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til et helt tal.
Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-
12
Løsning med Maple
TM
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Den angivne model for udviklingen er en lineær model, og vi foretager derfor en lineær regression
af modellen.
Værdierner for a og b er følgende:
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.2)(1.1.2)
7142857
b)
Kaldes tilbagetrækningsalderen, som en funktion af alderen , for , begge målt i år, kan
udviklingen defineres, som en funktion:
Den gennemsnitlige tilbagetrækningsalder i 2014 (8 år efter 2006) kan bestemmes som:
28
Den gennemsnitlige tilbagetrækningsalder i 2014 er således bestemt til 63,51 år.
At 0,18 betyder, at tilbagetrækningsalderen øges med 0,18 år hvert år efter 2006.
c)
Det år, hvor tilbagetrækningsalderen overstiger 65 år, kan bestemmes ved at løse ligningen:
24
betyder, at den gennemsnitlige tilbagetrækningsalder for danske lønmodtagere overstiger 65 år i
2022.
(2.2.7)(2.2.7)
(2.2.3)(2.2.3)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.2.6)(2.2.6)
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.1)(2.2.1)
Opgave 8
a)
Vinkel A er således bestemt til: 30,9° og vinkel B er bestemt til
b)
Vi definerer de relevante kendte størrelserne i trekanten:
14
27
25
88
Da vi kender alle sider og vinkler kan vi bestemme trekantens areal T vha. følgende formel:
75
Dermed er trekantens areal bestemt til T= afrundet til en decimal. Kaldes fodpunktet for
Vinkelhalveringslinjen på siden AC for D, fremkommer trekant ABD.
Vinkelhalveringslinjen halverer :B således, at :ABD =
Længden af Vinkelhalveringslinjen kan således bestemmes som |BD| i trekant ABD:
Længden af Vinkelhalveringslinjen =|BD| er således bestemt til:
(3.2.2)(3.2.2)
(3.2.3)(3.2.3)
(3.2.1)(3.2.1)
Opgave 9
a)
Sammenhængen mellem massen af et bestemt radioaktivt stof og tiden er eksponentiel
(aftagende), modellen herfor er:
Tallet 12 betyder, at der til tiden (altså i år 2014) er 12 gram af det radioaktive stof.
Tallet 0,97 (fremskrivningsfaktoren) betyder, at massen af det radioaktive stof hvert år (efter
2014) reduceres til 97 % af massen i det forrige år. Massen aftager med andre ord 3 % hvert år
efter 2014, idet vækstraten , svarende til en årlig reduktion på 3 %, da
.
b)
defineres:
0.97
Halveringstiden (halveringskonstanten) kan bestemmes som:
Halveringstiden for det radioaktive stof er således bestemt til:
(4.2.1)(4.2.1)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 10
a)
Forskriften for defineres:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet ( ) kan bestemmes med tangentligningen:
Indsættes x-koordinaten for punktet , kan en ligning for tangenten bestemmes:
En ligning til grafen for i punktet er således:
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at
løse ligningen:
Vi foretager en funktionsanalyse:
Vi kan dermed konkludere:
(5.1.3)(5.1.3)
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
(5.1.4)(5.1.4)
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres:
For at bestemme en forskrift til den stamfunktion til , hvis graf går gennem punktet (4,10),
bestemmes først det ubestemte integrale:
hvor k er integrationskonstanten. Forskriften defineres:
Værdien for , så grafen for går gennem (4,10) bestemmes ved at indsætte punktets
koordinater i forskriften for og løse ligningen mht. :
Resultatet betyder, at en forskrift til den stamfunktion til , hvis graf går gennem punktet
(4,10) er bestemt til:
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.2)(6.1.2)
Opgave 12
a)
Det forventede antal for intervallerne bestemmes som den forventede procentdel for hvert interval
anvendt på stikprøvens størrelse på 500 opkald fra kunder.
Fordelingen defineres:
Vi beregner det forventede værdier:
Vi indsætter værdierne i et skema:
Ventetid
(min)
Forventet
fordeling
%
Antal i
stikprøven
Forventet
antal (min)
De forventede værdier for fordelingen af ventetiden fremgår af ovenstående skema (markeret med
gult).
b)
Vi definere observationerne:
på fordelingen i stikprøven og det beregnede forventede antal.
Med en P-værdi på 0,017 forkastes nulhypotesen, da 0,017 . På et 5 % signifikansniveau
kan det således ikke udelukkes, at der er sket en ændring i fordelingen af ventetiden for betjening
af telesupportscenterets kunder, der ringer til telesupportscenteret.
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.2)(7.1.2)
Opgave 13
a)
Af de viste tegninger, hvor porten er vist i et koordinatsystem, samt de anførte mål (i cm), kan tre
punkter på grafen for aflæses til:
Den anførte forskrift for (som der skal redegøres for) er et andengradspolynomium, hvorfor
forskriften for gennem de tre aflæste punkter, kan bestemmes vha. en polynomisk regression.
(7.1.3)(7.1.3)
(7.2.1)(7.2.1)
Følgende forskrift fremkommer for :
Da tallet er meget tæt på 0, kan vi konkludere at forskriften kan skrives som:
b)
Arealet af garageporten er lig med arealet af den punktmængde, der afgrænses af grafen for ,
koordinatsystemets førsteakse og de lodrette linjer gennem x=-120 og x=120.
Arealet kan således bestemmes som værende lig med integralet:
Arealet af garageporten er således bestemt til: