Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
1
STX Matematik B
28. maj 2015
Delprøven med hjælpemidler
2stx151-MAT/B-
Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2
Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
2
Løsning med WordMat
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Tabellen over løbetiden i testløbet og løbetiden i halvmaratonen indtastes i en tabel. Den angivne model
for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene og kan bestemmes
vha. en eksponentiel regression over tabellens data. Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression
- Eksponentiel):
x
y
16
76
19
87
23
107
25
119
28
139
31
160
35
202
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9991349
Af den fundne forskrift for udviklingen aflæses værdierne for henholdsvis og til:
b)
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Den forventede løbstid i halvmaratonen når løbstiden i testløbet er 30 min, bestemmes som vha.
WordMat (CAS - Beregn):
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
3
Når løberens løbetid i testløbet er 30 min, siger modellen at løberens tid på et halvmaraton vil være 154,05
min.
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
4
Opgave 8
a)
En skitse af trekant ABC og Vinkel i trekant kan bestemmes med WordMat’s trekantløser (Diverse -
Trekant):
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 9, b = 13, c = 7
A = 41,17108°
B = 108,0305°
C = 30,79838°
a = 9
b = 13
c = 7
Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinkel er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Da vi kender alle sider og vinkler kan vi bestemme trekantens areal T vha. følgende formel (formel 29):
Dermed er trekantens areal bestemt til afrundet til en decimal.
Husk at indsætte størrelser med så mange decimaler som muligt. Gradtallet skal ikke tages med når
vinkel A indsættes i sinus-funktionen.
For at bestemme længden af højden fra B, bruger vi at trekantens areal også kan bestemmes med formlen
(side 22 i formelsamlingen):
A
B
C
a
b
c
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
5
Hvor h er længden af højden og g er længden af grundlinjen i trekanten. For højden fra B er AC grundlinje
og vi får derfor følgende ligning, som vi løser med WordMat:
Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dermed er højden fra B bestemt til afrundet til en decimal.
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
6
Opgave 9
a)
Modellen for kloens vægt K som funktion af hele krabbens vægt M defineres i WordMat (CAS - Definitioner
- Definer funktion):
Vægten af kloen, hvis hele krabbens vægt er 400 mg kan bestemmes som:
Hvis hele krabbens vægt er 400 mg, så er kloens vægt ifølge modellen 121,5 mg afrundet til en decimal.
Vægten af hele krabben hvis kloens vægt er 53 mg, kan bestemmes ved at løse følgende ligning:
Ligningen løses for M vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvis kloens vægt er 53 mg, så er hele krabbens vægt ifølge modellen 216,9 mg afrundet til 1 decimal.
b)
Vi kan beregne hvor meget kloens vægt vokser, hvis krabbens vægt vokser med 30% = 0,3 ved følgende
udregning:
Dermed vokser kloens vægt med afrundet til en decimal.
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
7
Opgave 10
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
a)
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
kan bestemmes med tangentligningen:
(jf. formel 70)
Indsættes x-koordinaten for punktet
som
, kan en ligning for tangenten bestemmes vha.
WordMat (CAS - Beregn) som:
En ligning til grafen for i punktet
er således:
b)
For at kunne bestemme monotoniforholdene for , bestemmes først eventuelle ekstrema for .
Dette gøres ved at løses ligningen
vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunktet:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
0,823
+
0
-
↗
↘
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallet
f er aftagende i intervallet
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
8
f har lokalt maksimum for
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
9
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Grafen for tegnes vha. WordMat (Graftegning - Vis Graf - GnuPlot).
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
10
Husk at ændre Xmin og Xmax til definitionsmængden for f. (Se udklippet nedenfor)
b)
For at bestemme den alder hunkalkunen har, når den opnår sin maksimale vægt, bestemmes
montoniforholdene for f.
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
32,802
51,041
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
11
Ud fra denne monotonilinje kan f antage sit globale maksimum to steder, for eller Vi
beregner f’s værdi i de to punkter:
Hermed ses det at f antager sit globale maksimum i punktet
Dermed er hunkalkunen ifølge modellen 32,8 uger, afrundet til en decimal, når hun opnår sin maksimale
vægt.
c)
Tallet
bestemmes vha. WordMat
Det betyder at når hunkalkunen netop er 10 uger vil forøgelsen af hunkalkunens vægt være 155,73 gram pr.
uge.
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
12
Opgave 12
a)
Forskriften for funktionerne defineres vha. WordMat:
For at bestemme arealet af M skal skæringspunkterne mellem graferne for f og g bestemmes. Dette gøres
ved at løse ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da grafen for g ligger over grafen for f i intervallet [1,7] kan arealet af punktmængden kan nu bestemmes
vha. følgende formel (formel 97):
Dermed er arealet af M bestemt til 36.
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
13
Opgave 13
a)
Da vi her skal undersøge om en stikprøve følger en bestemt fordeling er der tale om et Goodness-of-fit test.
Nulhypotesen
er:
”Fordelingen af de indsamlede kerner er den samme som fordelingen i den biologiske model”
b)
For at undersøge nulhypotesen skal vi beregne de forventede værdier under H
0
. Antallet af observationer
er:
For eksempel forventer vi dermed at se
der er violette og glatte.
Tilsvarende forventer vi:
Nulhypotesen undersøges nu på et 5% signifikansniveau med en
GOF test vha. WordMat
(Statistik/.sands. - Test - Goodness of fit), hvor den observerede fordeling og den forventede fordeling
indtastes:
Nul-hypotese:
Obs.
Fordeling
Forventet
fordeling
Signifikans
niveau:
5%
648
642,9375
237
214,3125
P-værdi:
16%
195
214,3125
Konklusion:
Nul-hypotese
bekræftet
63
71,4375
På baggrund af testen bekræftes nulhypotesen med en P-værdi på 16% > 5%. Vi kan således ikke afvise at
stikprøvens fordeling er forskellig fra fordelingen i den biologiske model.
Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-
14
Løsning med Maple
Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at
skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til
besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen
formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!
(1.1.1)(1.1.1)
Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.
Opgave 7
a)
Vi definerer dataserien:
Tabellen over løbetiden i testløbet og løbetiden i halvmaratonen indtastes i en tabel. Den
angivne model for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene a og b kan
bestemmes
vha. en eksponentiel regression over tabellens data.
Værdierner for a og b er følgende:
(1.1.3)(1.1.3)
(1.2.1)(1.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.4)(1.1.4)
8382570
0259059
b)
Funktionen defineres:
Den forventede løbstid i halvmaratonen når løbstiden i testløbet er 30 min, bestemmes som
14
Når løberens løbetid i testløbet er 30 min, siger modellen at løberens tid på et halvmaraton vil
være 154,05 min.
(2.1.1)(2.1.1)
(2.2.5)(2.2.5)
(2.2.7)(2.2.7)
(2.2.2)(2.2.2)
(2.2.6)(2.2.6)
(2.2.1)(2.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(2.2.4)(2.2.4)
(2.2.3)(2.2.3)
Opgave 8
a)
En skitse af trekant ABC og vinkel A i trekant ABC kan bestemmes vha. gympakkens
trekantløser:
Vinkel A er således bestemt til: 41,2°
b)
Vi definerer de relevante kendte størrelserne i trekanten:
9
13
7
71
Da vi kender alle sider og vinkler kan vi bestemme trekantens areal T vha. følgende formel:
32
Dermed er trekantens areal bestemt til T=30,0 afrundet til en decimal. For at bestemme
længden af højden fra B, bruger vi at trekantens areal også kan bestemmes med formlen:
Hvor er længden af højden og g er længden af grundlinjen i trekanten. For højden fra B er
AC grundlinje og vi får derfor følgende ligning:
34
Dermed er højden fra B bestemt til =4,6 afrundet til en decimal.
(3.2.1)(3.2.1)
(3.1.1)(3.1.1)
(3.1.2)(3.1.2)
(3.1.3)(3.1.3)
(1.1.2)(1.1.2)
Opgave 9
a)
Modellen for kloens vægt K som funktion af hele krabbens vægt M defineres:
Vægten af kloen, hvis hele krabbens vægt er 400 mg kan bestemmes som:
63
Hvis hele krabbens vægt er 400 mg, så er kloens vægt ifølge modellen 121,5 mg afrundet til
en decimal.
Vægten af hele krabben hvis kloens vægt er 53 mg, kan bestemmes ved at løse følgende
ligning:
49
Hvis kloens vægt er 53 mg, så er hele krabbens vægt ifølge modellen 216,9 mg afrundet til 1
decimal.
b)
Vi kan beregne hvor meget kloens vægt vokser, hvis krabbens vægt vokser med 30% = 0,3
ved følgende udregning:
45
Dermed vokser kloens vægt med 1,427273-1=0,427273=42,7 % afrundet til en decimal.
(4.2.2)(4.2.2)
(4.1.2)(4.1.2)
(4.1.1)(4.1.1)
(4.2.1)(4.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Opgave 10
a)
Forskriften for defineres:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( ) kan bestemmes med
tangentligningen:
Indsættes x-koordinaten for punktet , kan en ligning for tangenten bestemmes:
En ligning til grafen for i punktet er således:
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved
at løse ligningen:
Vi foretager en funktionsanalyse:
(1.1.2)(1.1.2)
Vi kan dermed konkludere:
(5.1.1)(5.1.1)
(5.2.1)(5.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
Opgave 11
a)
Forskriften for defineres:
Grafen for tegnes:
b)
Vi bestemmer t-værdien til funktionens maksimum:
Dermed er hunkalkunen ifølge modellen 32,8 uger, afrundet til en decimal, når hun opnår sin
maksimale vægt.
c)
(1.1.2)(1.1.2)
(5.3.1)(5.3.1)
Tallet bestemmes:
155.7300
Det betyder at når hunkalkunen netop er 10 uger vil forøgelsen af hunkalkunens vægt være
155,73 gram pr. uge.
(6.1.4)(6.1.4)
(6.1.2)(6.1.2)
(6.1.3)(6.1.3)
(1.1.2)(1.1.2)
(6.1.1)(6.1.1)
Opgave 12
a)
Forskriften for funktionerne defineres:
For at bestemme arealet af M skal skæringspunkterne mellem graferne for og bestemmes.
Dette gøres ved at løse ligningen:
Da grafen for ligger over grafen for i intervallet [1,7] kan arealet af punktmængden kan nu
bestemmes:
Dermed er arealet af bestemt til 36.
(7.1.4)(7.1.4)
(7.1.1)(7.1.1)
(7.2.1)(7.2.1)
(1.1.2)(1.1.2)
(7.1.3)(7.1.3)
(7.1.2)(7.1.2)
Opgave 13
a)
Da vi her skal undersøge om en stikprøve følger en bestemt fordeling er der tale om et
Goodness-of-fit test.
Nulhypotesen
Vi beregner det forventede værdier:
1143
b)
Nulhypotesen undersøges nu på et 5% signifikansniveau med en - GOF:
(1.1.2)(1.1.2)
På baggrund af testen bekræftes nulhypotesen med en P-værdi på . Vi kan
således ikke afvise at stikprøvens fordeling er forskellig fra fordelingen i den biologiske
model.