Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
STX Mat B - Opgaver uden hjælpemidler - 22. maj 2015
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til
Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Opgave 1
Ligningen løses:
4x − 7 = 81
m
4x = 81 + 7
m
x =
81 + 7
4
=
88
4
= 22
Opgave 2
Den beskrevne sammenhæng mellem vægt og antallet af uger siden starten af slankekuren
er en lineær sammenhæng. Modellen herfor er f (x) = ax + b (jf. formel 35)
Her angiver b = 87 startværdien, altså vægten personen har når slankekuren begynder
til tiden x = 0. Personen vejer altså 87 kg før slankekuren begynder. a = −0, 45 er hæld-
ningskoefficienten, som angiver hvor meget funktionen vokser eller aftager pr. tidsenhed.
Her betyder −0, 45 at personen ifølge modellen taber sig 0,45 kg. pr. uge.
Opgave 3
Da der er tale om en andengradsligning med a = 1, b = 3, c = −10, starter vi med at
beregne diskriminanten, d = b
2
− 4ac.
d = 3
2
− 4 · 1 · (−10) = 9 + 40 = 49
Da d > 0 betyder det, at ligningen har to løsninger, som er givet ved:
x =
−b ±
√
d
2a
Vi beregner den første løsning
x
1
=
−3 +
√
49
2 · 1
=
−3 + 7
2
=
4
2
= 2
Vi beregner den anden løsning
x
2
=
−3 −
√
49
2 · 1
=
−3 − 7
2
=
−10
2
= −5
Løsningerne til ligningen er dermed givet ved x = 2 ∨ x = −5
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
Opgave 4
Arealet af en trekant kan beregnes med formlen (jf. formel Se side 22 i formelsamlingen):
A =
1
2
hg
Da vi kender arealet og en højde i trekanten, kan vi beregne længden af grundlinjen |AC|
til denne højde ved at løse ligningen.
24 =
1
2
· 6 · |AC|
m
|AC| =
24
3
= 8
Da trekanten er retvinklet, kan vi nu bestemme længden af den sidste side ved hjælp af
Pythagoras’ sætning (jf. formel 21).
|AB|
2
= |BC|
2
+ |AC|
2
= 6
2
+ 8
2
= 36 + 64 = 100
⇓
|AB| =
√
100 = 10
Opgave 5
Da a > 0 betyder det, at grafen for f ’smiler’.
Da d > 0 betyder det, at grafen for f skærer x-aksen to steder.
Da c < 0 betyder det, at grafen skærer y-aksen under x-aksen.
En mulig graf for f er dermed:
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx151-MAT/B-
Opgave 6
Først bestemmes en stamfunktion til f :
Først anvendes (jf. formel 88,89,90).
F (x) =
Z
(4x
3
− 9x
2
+ 1) dx = 4
Z
x
3
dx − 9
Z
x
2
dx +
Z
1 dx
(jf. formel 84,87)
= (4 ·
1
4
x
4
+ c
1
) − (9 ·
1
3
x
3
+ c
2
) + (x + c
3
)
= x
4
− 3x
3
+ x + c
Hvor c er integrationskonstanten givet ved c = c
1
+ c
2
+ c
3
.
For at bestemme den stamfunktion, hvis graf gør gennem punktet P (1, 12) indsættes
punktet i den generelle form for stamfunktionen, og løses for c:
12 = 1
4
− 3 · 1
3
+ 1 + c
m
c = 12 − (1
4
− 3 · 1
3
+ 1)
= 12 − (1 − 3 + 1)
= 13
En forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf gør gennem punktet P (1, 12) er dermed:
F (x) = x
4
− 3x
3
+ x + 13
3