Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
Opgaver uden hjælpemidler - 27. maj 2014
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Hældningskoefficienten a for grafen den lineære funktion f (x) = ax + b gennem
punkterne A(−2, 1) og B(4, 13) kan bestemmes ved at indsætte punkternes koordinater i
nedenstående formel:
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
(formel 36)
punkterne indsættes
a =
13 − 1
4 − (−2)
m
a =
12
6
m
a = 2
Værdien for konstanten b kan bestemmes ved at indsætte den fundne værdi for a samt
koordinaterne for det ene punkt, fx A(−2, 1), i modellen for den lineære funktion:
y = ax + b
kendte værdier indsættes
1 = 2 · (−2) + b
m
1 = −4 + b
m
b = 5
En forskrift for den lineære funktion gennem punkterne A(−2, 1) og B(4, 13) er således:
y = 2x + 5
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
Opgave 2
Da trekanterne ABC og DEF er ensvinklede (ligedannede), gælder det, at forholdet
mellem to ensbeliggende sider i de to trekanter vil være lig med forholdet mellem to andre
ensbeliggende sider i de to trekanter.
Længden af siden DE kan derfor bestemmes som:
|DE|
|AB|
=
|EF |
|BC|
(formel 19,20)
m
|DE| =
|AB| · |EF |
|BC|
m kendte værdier indsættes
|DE| =
1, 5 · 6
2
m
|DE| = 4, 5
Længden af siden DE er således bestemt til: |DE| = 4, 5
Opgave 3
Den afledede funktion f
0
bestemmes først:
f
0
(x) =
2x
3
+ 4x + 7
0
m (formel 72)
f
0
(x) =
2x
3
0
+ (4x)
0
+ (7)
0
|{z}
k
0
=0
m (formel 78)
f
0
(x) = 3 · 2 · x
3−1
+ 1 · 4 · x
1−1
+ 0
m
f
0
(x) = 6x
2
+ 4x
0
m x
0
= 1
f
0
(x) = 6x
2
+ 4
Tallet f
0
(1) bestemmes ved at indsætte x = 1 i forskriften for f
0
f
0
(1) = 6 · 1
2
+ 4
m
f
0
(1) = 10
Tallet f
0
(1) er således bestemt til: f
0
(1) = 10
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
Opgave 4
Koordinatsættet til toppunktet for parablen med y = ax
2
+ bx + c kan bestemmes som:
T
p
(x, y) =
−b
2a
,
−d
4a
, hvor: d = b
2
− 4ac (formel 37)
Givet parablen:
f(x) = 4x
2
− 8x + 2
kan koordinatsættet til toppunktet bestemmes ved indsættelse af a = 4, b = −8 og c = 2
i ovenstående toppunktsformel.
T
p
(x, y) =
−b
2a
,
−d
4a
kendte værdier indsættes
T
p
(x, y) =
−(−8)
2 · 4
,
−((−8)
2
− 4 · 4 · 2)
4 · 4
!
m
T
p
(x, y) =
8
8
,
−32
16
m
T
p
(x, y) = (1, −2)
Koordinatsættet til toppunktet er således bestemt: T
p
(1, −2)
Opgave 5
x og y er omvendt proportionale, når:
x · y = k (formel 6)
Proportionalitetsfaktoren k kan bestemmes vha. oplysningen i tabellen:
x = 10 ⇔ y = 4
hvilket indsættes i sammenhængen:
k = x · y
værdierne indsættes
k = 10 · 4
m
k = 40
Den manglende y-værdi i tabellen, når x = 20, kan nu bestemmes som:
y = k ·
1
x
(formel 6)
værdierne indsættes
y = 40 ·
1
20
m
y = 2
Således er værdien i det tomme felt: y = 2
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-
Tabellen med den manglende y-værdi indskrevet:
Opgave 6
Først bestemmes det ubestemte integrale: (formel 87)
hvor k er integraktionskonstanten.
F (x) =
Z
6x
2
− 8x
dx + k
m (formel 90)
F (x) =
Z
6x
2
dx −
Z
8x dx + k
m
F (x) =
Z
6x
2
dx −
Z
8x
1
dx + k
m (formel 84)
F (x) =
6
2 + 1
· x
2+1
−
8
1 + 1
· x
1+1
+ k
m
F (x) = 2x
3
− 4x
2
+ k
En forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P (2, 13) kan be-
stemmes ved indsættelse af punktets koordinater i det ubestemte integrale og herefter løse
den fremkomne ligning mht. k.
F (x) = 2x
3
− 4x
2
+ k
m koordinaterne indsættes
13 = 2 · 2
3
− 4 · 2
2
+ k
m
13 = 16 − 16 + k
m
k = 13
En forskrift for den stamfunktion til til f, hvis graf går gennem punktet P (2, 13),
er således bestemt:
F (x) = 2x
3
− 4x
2
+ 13
4