Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
1
STX Matematik B
22. maj 2015
Delprøven med hjælpemidler
1stx151-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
2
Løsning med WordMat
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Først beregnes de kumulerede frekvenser med Excel
Alder
30-40
40-50
50-60
60-70
Sum
Antal
28738
13128
6608
5169
53643
Frekvens
54%
24%
12%
10%
Kumuleret frekvens
54%
78%
90%
100%
Som er beregnet på følgende måde:
Alder
30-40
40-50
50-60
60-70
Sum
Antal
28738
13128
6608
5169
=SUM(B2:E2)
Frekvens
=B2/$F$2
=C2/$F$2
=D2/$F$2
=E2/$F$2
Kumuleret frekvens
=B3
=B4+C3
=C4+D3
=D4+E3
Man kan vise beregninger i Excel ved at vælge ”Formler” / ”Vis formler”.
Sumkurven tegnes nu med WordMat (Faneblad ”Graftegning” - Statistik - Sumkurve):
0%
25%
50%
75%
100%
70 75
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
3
b)
Kvartilsættet bliver også beregnet i skabelonen:
Nedre
34,63
Median
39,259
Øvre
48,75
For at bestemme hvor stor en procentdel af københavnerne over 55 år, der har taget en lang videregående
uddannelse bestemmes y-værdien til sumkurven for x = 55.
Tip: Stregerne på figuren er indtegnet med ”Indsæt”, ”Figurer”.
y-værdien aflæses til 84%, hvilket betyder at 84% af københavnerne i aldersgruppen 30-55 år ud af alle i
aldersgruppen 30-70 år har en lang videregående uddannelse.
Det betyder at af alle københavnere i aldersgruppen 55-70 år har en lang
videregående uddannelse.
Ud fra det givne data er det ikke muligt at bestemme hvor mange københavnere over 55 år, der har en lang
videregående uddannelse, da data ikke siger noget om personer over 70 år.
Obs. Der er højst sandsynligt en fejl i opgaven, siden man bliver spurgt om noget man ikke kan løse.
0%
25%
50%
75%
100%
70 75
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
4
Opgave 8
a)
Længden af kanterne bestemmes med WordMat:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 39° , B = 21° , AB = 79
A = 39°
C = 120°
B = 21°
CB = 57,40745
AB = 79
AC = 32,69081
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne CB og AC findes vha. sinusrelationerne
Ud fra dette output kan vi dermed bestemme længderne af de skrå kanter, hvor de her afrundes til en
decimal:
b)
Højden indtegnes i figuren og punktet hvor højden rammer linjen AB kaldes for H.
Trekant ACH er nu en retvinklet trekant, og vi kan bestemme de ukendte sider med WordMat:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 39° , H = 90° , AC = 32,69081
A
C
B
CB
AB
AC
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
5
A = 39°
C = 51°
H = 90°
CH = 20,57299
AH = 25,40553
AC = 32,69081
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden CH findes vha. sinus
Længden af siden AH findes vha. cosinus
Vi finder dermed at højden af bærerammen er 25,5 m afrundet til en decimal.
c)
For at bestemme vinkel D i trekant ACD anvendes igen WordMat’s trekantløser:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 39° , AD = 37 , AC = 32,69081
A = 39°
C = 80,40461°
D = 60,59539°
CD = 23,61524
AD = 37
AC = 32,69081
Længden af siden CD findes vha. en cosinusrelation
Vinkel C findes vha. en cosinusrelation
A
C
H
CH
AH
AC
A
C
D
CD
AD
AC
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
6
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Dermed får vi at vinkel D er lig 60,6 afrundet til en decimal.
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
7
Opgave 9
a)
Tabellen over årstal og antallet af internetopkoblede apparater indtastes i en tabel og antal år efter 2010
beregnes. Den angivne model for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene og kan
bestemmes vha. en eksponentiel regression over tabellens data. Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands.
- Regression - Eksponentiel):
Årstal
Tidspunkt
Antal apparater (i mia)
2010
0
1,1
2011
1
1,3
2012
2
1,8
2013
3
2,3
2015
4
3,2
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,990272
Af den fundne forskrift for udviklingen aflæses værdierne for henholdsvis og til:
b)
Det fundne tal a er fremskrivningsfaktoren for udviklingen. Fremskrivningsfaktoren kan omregnes til en
vækstrate på følgende måde (formel 54):
Dermed har vi at . Dette betyder at antallet af internetopkoblede
elektroniske apparater, som ikke er smartphones ifølge modellen vokser med 31,1% om året.
c)
Vi definerer forskriften for og ved hjælp af WordMat
Da tiden er større end eller lig 0 definerer vi også følgende betingelse:
Hvornår antallet af internetopkoblede elektroniske apparater, som ikke er smartphones, overstiger antallet
af smartphones kan beregnes ved først at indtegnes graferne for f og g i et koordinatsystem. Dette gøres med
WordMat / Vis Graf / GnuPlot
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
8
Ud fra graferne ses det at grafen for f ligger under grafen for g indtil et tidspunkt, hvor graferne krydser.
Herefter ligger grafen for f over grafen for g.
For at bestemme tidspunktet for hvornår graferne krydser løses ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Efter 8,94 år overstiger antallet af internetopkoblede elektroniske apparater, som ikke er smartphones,
antallet af smartphones.
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
9
Opgave 10
En nulhypotese, som kan undersøges er:
Der er ingen sammenhæng mellem at være hjulbenet og spille fodbold.
Nulhypotesen undersøges på et 5% signifikansniveau med en
test vha. WordMat (Statistik/.sands. - Test
-
test), hvor observationerne indtastes.
χ²-test
Observationer
I alt
Forventede
I alt
15
65
80
11,37615
68,62385
80
16
122
138
19,62385
118,3761
138
I alt
31
187
218
31
187
218
P-værdi:
14,48%
Der er ikke en sammenhæng
Signifikans
niveau:
5%
Frihedsgrader:
1
Q-værdi:
2,125878
1,1543726
0,1913666
0,6692015
0,1109371
Kritisk Q-værdi:
3,841459
Ud fra outputtet kan vi aflæse
-teststørrelsen til 2,13 afrundet til to decimaler.
Denne aflæses i det første felt, til højre for der hvor der står Q-værdi.
Med 1 frihedsgrad, giver dette en p-værdi på .
Ved et signifikansniveau på 5 % kan vi ikke forkaste
, da p-værdien er over 5 %. Dvs., at vi ved det
signifikansniveau fastholder
, som siger, at der ikke er en sammenhæng mellem at spille fodbold og være
hjulbenet.
Hvis man gerne vil konkludere i ord, kan man skrive følgende:
”Vi kan med 5 % signifikansniveau dermed ikke afvise, at der ikke er en sammenhæng mellem at være
hjulbenet og spille fodbold.”
Her skal man altså holde tungen lige i munden. Det vil nemlig være forkert at skrive at:
”Konklusionen er, at der ikke er en sammenhæng mellem at spille fodbold og være hjulbenet”
Det kan man nemlig ikke konkludere ud fra en statistisk test. Vi kan fastholde vores hypotese, men det er
altså stadig en hypotese, og altså noget vi ikke er sikre på. Man kan kun konkludere, hvis der er en
sammenhæng. Altså hvis
forkastes.
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
10
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres i WordMat:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet er givet ved (formel 70)
En ligning for tangenten for f i punktet P(0,f(0)) er dermed givet ved:
b)
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
-3
5
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallet
f er aftagende i intervallet og
f har lokalt minimum for
f har lokalt maksimum for .
Situationen indtegnes i grafen
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
11
Grafen er ikke en nødvendig del af besvarelsen, men det er en god kontrol til at se om du har lavet en
korrekt undersøgelse af monotoniforholdene.
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
12
Opgave 12
a)
Forskriften for funktionerne defineres vha. WordMat:
Den faktiske muskelbelastning, når den oplevede muskelbelastning er 2, kan bestemmes ved at løse
følgende ligning:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den faktiske muskelbelastning er altså 1,5 afrundet til en decimal, når den oplevede belastning er 2. Det vil
sige at man ifølge modellen faktisk løfter mindre, end det man tror man løfter.
b)
Når den faktiske belastning øges med 50%, så øges den oplevede muskelbelastning med:
Når den faktiske belastning øges med 50 %, så øges den oplevede muskelbelastning øges med
.
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
13
Opgave 13
a)
Funktionen defineres:
Grafen for f indtegnes ved hjælp af WordMat / VisGraf / GnuPlot:
I ovenstående graf er punktmængden M således den mængde, der begrænses opadtil af grafen for f og
nedadtil af førsteaksen.
Grafens skæringspunkter med x-aksen bestemmes ved at løse ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Arealet af M kan (jf. formel 96) bestemmes ved formlen:
Arealet af punktmængden M er dermed 133,33 afrundet til to decimaler.
Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
14
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Observationerne defineres:
De kumulerede frekvenser beregnes. Værdierne ses i kolonnen yderst til højre:
"frekvenstabel0"
Observation
Hyppighed
Frekvens (%)
Kumuleret (%)
30 .. 40
28738
53.570
53.600
40 .. 50
13128
24.470
78.000
50 .. 60
6608
12.320
90.400
60 .. 70
5169
9.636
100.000
Sumkurven tegnes:
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Observationerne defineres:
De kumulerede frekvenser beregnes. Værdierne ses i kolonnen yderst til højre:
"frekvenstabel0"
Observation
Hyppighed
Frekvens (%)
Kumuleret (%)
30 .. 40
28738
53.570
53.600
40 .. 50
13128
24.470
78.000
50 .. 60
6608
12.320
90.400
60 .. 70
5169
9.636
100.000
Sumkurven tegnes:
(1.2.1)(1.2.1)
b)
Kvartilsættet bliver beregnet i plottet af sumkurven:
Kvartiler =
For at bestemme hvor stor en procentdel af københavnerne over 55 år, der har taget en lang
videregående uddannelse bestemmes y-værdien til sumkurven for x = 55. Vi fører musen over
sumkurven og kopierer datasættet på sumkruven, hvor x=55:
y-værdien aflæses til 84%, hvilket betyder at 84% af københavnerne i aldersgruppen 30-55 år
ud af alle i aldersgruppen 30-70 år har en lang videregående uddannelse.
Det betyder at af alle københavnere i aldersgruppen 55-70 år har en
lang videregående uddannelse.
Ud fra det givne data er det ikke muligt at bestemme hvor mange københavnere over 55 år, der
har en lang videregående uddannelse, da data ikke siger noget om personer over 70 år.
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.3.1)(2.3.1)
Opgave 8
a)
Længden af kanterne bestemmes vha. gympakkens trekantsløser:
Ud fra dette output kan vi dermed bestemme længderne af de skrå kanter, hvor de her afrundes
til en decimal:
b=|AC|=33,0 m
a=|BC|=57,4 m
b)
Højden indtegnes i figuren og punktet hvor højden rammer linjen AB kaldes for H. Trekant
ACH er nu en retvinklet trekant, og vi kan bestemme de ukendte sider:
Vi finder dermed at højden af bærerammen er 25,4 m afrundet til en decimal.
c)
Dermed får vi at vinkel D er lig 60,6° afrundet til en decimal.
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.3)(3.1.3)
Opgave 9
a)
Dataet i tabellen defineres:
Den angivne model for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene a og b kan
bestemmes vha. en eksponentiel regression over tabellens data:
Af den fundne forskrift for udviklingen aflæses værdierne for henholdsvis a og b til:
1.0482
1.3108
b)
Det fundne tal a er fremskrivningsfaktoren for udviklingen. Fremskrivningsfaktoren kan
(3.3.2)(3.3.2)
(3.3.1)(3.3.1)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.2.2)(3.2.2)
omregnes til en vækstrate på følgende måde:
000
00
Dette betyder at antallet af internetopkoblede elektroniske apparater, som ikke er smartphones
ifølge modellen vokser med 31,1% om året.
c)
Vi definerer forskriften for og
Hvornår antallet af internetopkoblede elektroniske apparater, som ikke er smartphones,
overstiger antallet af smartphones kan beregnes ved først at indtegne graferne for og i et
koordinatsystem:
Ud fra graferne ses det at grafen for f ligger under grafen for g indtil et tidspunkt, hvor
(3.3.3)(3.3.3)
graferne krydser. Herefter ligger grafen for f over grafen for g.
For at bestemme tidspunktet for hvornår graferne krydser løses ligningen:
Efter 8,94 år overstiger antallet af internetopkoblede elektroniske apparater, som ikke er
smartphones, antallet af smartphones.
(4.1.1)(4.1.1)
Opgave 10
a)
En nulhypotese, som kan undersøges er:
: Der er ingen sammenhæng mellem at være hjulbenet og spille fodbold.
Vi definerer dataet:
Nulhypotesen undersøges på et 5% signifikansniveau med en test:
Ud fra outputtet kan vi aflæse -teststørrelsen til 2,13 afrundet til to decimaler.
Med 1 frihedsgrad, giver dette en p-værdi på 14,48 %.
Ved et signifikansniveau på 5 % kan vi ikke forkaste , da p-værdien er over 5 %. Dvs., at vi
ved det signifikansniveau fastholder , som siger, at der ikke er en sammenhæng mellem at
spille fodbold og være hjulbenet.
(5.1.2)(5.1.2)
(5.2.1)(5.2.1)
(5.1.1)(5.1.1)
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
Tangenten til grafen for i punktet
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved
at løse ligningen:
Vi foretager en funktionsanalyse:
Vi kan dermed konkludere:
(6.2.2)(6.2.2)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.2.1)(6.2.1)
(6.1.2)(6.1.2)
Opgave 12
a)
defineres:
Den faktiske muskelbelastning, når den oplevede muskelbelastning er 2, kan bestemmes ved at
løse følgende ligning:
54
Den faktiske muskelbelastning er altså 1,5 afrundet til en decimal, når den oplevede belastning
er 2. Det vil sige at man ifølge modellen faktisk løfter mindre, end det man tror man løfter.
b)
Når den faktiske belastning øges med 50%, så øges den oplevede muskelbelastning med:
60
0
Når den faktiske belastning øges med 50 %, så øges den oplevede muskelbelastning øges med
99%
(7.1.1)(7.1.1)
(7.1.2)(7.1.2)
Opgave 13
a)
Funktionen defineres og grafen tegnes:
I ovenstående graf er punktmængden således den mængde, der begrænses opadtil af grafen
for og nedadtil af førsteaksen.
Grafens skæringspunkter med x-aksen bestemmes ved at løse ligningen:
Arealet af kan bestemmes ved formlen:
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.4)(7.1.4)
at 5 digits
Arealet af punktmængden er dermed 133,33 afrundet til to decimaler.