Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
1
STX Matematik B
27. maj 2014
Delprøven med hjælpemidler
2stx141-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple
TM
...................................................................................................................................... 12
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
2
Løsning med WordMat
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Den angivne model for sammenhængen er lineær.
Tabellen oprettes i MS Excel, hvor antal år efter 2006 bestemmes som differensen mellem det aktuelle
årstal og 2006. Tabellen kopieres herefter over i MS Word og der foretages en lineær regression over
tabellens data, hvorved værdierne for og bestemmes.
Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - regression - Lineær).
År
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
År efter 2006
0
1
2
3
4
5
6
Procent del
36,5
37,8
39,0
40,7
41,1
42,2
43,2
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9852772
Som det fremgår af regressionens resultat, er værdierne for og bestemt til:
Resultaterne er afrundet til to decimaler.
b)
Forskriften for sammenhængen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Procentdelen i 2015 (9 år efter 2006) kan bestemmes som tallet :
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Procentdelen i 2015 af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, er således
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
3
Det år, hvor procentdelen når op på 50 %, kan bestemmes ved at løse ligningen
.
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det år, hvor procentdelen af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, når op på 50 %,
er således i slutning af det 11’te år efter 2006, - altså i slutningen af
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
4
Opgave 8
a)
Den lodrette afstand fra sædet til gulvet er lig med højden i den grå trekant på skitsen.
Da trekanten er ligesidet, deler højden grundlinjen i to lige store stykker, hver på 15 cm.
Højden (afstanden) kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning på den ene af de retvinklede
grå trekanter, hvor hypotenusen er 50 cm og den kendte katete (det halve sæde) er 15 cm.
Med Pythagoras’ sætning
kan en katete (fx ) bestemmes som: jf. formel 21
Kaldes for højden og indsættes samt , kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn):
Den lodrette afstand fra sædet til gulvet er således bestemt til:
b)
Benyttes hypotenusen på 50 cm i den retvinklede grå trekant, der indeholder vinkel samt den
hosliggende katete på 15 cm, der udgør det halve sæde, kan bestemmes som: jf. formel 22
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Vinkel mellem sædet og den skrå flade mod gulvet er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
c)
Vinklen mellem sædet og ryglænet kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant)
og de kendte sider i den trekant, hvor den længste side udgøres af den stiplede linje på skitsen.
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 61, b = 30, c = 50
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
5
A = 96,14241°
B = 29,27355°
C = 54,58404°
a = 61
b = 30
c = 50
Den søgte vinkel er, på tegningen herover, repræsenteret af vinkel .
Af resultatet fremgår det, at Vinklen mellem sædet og ryglænet er
Resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
C
a
b
c
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
6
Opgave 9
a)
Modellen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Verdens befolkningstal i 2015 (65 år efter 1950) kan bestemmes som tallet :
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Verdens befolkningstal i 2015 forudsiges således til at blive mennesker if. modellen.
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Der er tale om en eksponentielt voksende model.
Tallet (målt i mio.) var befolkningstallet i 1950.
Tallet er fremskrivningstallet for den eksponentielt voksende udvikling i befolkningstallet.
Vækstraten , svarende til , er den procentvise årlige forøgelse
af befolkningstallet efter 1950. jf. formel 54
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
7
Opgave 10
a)
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Grafen for kan tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - Gnu plot), hvor intervallet for
også kan angives.
Tidspunktet , hvor der er 4000 individer i populationen, kan bestemmes ved at løse
ligningen
. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tidspunktet , hvor der er 4000 individer i populationen er således bestemt til
Resultatet er angivet med én decimal.
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
8
b)
Tallet kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).
Afrundet til et helt antal dyr, er tallet således bestemt til:
individer
Tallet
betyder, at populationen til tiden forøges med 112 individer om ugen.
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
9
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Tværsnitsarealet af trælisten kan bestemmes som integralet: jf. formel 96
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Tværsnitsarealet af trælisten er således bestemt til:
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
10
Opgave 12
a)
Nulhypotesen, der bruges til at teste, om oplevelsen af virkningen af den nye vaccine er uafhængig af dosis:
Der er uafhængighed mellem resultatet af den oplevede virkning af vaccinen
og dosis af vaccinen.
Vha. WordMat (Statistik/sands. - Test -
test) indtastes de observerede værdier i MS Excel, der på
baggrund heraf opstiller en tabel med de forventede værdier, som kopieres over i MS Word.
Tabel over de forventede værdier.
bedre
ingen
værre
Forventede
I alt
grp.1
65
75
60
200
grp.2
65
75
60
200
grp.3
65
75
60
200
195
224
181
600
b)
Det førnævnte Excel-ark (via WordMat) fremkom med følgende resultat af
testen.
Signifikansniveauet var sat til 1 % i overensstemmelse med opgaveteksten.
χ²-test
bedre
ingen
værre
Observationer
I alt
Gruppe 1
55
70
75
200
Gruppe 2
62
76
62
200
Gruppe 3
78
78
44
200
I alt
195
224
181
600
P-værdi:
1,24%
Der er ikke en sammenhæng
Signifikans
niveau:
1%
Frihedsgrader:
4
Q-værdi:
12,77436
1,5384615
0,2916667
3,5653775
0,1384615
Kritisk Q-værdi:
13,2767
Med en -værdi på 1,24 % (>1 %) accepteres nulhypotesen
.
Der kan således ikke afvises, med et signifikansniveau på 1 %, at der er uafhængighed mellem resultatet af
den oplevede virkning af vaccinen og den den dosis vaccine, de fik.
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
11
Opgave 13
a)
Forskriften for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Ligningen
løses vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det er således bestemt, at ligningen
har løsningerne:
b)
Hældningskoefficienten for tangenten til grafen for funktionen i punktet
er lig med differentialkvotienten
. jf. formel 70
Derfor kan førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne og , for de to tangenterne (til grafen for ),
der har hældningskoefficienten 9, bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Eksakt) benyttes.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det kan således konkluderes, at førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne og , for de to
tangenterne, der har hældningskoefficienten 9, er således bestemt til:
Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
12
Løsning med Maple
TM
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Den angivne model for udviklingen er en lineær model, og vi foretager derfor en lineær regression
af modellen.
Værdierner for a og b er følgende:
(1.1.4)(1.1.4)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
5714286
0000000
b)
Forskriften for sammenhængen defineres:
Procentdelen i 2015 (9 år efter 2006) kan bestemmes som tallet :
71
Procentdelen i 2015 af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, er således 46,
7%.
Det år, hvor procentdelen når op på 50 %, kan bestemmes ved at løse ligningen
94
Det år, hvor procentdelen af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, når op på
(2.1.3)(2.1.3)
(2.3.1)(2.3.1)
(2.2.1)(2.2.1)
(2.1.1)(2.1.1)
(2.1.2)(2.1.2)
Opgave 8
a)
Den lodrette afstand fra sædet til gulvet er lig med højden i den grå trekant på skitsen. Da
trekanten er ligesidet, deler højden grundlinjen i to lige store stykker, hver på 15 cm. Højden
grå trekanter, hvor hypotenusen er 50 cm og den kendte katete (det halve sæde) er 15 cm. Vi
definerer kateten og hypotenusen :
15
50
Kateten bestemmes som:
Den lodrette afstand fra sædet til gulvet, , er således bestemt til:
b)
Benyttes hypotenusen på 50 cm i den retvinklede grå trekant, der indeholder vinkel samt den
hosliggende katete på 15 cm, der udgør det halve sæde, kan bestemmes som:
88
Vinkel v mellem sædet og den skrå flade mod gulvet er således bestemt til: =72,5°
c)
trekantløser:
Af resultatet fremgår det, at Vinklen mellem sædet og ryglænet er 96,1°.
(3.1.2)(3.1.2)
(3.2.1)(3.2.1)
(3.1.1)(3.1.1)
Opgave 9
a)
Modellen defineres:
Verdens befolkningstal i 2015 (65 år efter 1950) kan bestemmes som tallet (65):
71
Verdens befolkningstal i 2015 forudsiges således til at blive 7735,5 mio. mennesker if. modellen.
b)
Der er tale om en eksponentielt voksende model. Tallet 2586 (målt i mio.) var befolkningstallet i
1950. Tallet 1,017 er fremskrivningstallet a for den eksponentielt voksende udvikling i
befolkningstallet.
Vækstraten beregnes:
Vækstraten svarende til 17 %, er den procentvise årlige forøgelse af befolkningstallet efter 1950.
(4.1.1)(4.1.1)
(4.1.2)(4.1.2)
Opgave 10
a)
Forskriften for defineres:
Grafen for kan tegnes:
Tidspunktet t, hvor der er 4000 individer i populationen, kan bestemmes ved at løse ligningen
=4000:
64
(4.2.1)(4.2.1)
Tidspunktet , hvor der er 4000 individer i populationen er således bestemt til 8,5 uger.
b)
Tallet kan bestemmes:
57
Afrundet til et helt antal dyr, er tallet således bestemt til: individer. Tallet
2 betyder, at populationen til tiden =10 forøges med 112 individer om ugen.
(5.1.2)(5.1.2)
(5.1.1)(5.1.1)
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres:
Tværsnitsarealet af trælisten kan bestemmes som integralet:
Tværsnitsarealet af trælisten er således bestemt til:
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.8)(6.1.8)(6.1.6)(6.1.6)
(6.1.9)(6.1.9)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.1.1)(6.1.1)
(6.1.7)(6.1.7)
(6.1.5)(6.1.5)
(6.1.3)(6.1.3)
Opgave 12
a)
Nulhypotesen, der bruges til at teste, om oplevelsen af virkningen af den nye vaccine er
uafhængig af dosis:
: Der er uafhængighed mellem resultatet af den oplevede virkning af vaccinen og dosis af
vaccinen.
Vi definerer de observerede værdier:
De forventede værdier bestemmes:
Vi indsætter de forventede værdier i en tabel:
Forbedring Ingen virkning Forværring I alt
Gruppe 1
200.000
Gruppe 2
200.000
Gruppe 3
200.000
I alt
195
00
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.8)(6.1.8)(6.1.6)(6.1.6)
(6.1.9)(6.1.9)
(6.1.4)(6.1.4)
(6.1.7)(6.1.7)
(6.1.5)(6.1.5)
(6.1.3)(6.1.3)
600.000
b)
For at undersøge nulhypotesen på et 1 % signifikansniveau foretages en -test:
Med en P-værdi på accepteres nulhypotesen .
Der kan således ikke afvises, med et signifikansniveau på 1 %, at der er uafhængighed mellem
resultatet af den oplevede virkning af vaccinen og den den dosis vaccine, de fik.
(7.2.1)(7.2.1)
(7.1.2)(7.1.2)
(7.1.1)(7.1.1)
Opgave 13
a)
Forskriften for defineres:
Ligningen løses:
Det er således bestemt, at ligningen har løsningerne:
b)
Hældningskoefficienten for tangenten til grafen for funktionen i punktet er lig med
differentialkvotienten .
Derfor kan førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne A og B, for de to tangenterne (til grafen
for ), der har hældningskoefficienten 9, bestemmes ved at løse ligningen:
Det kan således konkluderes, at førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne og , for de to
tangenterne, der har hældningskoefficienten 9, er således bestemt til: og